作者：桂。
時間：2017-03-26 06:06:44
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【讀書筆記04】
前言
仍然是西蒙.赫金的《自适應濾波器原理》第四版第二章，首先看到無限制維納濾波，接着到了一般限制條件的濾波，此處為限制擴充的維納濾波，全文包括：
1）背景介紹；
2）廣義旁瓣相消（Generalized Sidelobe Cancellation, GSC）理論推導；
3）GSC應用——語音陣列信号增強；
内容為自己的學習記錄，其中錯誤之處，還請各位幫忙指正！
一、背景介紹
在一般限制條件的維納濾波中，有${{\bf{w}}^H}{\bf{s}}\left( {{\theta _0}} \right) = g$的限制條件，即${{\bf{s}}^H}\left( {{\theta _0}} \right){\bf{w}} = g$.如${\bf{s}}\left( {{\theta _0}} \right)$為旋轉向量時，希望在$\theta _0$處保留波束—>對應$g_1 = 1$，希望在$\theta_2$處抑制波束—>對應$g_2 = 0$，寫成一般形式：
寫成更一般的形式：
${{\bf{C}}^H}{\bf{w}} = {\bf{g}}$
假設$\bf{w}$權值個數為M，在一般限制維納濾波中可以看出：限定條件使得結果更符合預期的效果。假設C為M×L的矩陣：L個線性限制條件。對于M個變量的方程組，對應唯一解最多有M個方程，即：對于L個線性限制來講，我們仍可以繼續利用剩下的M-L個自由度進行限制，使得結果更加符合需求（比如增強某信号、抑制某信号等），這便是GSC的背景。
二、GSC理論推導
A-理論介紹
書中的推導較為繁瑣，我們可以從投影空間的角度加以了解，也就是最小二乘結果的矩陣求逆形式，給出簡要說明：
對于矩陣A（N×M）:
- 如果A是滿列秩（N>=M）對于符合LA=I的矩陣解為：${\bf{L}} = {\left( {{{\bf{A}}^H}{\bf{A}}} \right)^{ - 1}}{{\bf{A}}^H}$;
- 如果A是滿行秩（N<=M）對于符合AR=I的矩陣解為：${\bf{R}} = {{\bf{A}}^H}{\left( {{{\bf{A}}}{\bf{A}^H}} \right)^{ - 1}}$.
對于${{\bf{C}}^H}{\bf{w}} = {\bf{g}}$，得出最優解：
${{\bf{w}}_q} = {\bf{C}}{\left( {{{\bf{C}}^H}{\bf{C}}} \right)^{ - 1}}{\bf{g}}$
記：
${{\bf{w}}_{re}} = {\bf{w}} - {{\bf{w}}_q}$
為了便于對餘量${{\bf{w}}_{re}}$進行控制，将C擴充為：[ C | C$_{a}$ ]，$\bf{C}_a$的列向量為矩陣C列向量張成空間的正交補空間的基，即：
${\bf{C}}_a^H{\bf{C}} = {\bf{0}}$
分析新的空間特性：
上式有${{\bf{C}}^H}{{\bf{w}}_{re}} = {\bf{0}}$，這就說明隻要滿足該條件，${{\bf{r}}_e} = {\bf{C}}_a^H{{\bf{w}}_{re}}$就是補空間的餘量，如何保證一定有${{\bf{C}}^H}{{\bf{w}}_{re}} = {\bf{0}}$呢？可以将${{{\bf{w}}_{re}}}$寫為：${ - {{\bf{C}}_a}{{\bf{w}}_a}}$的形式，之是以添加$-$可能是因為正交補空間可以認為C列向量空間不能表征的成分，我們通常認為這一部分為該丢棄的殘差，也因為是殘差：${{\bf{C}}_a}$通常被稱為阻塞矩陣（取Block之意）,很多書籍用$\bf{B}$表示。
重新給出推導的結果：
${\bf{w}} = {{\bf{w}}_q} - {{\bf{C}}_a}{{\bf{w}}_a}$ s.t. ${{\bf{C}}_a}{{\bf{w}}_q} = {\bf{0}}$
對應結構圖為：
簡化後可以認為上支、下支：
這是維納濾波器的典型結構。
B-阻塞矩陣的選取
阻塞矩陣這一段摘自：秦博雅《基于低複雜度自适應信号處理的波束成形技術研究》p22~23.
