接上文：第二次數學危機：逝去的無窮量之幽魂與貝克萊悖論
03 分析的嚴格化
貝克萊對微積分的攻擊言之有物、有理有據，數學家們即便心有不甘，想要反駁也必須拿出站得住腳的理論才行。
此後，數學家們不斷嘗試為微積分建立一個嚴謹的理論基礎。
在18世紀，歐拉、達朗貝爾、拉格朗日都進行過嘗試，但都沒有成功。
歐拉是18世紀最偉大的數學家之一，他在許多領域都有豐碩的成果。
在微積分領域，他創作了《無窮分析引論》《微分學原理》《積分學原理》，成為“分析的化身”。
但是歐拉對于無窮小量的解釋依然是模糊的，他認為0∶0可以等于任意有限的比值。
無窮小量在他看來，實際上就是等于零的量。
“分析”一詞最早是與綜合法相對的，指假定結論為真，然後倒推回去。
韋達認為代數就是一種分析（倒推）法，方程的根是根據結論列出方程後倒推求出的。
在17世紀，分析是代數的同義詞。牛頓和萊布尼茨都認為微積分是代數的擴充，隻是以無窮作為對象進行計算，無窮小是其中最重要的概念，是以微積分又被稱為無窮小分析。
在歐拉之後，分析一詞變得更加流行，且歐拉通過對函數的定義，讓分析的主要對象變成函數。在18世紀，數學家們并沒有解決微積分的基礎問題，但是分析的應用卻蓬勃發展，出現了微分方程、複變函數、微分幾何、解析數論、變分法、無窮級數等分支，這讓分析和代數、幾何并稱為數學三大學科。
分析的重要性提高，迫切需要為它建立一個穩固的基礎，但分析的嚴格化運動，要等到19世紀才最終完成。
為分析建立嚴格化基礎的先驅是捷克數學家波爾查諾。他在嘗試證明微積分中的介值定理時發現，必須先定義什麼叫“連續函數”。于是他消除幾何直覺，給出數學上的嚴格定義。但波爾查諾的工作長期被埋沒，真正在分析嚴格化上産生巨大影響力的是法國數學家柯西。
柯西一生在數學上相當高産，成果幾乎涉及數學的所有領域，産量上可能僅次于歐拉。他曾自己創辦刊物，專門發表自己的論文。此外，在《巴黎科學院通報》創刊後，他在20年内共發表了589篇文章，以緻科學院不得不限制其他人遞交的論文不得超過4頁。柯西在1821年出版了《分析教程》和1823年出版了《無窮小計算教程概論》，這使得他成為分析嚴格化的集大成者。
他首先重新定義了極限：“當一個變量相繼取的值無限接近于一個固定值，最終與此固定值之差要多小就有多小時，就稱該值為所有其他值的極限。”在極限定義的基礎之上，柯西建立了對無窮小量、無窮大量、連續、導數、微分、積分等概念的嚴格定義。比如，對柯西來說，無窮小量是以零為極限的變量，這樣就把無窮小量納入了函數的範疇，2000多年來讓人們無比困惑的無窮小量就這樣被柯西馴服了。
同樣，通過極限可以定義導數。有了導數，就可以清晰地解釋什麼是瞬時速度，從數學的計算上就可以清晰地證明物體運動的每一刻都有瞬時速度，這也反駁了芝諾悖論中的“飛矢不動”。
而對于積分，柯西堅持在計算積分前，首先要證明連續函數的積分是存在的，這成為分析從依賴直覺到嚴格化的轉折點。
此外，柯西還建立了無窮級數的完整理論，提出了絕對收斂和條件收斂的概念，解決了18世紀級數問題遺留的很多怪論。總的來說，柯西在分析上的貢獻是決定性的，他的《分析教程》成為分析嚴格化運動的起點。
但柯西的理論還存在一些小缺陷，這些缺陷将由德國數學家魏爾斯特拉斯來彌補。
魏爾斯特拉斯一向以嚴謹著稱，他所秉持的數學态度和編寫的教材成為嚴格的典範和标準。
