前言
一種新的以頂點為中心的有限體積算法，專為具有已知潛在接觸軌迹的顯式大應變固體接觸動力學問題而設計，該方法采用基于線性動量的一階守恒研究組和一組幾何變形測量，包括變形梯度張量、其輔因子和行列式。
這些研究與Rankine-Hugoniot跳躍條件相結合，導出動态接觸模型，確定接觸界面處雙曲特征結構的儲存。與忽略接觸界面慣性效應的标準準靜态接觸模型相比，這是一個重大改進。
該算法使用适當的跳躍條件明确地強制執行運動學（速度）和動力學（牽引力）接觸沖擊條件，動力學接觸條件的實施是通過線性動量研究完成的，而運動學接觸條件是通過幾何守恒研究合并的，進而消除了對計算要求較高的疊代方案的需要。
不僅如此，這個方法還可以包括總變化減小沖擊捕獲技術，進而增強沖擊附近的性能，而無需臨時的正則化程式，為了從空間離散化的角度確定穩定性，全局熵産生通過經典科爾曼-諾爾過程的半離散版本來證明，以系統哈密頓能量的時間速率表示。
拉格朗日固體動力研究
對于離散和求解固體動力學實體來說，計算方法是非常重要的，Abaqus/Explicit 和 LS-DYNA 等商業求解器通常使用傳統的基于位移的公式，特别是用于空間離散化的有限元法 (FEM) 和用于顯示時間積分的基于 Newmark 的方法。
雖然說這些方法由于與非結構化四面體網格生成器相容而很受歡迎，但在應用于複雜的實體和材料模型（例如塑性或大應變接觸動力學）時，它們存在一些缺點，它們提供位移的二階精度，但僅提供應力的一階精度。
寄生振蕩發生在接觸或撞擊等沖擊附近，他們與以彎曲為主的場景作鬥争，沙漏效應和壓力棋盤效應接近不可壓縮極限時會出現問題，可能會發生剪切和體積鎖定。
要知道，解決這些缺點一直是解除固體動力學設區的重點關注點，以利用 FEM 的優勢并改進商業軟體，例如，已經探索了高階插值方法來提高應力計算的準确性。
目前已經引入了幾種沖擊捕捉技術，例如總變化減小，以減輕寄生振蕩，為了處理彎曲為主的場景，已經提出了選擇性簡化積分方法。
除了這個之外，還研究了更先進的穩定技術，例如不連續伽遼金法 (DGM)，以防止鎖定問題，這些方法旨在提高計算方法的準确性和穩定性，使其能夠應用于更廣泛的複雜問題。
為了提高接觸固體動力學标準方法的準确性，研究人員探索了各種技術，例如高階元素和基函數，這些方法提高了應力計算的準确性，但會損害計算效率，為了克服這種權衡，引入了簡化積分技術，該技術在使用高階元素（例如六面體元素）的同時保持計算效率。
研究人員已經開發了其他方法（例如平均擴張方法）來防止鎖定問題，鎖定問題可能在彎曲為主的場景中出現，還引入了平均節點壓力元素來近似每個節點的壓力，進而減輕了接近不可壓縮極限的壓力棋盤現象。
其中許多技術已被納入商業軟體中，以解決工業中使用的傳統求解器的缺點。雖然這些方法提高了準确性和效率，但它們僅部分解決了每個限制。
是以說，在涉及複雜實體、幾何或材料模型的場景中，尤其是在接觸問題中，缺陷仍然會顯現出來，無法準确有效地離散高階元素的域仍然是一個挑戰。
在計算固體動力學 (CSD) 求解器中準确模組化接觸力學需要額外的程式來識别和解析單個或多個實體之間的接觸區域，而傳統有限元法 (FEM) 求解器中實作接觸算法時需要考慮三個主要方面。
這些算法對于識别可能接觸的身體和區域至關重要，求解器需要在模拟過程中檢測可能的接觸點并跟蹤物體之間的接觸界面。
