時序分析(9) -- 時序平滑（上)

時序分析(9)

時序平滑（上)

    前面的文章中，我們着重講述了金融時序分析關于觀測值和波動性分析和預測的常見技術。現在我們需要探讨一下時序分析的基本技術：平滑。時序平滑實際上在時序分析中扮演着非常重要的角色。它不但可以提高時序信号的信噪比，還可以幫助我們進行預測。

    我們将主要讨論如下的平滑技術：

• 簡單移動平均(Simple Moving Average)
• 累積移動平均(Culmulative Moving Average)
• 權重移動平均(Weighted Moving Average)
• 指數移動平均(Exponential Moving Average)

    這裡的移動平均和前面文章中所講過的MA模型并不一樣，讀者很快就會發現其差別。

    指數移動平均是現代時序分析技術中較為重要的方法，它有多種形式和模型，我們将會一一介紹。

簡單移動平均(SMA)

    SMA其實就是時序的不權重的均值而已，

y t = 1 t ∑ i = 1 t y i y_t=\frac{1}{t}\sum_{i=1}^{t}y_i yt​=t1​i=1∑t​yi​

    實際操作中，往往是依據一個固定的視窗大小，當有新的觀測值加入時，會移除最舊的那個值。這種方式稱為移動視窗。

累積移動平均(CMA)

    CMA就是用新值來更新所有曆史平均值，

C M A n = y 1 + y 2 + . . . y n n CMA_n=\frac{y_1+y_2+...y_n}{n} CMAn​=ny1​+y2​+...yn​​

C M A n + 1 = y n + 1 + n ∗ C M A n n + 1 CMA_{n+1}=\frac{y_{n+1}+n*CMA_n}{n+1} CMAn+1​=n+1yn+1​+n∗CMAn​​

    和SMA相比，CMA就是所有曆史的平均值，視窗就是所有已知時序。

指數移動平均(EWMA)

在詳細探讨指數權重移動平均以前，我們簡單回顧一下時序預測技術的發展程序。

最原始的想法就是假如我們對時序沒有任何先驗知識，隻指導目前時刻的觀測值，我們如何預測下一時刻的觀測值呢？很簡單，就以目前觀測值作為預測值：

y ^ T + h ∣ T = y T , \hat{y}_{T+h|T} = y_T, y^​T+h∣T​=yT​,

這種稱為naive method的方法就是認為隻有最近的觀測值提供了關于未來的資訊，而之前的曆史值不提供任何資訊，是以它把所有的權重都放在最後一個已知的觀測值上。

另外一個思路就是認為所有的曆史資料都對預測有幫助，但我們并不知道該如何配置設定權重，是以就給所有曆史資料配置設定同樣的權重，得到

y ^ T + h ∣ T = 1 T ∑ t = 1 T y t , \hat{y}_{T+h|T} = \frac1T \sum_{t=1}^T y_t, y^​T+h∣T​=T1​t=1∑T​yt​,

(9.1)

顯而易見，這兩種思路都比較極端，是否有一種方法可以平衡這兩種方法呢？一個比較自然的思路就是給予比較近的觀測值比較高的權重，權重按照指數衰減，這就是簡單指數平滑背後的思路。

y ^ T + 1 ∣ T = α y T + α ( 1 − α ) y T − 1 + α ( 1 − α ) 2 y T − 2 + ⋯ \hat{y}_{T+1|T} = \alpha y_T + \alpha(1-\alpha) y_{T-1} + \alpha(1-\alpha)^2 y_{T-2}+ \cdots y^​T+1∣T​=αyT​+α(1−α)yT−1​+α(1−α)2yT−2​+⋯

這裡 0 ≤ α ≤ 1 0\leq\alpha\leq1 0≤α≤1是平滑參數，它控制了衰減的速度。

我們把上式稍加變換就可以得到

y ^ t + 1 ∣ t = α y t + ( 1 − α ) y ^ t ∣ t − 1 \hat{y}_{t+1|t} = \alpha y_t + (1-\alpha) \hat{y}_{t|t-1} y^​t+1∣t​=αyt​+(1−α)y^​t∣t−1​ (9.2)

可以了解為對t+1時刻的預測就等于最近的時序觀測值和最近的時序預測值的權重平均。

鑒于指數平滑在時序分析上的重要性，我們需要從多個次元上了解，下面我們來介紹其幾種表現形式：

1. Component Form

   可以認為，時序的預測就是得到時序的水準(level)，以\ell表示，有

   y ^ t + 1 ∣ t = ℓ t \hat{y}_{t+1|t} = \ell_t y^​t+1∣t​=ℓt​(9.3)

   ℓ t = α y t + ( 1 − α ) ℓ t − 1 \ell_{t} = \alpha y_{t} + (1 - \alpha)\ell_{t-1} ℓt​=αyt​+(1−α)ℓt−1​(9.4)

   我們可以這樣了解上面第二個公式，對時序新的水準的預測等于對上一個水準的預測和新的資料的權重平均。從概念上來說，也可以用Bayesian方法來解釋。在實際操作中，一般都會給出一個移動視窗來進行估算，這種方式的另外一個名字就是指數權重移動平均(EWMA)

2. Error Correction Form

   簡單變換一下(9.4)式，可以得到

   ℓ t = ℓ t − 1 + α ( y t − ℓ t − 1 ) = ℓ t − 1 + α e t \ell_{t} =\ell_{t-1}+\alpha( y_{t}-\ell_{t-1})\\ = \ell_{t-1}+\alpha e_{t} ℓt​=ℓt−1​+α(yt​−ℓt−1​)=ℓt−1​+αet​(9.5)

   這裡的 e t e_t et​ 是樣本内誤差項，上式可以了解為對新的水準的預測等于上一次的水準預測加上最近一次的預測誤差修正。

下一篇我們将講述指數平滑技術的其他變種

未完待續…