他認為柯西的極限概念中“一個變量無限趨于一個極限”的說法依舊存在運動上的直覺，是以為了消除這種描述性語言的含糊，他給出極限的 ε-δ 定義，用不等式區間來嚴格表示極限，這就使極限和連續性徹底擺脫了對幾何和運動的依賴，并得以建立在數與函數的清晰定義上。比如，可将函數 x² 在 x→2 時的極限描述為：“任取正數 ε，總存在某一正數 δ，使得當 0<|x-2|<δ 時，都有 |x²-4|<ε 。”此外，魏爾斯特拉斯還提出了一緻收斂的概念，完善了級數的理論。
1872年，魏爾斯特拉斯提出了一個分析史上著名的反例。他構造了一個處處連續，但處處不可微的三角函數級數，震驚了整個數學界。這個函數被稱為魏爾斯特拉斯的病态函數。魏爾斯特拉斯通過這個病态函數，非常充分地說明了通過運動建立的曲線，不一定有切線，是以微積分的基礎應該消除幾何直覺，而隻建立在數的基礎上。如果當初牛頓和萊布尼茨發現了這個病态函數，說不定會沮喪到直接放棄微積分方法。但是魏爾斯特拉斯提出的病态函數，在19世紀卻成為推動分析基礎嚴格化的強心針，進一步使數學家們意識到，為分析建立嚴格基礎，必須對實數系進行嚴格的定義。
德國數學家戴德金在實數的定義上邁出了關鍵的一步。1872年，戴德金在《連續性與無理數》一書中借助直線與實數的對應關系，非常巧妙地應用了一種被稱為“戴德金分割”的方法，證明了稠密性和連續性是兩種不同的性質，進而清晰地定義了實數的概念。
戴德金打了一個比方，如果用一把刀把直線砍成兩段，那麼必有一個斷點，這個斷點必然是兩段直線中的一個端點。如果直線上隻有有理數，此時考察有理數，就會發現有理數盡管是稠密的（兩個有理數之間必有另一個有理數），但不是連續的！因為這一刀如果這麼砍：将有理數集分成所有平方小于2的有理數和所有平方大于2的有理數，那這個斷點是 √2，它不屬于直線分割後兩段中的任意一段，因為這個斷點是一個無理數。
是以，如果直線上隻有有理數，這一刀下去就砍出了一個縫隙，是以有理數不是連續的，這些縫隙需要無理數來填補，這樣就清楚定義了無理數。
嚴格地說，有理數的一個分割就叫作一個實數，如果分割沒有縫隙就是有理數，如果分割有縫隙就是無理數。
恰恰也是在1872年，魏爾斯特拉斯和康托爾分别建立了無理數的定義，從不同次元描述了實數的性質，這樣完備的實數理論就建立了起來。
是以1872年被稱為“無理數之年”。在古希臘畢達哥拉斯學派的希帕索斯被投入大海2000多年後，引發第一次數學危機的無理數終于得到清晰的定義，第一次數學危機至此才算真正完結。
同時，分析中要使用的實數概念，建立在了有理數分割的基礎上，有理數又建立在了自然數算術的基礎上，而自然數對很多數學家來說是基礎和顯然的，
在這個過程中，專門的數學符号發揮了重要的作用。越來越多的數學家意識到數學概念與其他概念混用符号會引起很多混淆，尤其是和人類直覺有關的空間、時間等連續性概念。這也為皮亞諾、弗雷格和羅素的工作埋下了伏筆。數學也隻有擺脫了從牛頓時代開始的對光學、力學和幾何的直覺依賴後，才能徹底用于獨立性的思維。
然而，為了定義無理數，戴德金和康托爾不可避免地引入了無窮集合，這成為引發第三次數學危機的起點。
由此看來，數學史上的三次數學危機是連貫的，有其内在聯系，可謂此起彼伏。
而計算的理論，就隐藏在這三次數學危機之中。
比如，康托爾的研究是從“函數的三角級數表達式的唯一性問題”開始的，然後觸碰到無窮點集。
以上摘自吳翰清新作《計算》！轉自博文視點，[遇見數學]已獲轉發許可。
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