高等天線理論學習筆記——電磁源的輻射場

• 在三維空間簡單媒質中電磁源 （ J , J m ） （\mathbf{J},\mathbf{J_m}） （J,Jm​）産生的電磁場問題
• • 僅電流源 （ J ≠ 0 , J m = 0 ） （\mathbf{J}\neq 0,\mathbf{J_m}=0） （J=0,Jm​=0）存在時的麥克斯韋方程組
  • 僅磁流源 （ J = 0 , J m ≠ 0 ） （\mathbf{J}=0,\mathbf{J_m}\neq 0） （J=0,Jm​=0）存在時的麥克斯韋方程組
  • 電磁流源 （ J ≠ 0 , J m ≠ 0 ） （\mathbf{J}\neq 0,\mathbf{J_m}\neq 0） （J=0,Jm​=0）都存在情況下的完全解

在三維空間簡單媒質中電磁源 （ J , J m ） （\mathbf{J},\mathbf{J_m}） （J,Jm​）産生的電磁場問題

簡單媒質： 線性、均勻、各向同性，參數為 （ μ , ϵ ） （\mu,\epsilon） （μ,ϵ）。

形狀任意的電流源、磁流源就是天線， o o o點就是作為數學分析的坐标原點，現在在 r r r觀察點接收，我們需要觀察點處的電場分布情況——天線遠場方向圖。方向圖其實就是天線在遠場産生的電場分布表達式中，僅與方向 θ , ϕ \theta,\phi θ,ϕ 有關的分量。

僅電流源 （ J ≠ 0 , J m = 0 ） （\mathbf{J}\neq 0,\mathbf{J_m}=0） （J=0,Jm​=0）存在時的麥克斯韋方程組

∇ × H = J + j ω ϵ E ∇ × E = − j ω μ H ∇ ⋅ H = 0 ∇ ⋅ E = ρ / ϵ \nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}+j\omega\epsilon\mathbf{E}\\ \nabla\times\mathbf{E}=-j\omega\mu\mathbf{H}\\ \nabla\cdot\mathbf{H}=0\\ \nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\epsilon ∇×H=J+jωϵE∇×E=−jωμH∇⋅H=0∇⋅E=ρ/ϵ

僅磁流源 （ J = 0 , J m ≠ 0 ） （\mathbf{J}=0,\mathbf{J_m}\neq 0） （J=0,Jm​=0）存在時的麥克斯韋方程組

根據電磁對偶原理，進行如下替換 E → H \mathbf{E}\to \mathbf{H} E→H， H → − E \mathbf{H}\to -\mathbf{E} H→−E， ρ → ρ m \rho\to\rho_m ρ→ρm​， ϵ ↔ μ \epsilon\leftrightarrow\mu ϵ↔μ， J ↔ J m \mathbf{J}\leftrightarrow\mathbf{J_m} J↔Jm​得到

∇ × E = − J m − j ω ϵ H ∇ × H = j ω ϵ E ∇ ⋅ E = 0 ∇ ⋅ H = ρ m / ϵ \nabla\times\mathbf{E}=-\mathbf{J_m}-j\omega\epsilon\mathbf{H}\\ \nabla\times\mathbf{H}=j\omega\epsilon\mathbf{E}\\ \nabla\cdot\mathbf{E}=0\\ \nabla\cdot\mathbf{H}=\rho_m/\epsilon ∇×E=−Jm​−jωϵH∇×H=jωϵE∇⋅E=0∇⋅H=ρm​/ϵ

理想電導體（金屬天線）、磁導體（口徑場）的表面電磁流分布：

n ^ × H = J s n ^ × E = − J m s \hat{n}\times\mathbf{H}=\mathbf{J_{s}}\\ \hat{n}\times\mathbf{E}=-\mathbf{J_{ms}} n^×H=Js​n^×E=−Jms​

電磁流源 （ J ≠ 0 , J m ≠ 0 ） （\mathbf{J}\neq 0,\mathbf{J_m}\neq 0） （J=0,Jm​=0）都存在情況下的完全解

