粒子濾波器（參見維基百科的解釋）
粒子濾波器是一種使用蒙特卡洛方法的遞歸濾波器，透過一組具有權重的随機樣本（稱為粒子）來表示随機事件的後驗機率。
粒子濾波器能從一系列含有噪聲或者不完整的觀測值中，估計出動态系統的内部狀态。在動态系統的分析中，需要兩個模型，一個用來描述狀态随時間的變化（系統模型），另一個用來描述每個狀态下觀察到的噪聲（觀測模型）
遞歸濾波器包括：
1預測：利用系統模型，由前一個狀态的資訊預測出下一個狀态的機率密度函數
2更新：利用最新的觀測值，修改預測出的機率密度函數
設有一動态系統，其狀态序列{xk, k∝N}定義為：
xk=fk(xk-1,vk-1)
其中，fk是狀态轉移函數，{xk, k∝N}是一個獨立同分布（iid）的過程噪聲序列。
觀測值：
yk=hk{xk, nk}
其中，hk是一個觀測函數，{nk, k∝N}是一個獨立同分布（iid）的觀測噪聲序列
從貝葉斯的觀點看，追蹤問題是根據到時間k為止的已知資訊y1:k,遞歸地計算出時間k的狀态xk的置信度。這個置信度用機率密度函數p(xk|y1:k)表示。初始機率密度函數p(x0|y0)=p(x0)（稱為先驗機率）為已知，則利用“預測”和“更新”兩個步驟就可以遞歸地計算出機率密度函數p(xk|y1:k)
預測：
更新：
在時間k，得到觀測值yk，是以可以使用貝葉斯定理，由先驗機率p(xk|y1:k-1)得到後驗機率p(xk|y1:k)，也就是考慮觀測值後得到的機率：
其中歸一化常數為：
對于一般非線性、非高斯的系統，難以得到解析解，是以需要利用蒙特卡洛方法來近似貝葉斯最佳解。
序列重要性重采樣（Sequential Importance Resampling. SIR）
序列重要性采樣（Sequential Importance Sampling. SIS）
SIR是由SIS加上重采樣（Resampling）改良而來，在SIS中，将後驗機率p(xk|y1:k)用N個随機樣本（粒子）與各自的權重表示為{xk[i],wk[i]}i=1N。
其中的權重是根據重要性采樣的規則産生，且必須符合：
根據重要性采樣的理論，一個函數f的期望值可以用權重平均來近似：
在每一次遞歸過程中，由前一次采樣的權重，計算出下一次采樣的權重。假設采樣的樣本xk[i]由重要性密度q(xk|y1:k)抽取，則權重可表示為：
将重要性密度分解為：
後驗機率為：
是以權重的遞歸式可表示為：
重采樣（resampling）
SIS可能會造成粒子退化問題，也就是經過n次遞歸後，很多粒子的權重都小到可忽略不計，隻剩少數的權重較大，如此會浪費大量的計算量在幾乎沒有作用的粒子上，而使估計性能下降。
為了評估退化問題，定義有效粒子數為：
在進行SIS時，若有效粒子數小于某一門檻值，則對粒子做重采樣，即可減緩退化問題。重采樣的概念是去除權重過小的粒子，專注于權重較大的粒子。進行重采樣時，要由現有的粒子分布取樣，産生一組新的粒子{xk[i*]}i=1N，由于産生的新樣本為獨立同分布，是以權重重新設定為wk[i]=1/N。