經濟發展趨勢預測數學模組化.doc
經濟發展趨勢預測
摘要
本題給出了從1978年到2009年該國的GDP與工業值、建築業及農林漁業的變化的資料，對于問題1，需建立國内生産總值，
Y=732.2776+1.8561*x1 +3.9825*x2+0.0307*x3,
通過該計算，可得出未來經濟的預測值。
關鍵詞：趨勢外推法 多元回歸模型 預測 拟合 殘差
題目重述
問題一：
國内生産總值(Gross Domestic Product,簡稱GDP)是指在一定時期内(一個季度或一年)，一個國家或地區的經濟中所生産出的全部最終産品和務的價值，常被公認為衡量國家經濟狀況的最佳名額。國内生産總值分别為回歸系數；x是回歸變量(可以是随即變量，也可以是一般變量)；i=(1，2，3)表示不同的年份；是随機因素對相應變量Y所産生的影響---随機誤差，也是随機變量，且～N(0，)。
模型的建立
模型一：
由表可以看出，對于工業、建築業以及農林漁業，其一階向後差分是一個常數，是以是具有直線趨勢的時間數列，可以采用線性模型來求出預測值，當然，時間數列中的實際資料與直線上的資料可能有所偏差，但隻要偏差較小，拟合的直線對時間數列就有較強的代表性。綜上可得出如下的回歸模型：
忽略資料的誤差，可得到GDP與各産業之間的線性關系為：
根據表中資料估計，影響Y的其他因素都包含在随機誤差中，如果模型選擇合适，應大緻服從均值為0的正态分布。
模型求解
直接利用MATLAB統計工具箱中的指令regress求解，使用的格式為：
[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,x,alpha)
其中x為對應于回歸系數=()的資料矩[1,](n x 4矩陣，其中第1列為全1向量)，alpha為置信水準(預設時=0.05)；輸出b為的估計值，記作為，bint為b的置信區間，r為殘差向量，rint為r的置信區間，stats為回歸模型的檢驗統計量。
根據工業、建築業、農林漁業三者的增長趨勢，我們分别計算出了三者占GDP的百分比，得到了如圖(附錄一)
可以看出，工業百分比與建築業百分比基本維持不變，說明工業值，建築業與GDP呈線性關系;而農林漁業百分比随時間遞減，計算可知農林漁業與GDP呈非線性關系。
運用MATLAB程式設計計算出結果有：
參數參數估計值參數置信區間361.7550[-1.9271,2.6506]1.8488[0.0017, 0.0020]4.0227[0.0029 , 0.0051]8.0447[-0.0289, 0.0450]Stats=0.999668，同時的置信區間包含零點(自變量對Y的影響)，考慮到的參數估計值較大，即對結果的影響較大，故不能保留在式子中。
須對下列式子：
作出改進，是以，根據表中中國曆年的國内生産總值、工業值、建築業與農林漁業的資料之間的關系繪制如表。(見附錄2)，可對模型進行改進，建立模型二：
通過MATLAB程式設計，可計算出各參數估計值：
參數參數估計值參數置信區間732.2776[-0.5896, 2.0542]1.8561[0.0017 , 0.0020]3.9825[0.0029 , 0.0051]0.0307[-0.0003, 0.0004]
此時，Stats(1)=0.9997很接近1，較模型一與原資料更接近。通過計算，可預測出未來幾年的經濟發展狀況。
再者，進行殘差分析：殘差分析函數：
Rcoplot(r,rint)
通過殘差分析，有3個異常資料，分别是1996，2002，2009這三年的經濟有變動，這與國家實行的政策 改革的實施有關，與實際比較吻合。
結果分析
根據表中顯示，參數估計值給出了的估計值，即另外，的置信區間包含零點，但x3的影響是最小的，故仍然可保留在式子中。通過與曆年的資料比較，其誤差相對于模型一更小一些。
将回歸系數的估計值代入表達式中，即可預測出該國未來的經濟發展趨勢。經驗證，所求出的值與該國原來每年的國内生産總值的最小內插補點保持在0.5%(經驗證，随着經濟的發展，GDP的提升，GDP越大時，其誤差就越減小)。即該模型從整體看來是可用的。
且通過計算，可預測出未來幾年的GDP的情況。(如附錄3)
模型評估
優點：線性趨勢預測的基本思想就是假定影響時間序列的項值的主要因素過去、現在和将來都大體相同，因而隻要将其趨勢直線加以延伸，便可預測未來的項值，方法較簡單，而且這樣對于預測資料具有很直覺的感覺。
缺點：一般而言，這種預測方法隻适用于短期或經濟平穩發展時期的預測。是排出了一些突發情況(如金融危機)後的理想預測狀況。
問題二：
模型建立與求解
根據表中資料，可建立如下模型：；其中為回歸系數，為回歸變量資本投入與人口的自然增長量，P為GDP的