引入電、磁矢位便于求解總場

H = ∇ × A E = − ∇ × F \mathbf{H}=\nabla\times \mathbf{A}\\ \mathbf{E}=-\nabla\times \mathbf{F} H=∇×AE=−∇×F

得到位函數的波動方程

( ∇ 2 + k 2 ) A = − J ( ∇ 2 + k 2 ) F = − J m \begin{array}{l} (\nabla^2+k^2) \mathbf{A}=-\mathbf{J}\\ (\nabla^2+k^2) \mathbf{F}=-\mathbf{J}_m \end{array} (∇2+k2)A=−J(∇2+k2)F=−Jm​​

在洛倫茲規範下僅用位函數就可表達電場

E ( r ) = − j ω μ ( A + 1 k 2 ∇ ∇ ⋅ A ) − ∇ × F \mathbf{E}(\mathbf{r})=-j\omega\mu(\mathbf{A}+\frac{1}{k^2}\nabla\nabla\cdot\mathbf{A})-\nabla\times\mathbf{F} E(r)=−jωμ(A+k21​∇∇⋅A)−∇×F

其中

A = ∫ V G ( r / r ′ ) J ( r ′ ) d v ′ G ( r / r ′ ) = e − j k ∣ r − r ′ ∣ 4 π ∣ r − r ′ ∣ \mathbf{A}=\int_VG(\mathbf{r}/\mathbf{r'})\mathbf{J}(\mathbf{r'})dv'\\ G(\mathbf{r}/\mathbf{r'})=\frac{e^{-jk\mid\mathbf{r}-\mathbf{r'} \mid}}{4\pi\mid\mathbf{r}-\mathbf{r'} \mid } A=∫V​G(r/r′)J(r′)dv′G(r/r′)=4π∣r−r′∣e−jk∣r−r′∣​

遠場情況下，忽略 o ( r − 1 ) o(r^{-1}) o(r−1)項，可有以下近似

1. ∇ → − j k r ^ \nabla\rightarrow-jk\hat{\mathbf{r}} ∇→−jkr^
2. ∣ r − r ′ ∣ ≈ r \mid\mathbf{r}-\mathbf{r'} \mid\approx r ∣r−r′∣≈r 幅度近似
3. ∣ r − r ′ ∣ ≈ r − r ^ ⋅ r ′ \mid\mathbf{r}-\mathbf{r'} \mid\approx r-\hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{r'} ∣r−r′∣≈r−r^⋅r′ 相位近似

最終得到遠場的電磁場表達式為

E ( r ) = Z A ( k ) e − j k r r H ( r ) = Y k ^ × A ( k ) e − j k r r \mathbf{E}(\mathbf{r})=\sqrt{Z}\mathbf{A}(\mathbf{k})\frac{e^{-jkr}}{r}\\ \mathbf{H}(\mathbf{r})=\sqrt{Y}\hat{\mathbf{k}}\times\mathbf{A}(\mathbf{k})\frac{e^{-jkr}}{r} E(r)=Z

​A(k)re−jkr​H(r)=Y

​k^×A(k)re−jkr​

其中 Z = μ / ϵ Z=\sqrt{\mu/\epsilon} Z=μ/ϵ

​為媒質波阻抗，幅度矢量 A ( k ) \mathbf{A}(\mathbf{k}) A(k)

A ( k ) = k 4 π j ∫ V [ Z ( I ~ − r ^ r ^ ) ⋅ J ( r ′ ) + Y J m ( r ′ ) × r ^ ] e j k ⋅ r ′ d v ′ \mathbf{A}(\mathbf{k})=\frac{k}{4\pi j}\int_V[\sqrt{Z}(\tilde{\mathbf{I}}-\hat{\mathbf{r}}\hat{\mathbf{r}})\cdot\mathbf{J}(\mathbf{r}')+\sqrt{Y}\mathbf{J}_m(\mathbf{r}')\times\hat{\mathbf{r}}]e^{j\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}'}dv' A(k)=4πjk​∫V​[Z

​(I~−r^r^)⋅J(r′)+Y

​Jm​(r′)×r^]ejk⋅r′dv′

分布于有限區域的場源産生的遠區電磁場為TEM波，電場、磁場和傳播方向三者互相垂直，整體為球面波，局部為平面波。