大緻有以下幾種方式：
三、陣列信号增強
學了這個GSC怎麼應用呢？這裡參考一篇07年adaptive beamforming（引用見最後的參考）的例子，簡要說明思路，關于阻塞矩陣。
文中結構圖：
即：分别利用GSC架構，通過最小互資訊實作信号的分離，其中$w_a$、$C_a$即$B$都提前給定，優化$w_{a1}$、$w_{a2}$。
定義互資訊：
其中，
在幅度（嚴格來講是傅裡葉系數幅度）為正态條件下，得到：
給出輸出表達式：
并給出準則函數——相關系數的表達式：
其中，
其中相關、互相關無法得到統計資訊，仍然可以基于周遊性假設：利用時間換取空間，近似求取。
文中提到引入正則化（regularization）
這個隻是優化過程中的限定條件，與GSC架構關系不大，不再補充。
這裡在網上找去了一個8通道（channel）的混合語音（兩個說話人），利用該算法進行分析，給出主要代碼：
主要代碼：
MMI_define_var(Xf1,Xf2);
%initialization
W1 = [0 0 0 0.1 0 0 0.2 ];
W2 = [0 2 0 0 0.2 0 0.1 ];
[Wa1,Wa2]=MMI_EstimateWa([W1 W2]'); 其中MMI_define_var定義變量:
function MMI_define_var(Xf1,Xf2)
global Wq B covX1X1 covX2X2 covX1X2 len;
Wq=[1 1 1 1 1 1 1 1]'*1/8;
B=[1 -1 0 0 0 0 0 0 ;0 1 -1 0 0 0 0 0 ;0 0 1 -1 0 0 0 0 ;0 0 0 1 -1 0 0 0 ;0 0 0 0 1 -1 0 0 ;0 0 0 0 0 1 -1 0 ;0 0 0 0 0 0 1 -1 ]';
[~,len]=size(Xf2);
XfMean1=mean(Xf1.');
XfMean2=mean(Xf2.');
for i=1:8
Xf1(i,:)=Xf1(i,:)-XfMean1(i);
Xf2(i,:)=Xf2(i,:)-XfMean2(i);
end
covX1X1=Xf1*Xf1'/len;
covX2X2=Xf2*Xf2'/len;
covX1X2=Xf1*Xf2'/len; MMI_EstimateWa實作參數估計:
function [Wa1 Wa2]=MMI_EstimateWa(W)
%obtain the Wa
ww=[real(W)' imag(W)']';
options = optimset('LargeScale','off','display','off');
[X,fval] = fminunc('MMI_real_imag_objfun',ww,options);
X_real=X(1:14);
X_imag=X(15:28);
Wa1_real=X_real(1:7);
Wa1_imag=X_imag(1:7);
Wa2_real=X_real(8:14);
Wa2_imag=X_imag(8:14);
Wa1=Wa1_real+sqrt(-1)*Wa1_imag;
Wa2=Wa2_real+sqrt(-1)*Wa2_imag;
end
對應結果圖：
可以聽出來：雖然略有雜音，但兩個說話人的聲音已經實作了分離，GSC架構有效。如果不同說話人聲達時間估計準确，疊代算法應用合适，效果會更好，此處主要介紹GSC應用，細節不再琢磨，有興趣的可以探索探索。
參考：
- K. Kumatani, T. Gehrig, U. Mayer, E. Stoimenov, J. McDonough and M. WÖlfel, "Adaptive Beamforming With a Minimum Mutual Information Criterion," in IEEE Transactions on Audio, Speech, and Language Processing, vol. 15, no. 8, pp. 2527-2541, Nov. 2007.
- Simon Haykin 《Adaptive Filter Theory Fourth Edition》.