設A、B為n階方陣，μ為A的特征值。
相關結論
1.矩陣A的所有特征值的和等于A的迹(A的主對角線元素之和)。
2.矩陣A的所有特征值的積等于A的行列式。
3.關于A的矩陣多項式f(A)的特征值為f(μ)。
4.若A可逆，則A−1的特征值為1/μ。
5.若A與B相似，則A與B有相同特征多項式，即A與B特征值相同。
6.屬于A的不同特征值的特征向量線性無關。
7.(哈密爾頓定理)若φ(μ)為A的特征多項式，則φ(A)=0。
8.A能對角化的充分必要條件是A有n個線性無關的特征向量。
9.若A的n個特征值互不相同，則A可對角化。
10.若A的k重特征值μ有k個線性無關的特征向量，則A可對角化。
11.若A有k重特征值μ，齊次方程(A−μE)X=0解空間維數為k，則A可對角化。
12.若A有k重特征值，矩陣A−μE的秩為n−k，則A可對角化。
13.若A是對稱矩陣，則屬于A的不同特征值的特征向量正交。
14.若A是對稱矩陣，則A必可對角化。
矩陣A對角化的步驟
1.求可逆矩陣P，使得
P^−1AP=diag(μ1,μ2,⋯,μn)
①求A的特征值μ1,μ2,⋯,μn；
②求上述特征值對應的特征向量p1,p2,⋯,pn；
③寫出矩陣P=(p1,p2,⋯,pn)。
2.若A對稱，求正交矩陣Q，使得
Q^−1AQ=Q^TAQ=diag(μ1,μ2,⋯,μn)
①求A的特征值μ1,μ2,⋯,μn；
②求上述特征值對應的特征向量p1,p2,⋯,pn；
③将k重特征值μi的k個特征向量施密特正交化；
④将所有n個特征向量機關化；
⑤不妨設經過正交化機關化的特征向量依次為q1,q2,⋯,qn，寫出正交矩陣Q=(q1,q2,⋯,qn)。
典型例子