一旦識别出接觸區域，就需要在接觸界面處強制執行接觸條件，接觸解析方法近似物體之間的接觸互相作用，包括運動學和動力學條件，以確定适當的力傳遞并防止互相滲透。
當物體接觸時，接觸不連續處會産生應力波，準确的沖擊捕獲方法對于有效捕獲和模拟這些應力波是必要的，這些方法有助于防止接觸界面附近的寄生振蕩和不準确。
在每個負載增量處使用搜尋算法來确定物體之間的潛在接觸，該過程涉及兩個主要步驟，在全局搜尋中，算法識别一個物體是否有與另一個物體接觸的可能性。
這個步驟縮小了潛在接觸區域的範圍，并通過排除彼此不鄰近的表面來減少不必要的計算，通過執行全局搜尋，算法可以關注可能發生接觸的相關區域。
通過全局搜尋識别出潛在的接觸區域後，将執行局部搜尋以确定哪些特定表面、單元和節點發生接觸并需要接觸解析，本地搜尋進一步細化接觸區域，并使接觸算法能夠準确地執行适當的接觸條件。
通過将該方法分為全局搜尋和局部搜尋，可以降低計算成本，特别是在變形較大的情況下，它允許接觸算法僅關注相關表面，優化計算效率并加快模拟過程。
計量變量實驗
在固體力學中，為了描述連續體的變形，需要檢查運動和變形的運動學，封閉域 Ω0 的運動和變形通過映射函數 phi(X， t) 表示，該函數采用粒子的材料（參考）位置 X 和時間 t 并将其映射到其空間（歐拉）位置 x。
假設映射函數 是可逆的，足夠平滑，可以通過泰勒展開計算導數，并忽略高階項，這使我們能夠使用稱為變形梯度 F 的張量來描述域内不同長度的纖維從參考配置到空間配置的變化。
變形梯度是由 dx = F dX 給出的兩點張量，并且可以定義為，F = ∇0phi(X， t)其中 ∇0 是材料梯度，定義為 ∂/∂X，根據變形梯度，可以定義稱為雅可比 J 的體積圖，将初始配置中的微分體積 dV 與空間配置關聯為 dv = J dV。
J = det(F)雅可比 J 必須始終大于 0 以確定體積保持，接下來，可以定義區域圖，稱為輔助因子或伴随張量 H，它将參考配置中材料法線 N 的微分面積 dA 與空間法線 n 的空間配置相關聯。
面積圖與變形梯度的關系為，H = JF^(-T)或者，可以使用張量叉積将其表示為H = 1/2 FF^T其中 F^T 表示變形梯度的轉置。
最後，粒子的速度 v 可以根據變形映射定義為相對于時間 t 的偏導數，v = ∂phi(X， t)/∂t，通過對連續體的運動和變形的了解，可以制定固體動力學的控制研究。
固體動力學問題受兩個基本原理支配：線性動量平衡原理和品質守恒，這些原理構成了連續固體動力學 (CSD) 方法的基礎。
在拉格朗日固體動力學的背景下，這些控制研究可以表示如下，線性動量平衡原理：該原理指出，連續體線性動量的變化等于作用在其上的淨外力。
它可以在數學上表達為，ρDv/Dt = ∇·σ + ρb 。
其中 ρ 是材料密度，v 是速度矢量，D/Dt 是材料導數，σ 是柯西應力張量，∇ 是梯度算子，b 表示作用在連續體上的每機關品質的體積力。
品質守恒原理確定系統的品質保持恒定，在拉格朗日公式中，這個守恒研究本質上是滿足的，不需要被視為未知變量。
在大應變固體動力學中，引入非正常運動學守恒研究來表達完整的一階守恒架構，這些研究基于變形梯度張量 F 及其輔因子 H，這在運動學部分中進行了描述。
線性動量平衡原理，在大應變固體動力學的一階架構中，體積圖守恒，J研究（2.10）中引入。
這個額外的守恒研究通過減輕壓力棋盤現象（這在某些數值模拟中可能是一個問題）提供了更大的靈活性，特别是在具有幾乎不可壓縮行為的情況下。
當引入這些運動學守恒研究時，單值映射的存在性，φ確定，但必須滿足稱為相容性條件的附加條件，以維持實體上有意義的解決方案。
相容性條件表示是，變形梯度的旋度 (F)，卷曲F=0;（2.11a ）_面積圖的散度（H)，DIVH _=0.（2.11b ）_如果不滿足相容性條件，可能會出現寄生振蕩，導緻解不準确甚至數值不穩定，是以，在實施計算方法時必須仔細考慮這些條件。
一階架構的實驗過程
大應變固體動力學的一階架構以緊湊的形式表達為一組守恒研究，結合了線性動量平衡原理和運動學守恒研究。
守恒研究的局部形式由下式給出，U.t+3 m I=1.F I.XI=S,是保守變量的向量F 是通量矢量-th 材料方向，以及S是源項的向量，笛卡爾基向量表示為和1,和2,和3，以及與材料向外機關法線相關的相應通量矢量氮表示為F 氮。
該架構是雙曲線的，這意味着它確定在任何變形狀态下都存在真實波速，這一特性對于架構應用于接觸問題至關重要，因為它確定了計算方法的穩健性，還必須結合适定的本構模型來補充守恒研究并形成完整的數值方法。
值得注意的是，這裡提出的架構對于具有平滑解決方案的問題是有效的，這意味着不存在沖擊波或不連續性，對于非光滑問題，必須滿足稱為跳躍條件的附加條件才能使架構有效。
與标準的基于位移的公式相比，一階架構具有幾個優點。标準的基于位移的公式僅考慮線性動量平衡原理（公式 2.7），并根據位移重新公式化以獲得公式，ρ0∂訴−DIVP（∇0ϕ）=ρ0b；其中v=∂ϕ∂t乙。
r 0是材料密度，磷是作為變形映射函數梯度函數的第一 Piola-Kirchhoff 應力φ， 和在是速度場。在此二階公式中，未知變量是位移，當使用标準線性有限元求解時，會産生位移的二階解，但僅産生導出的應力和應變的一階解，它需要及時積分來評估速度。
另一方面，一階架構通過求解守恒變量而不是位移來克服這些限制，這保留了導出的應力和應變的精确度并直接求解速度，一階架構的優點是可以求解完整的守恒研究組，進而提高導出量的準确性。
一階架構為将應力與應變相關的本構模型的應用提供了靈活性。這允許合并更複雜的材料模型，例如模組化接觸和大應變固體動力學所需的模型，而不會影響解決方案的準确性。
總結
新的基于頂點的有限體積算法，專門用于處理顯式大應變固體接觸動力學，該方法采用一階守恒研究組和幾何變形測量，包括變形梯度張量、輔因子和體積圖，以描述連續體的運動和變形。
這些研究與Rankine-Hugoniot跳躍條件相結合，導出動态接觸模型，確定在接觸界面處雙曲特征結構的儲存。
該算法明确地強制執行運動學（速度）和動力學（牽引力）接觸沖擊條件，動力學接觸條件通過線性動量研究實作，而運動學接觸條件通過幾何守恒研究合并，進而消除了高計算要求的疊代方案的需要。
該方法還可以包括總變化減小沖擊捕獲技術，以提高接觸區域附近的性能，而無需臨時的正則化程式，全局熵産生通過半離散版本的經典科爾曼-諾爾過程來證明，以系統哈密頓能量的時間速率表示。
參考文獻：
【1】《先進材料研究》。
【2】《多步态軟機器人》。
【3】《固體力學及其應用》。
【4】《内外流動的數值計算》。
【5】《用有限元放大分析模拟的冷卷紋理預測》。