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1、第三章 地理學中的經典統計分析方法,第6節 趨勢面分析方法,趨勢面分析的用途 趨勢面分析的一般原理 趨勢面模型的适度檢驗 趨勢面分析應用執行個體 趨勢面分析的軟體實作,一、趨勢面分析的用途,趨勢面分析(trend surface analysis, TSA)的主要功能是找出研究區域内變量的空間分布格局。描述地理要素的空間分布及變化趨勢(如地質勘探、海底地形、生态環境、經濟要素的空間分布、評估等等)。許多現象在空間都具有複雜的分布特征，它們常常呈現為不規則的曲面。欲研究這些現象的空間分布趨勢，就要用适當的數學方法将現象的空間分布及其區域變化趨勢模拟出來，這就用到趨勢面分析方法。趨勢面分析方法常常被用。
2、來模拟資源、環境、人口及經濟要素在空間上的分布規律，它在空間分析方面具有重要的應用價值。 進行空間插值.是空間内插的一種方法。在區域内通過已知點的資料，推求任意點資料的方法稱為空間資料的内插。 在其他學科的應用(工程技術、傳染病學、化學等),二、趨勢面分析的一般原理,定義：趨勢面分析，是利用數學曲面模拟地理系統要素在空間上的分布及變化趨勢的一種數學方法。它實質上就是通過回歸分析原理，運用最小二乘法拟合一個二維非線性函數，模拟地理要素在空間上的分布規律，展示地理要素在地域空間上的變化趨勢。隻不過多元線性回歸分析考察的是多個自變量因素對因變量的影響程度，而趨勢面分析是将三維坐标系中坐标點x,y作為。
3、自變量，點z的值作為因變量來考察這個z值在空間上的變化趨勢。 目的：找到一個空間趨勢面去拟合地理要素的實際分布面。,空間趨勢面是一種光滑的數學曲面，它能集中地代表地理資料在大範圍内的空間變化趨勢。它與實際上的地理曲面不同，它隻是實際曲面的一種近似值。 趨勢面是一種抽象的數學曲面，它抽象并過濾掉了一些局域随機因素的影響，使地理要素的空間分布規律明顯化。 實際曲面=趨勢面+剩餘曲面。趨勢面反映了區域性的變化規律，它受大範圍的系統性因素影響，屬于确定性因素作用的結果。而剩餘面反映局部性變化特點，它受局部因素和随機因素的影響。,二、趨勢面分析的一般原理,趨勢面分析的一個基本要求，就是所選擇的趨勢面模型。
4、應該是剩餘值最小，而趨勢值最大，這樣拟合度精度才能達到足夠的準确性。空間趨勢面分析，正是從地理要素分布的實際資料中分解出趨勢值和剩餘值，進而揭示地理要素空間分布的趨勢與規律。 觀測值=确定性函數值+随機性函數值=趨勢值+剩餘值 我們通常用回歸分析的方法來求趨勢值和剩餘值。,二、趨勢面分析的一般原理,(一)建立趨勢面模型,設某地理要素的實際觀測資料為 ， 趨勢面拟合值為 ，則有 式中：i即為剩餘值(殘內插補點)。 顯然，當(xi，yi)在空間上變動時，(3.6.1)式就刻畫了地理要素的實際分布曲面、趨勢面和剩餘面之間的互動關系。,(3.6.1),趨勢面分析的核心 從實際觀測值出發推算趨勢面，使得殘差。
5、平方和趨于最小，即,以此來估計趨勢面參數。這就是在最小二乘法意義下的趨勢面拟合。,用來計算趨勢面的數學方程式有多項式函數和傅立葉級數，其中最為常用的是多項式函數形式。因為任何一個函數都可以在一個适當的範圍内用多項式來逼近，而且調整多項式的次數，可使所求的回歸方程适合實際問題的需要。,多項式趨勢面的形式 一次趨勢面模型 二次趨勢面模型 三次趨勢面模型,(3.6.2),(3.6.3),(3.6.4),(二) 估計趨勢面模型的參數,實質 根據觀測值zi，xi，yi(i=1,2,n)确定多項式的系數a0，a1，ap，使殘差平方和最小。 過程 将多項式回歸(非線性模型)模型轉化為多元線性回歸模型。,令 。
6、則,其殘差平方和為,(3.6.5),求Q對a0，a1，ap的偏導數，并令其等于0，得正規方程組(式中 為p+1個未知量),(3.6.6),一般采用消元法求解正規方程組。 解此正規方程組，即得p1個系數a0，a1，ap。 帶入原拟合模型，即得到趨勢面方程。,三、 趨勢面模型的顯著性檢驗,趨勢面拟合适度的R2檢驗 趨勢面拟合适度的顯著性F檢驗 趨勢面适度的逐次檢驗,趨勢面分析拟合程度與回歸模型的效果直接相關，是以，對趨勢面分析進行适度性檢驗是一個關系到趨勢面能否在實際研究中加以應用的關鍵問題，也是趨勢面分析中不可缺少的重要環節。 這可以通過以下檢驗來完成：,(一)趨勢面拟合适度的R2檢驗,趨勢面與。
7、實際面的拟合度系數R2是測定回歸模型拟合優度的重要名額。 一般用變量z的總離差平方和中回歸平方和所占的比重表示回歸模型的拟合優度。 總離差平方和等于回歸平方和與剩餘平方和之和。即,越大(或 越小)就表示因變量與自變量的關系越密切，回歸的規律性越強、效果越好。 記 越大，趨勢面的拟合度就越高。,(二)趨勢面拟合适度的顯著性F 檢驗,趨勢面适度的F檢驗，是對趨勢面回歸模型整體的顯著性檢驗。 方法：是利用變量z的總離差平方和中回歸平方和與剩餘平方和的比值，确定變量z與自變量x、y之間的回歸關系是否顯著。即 結果分析：在顯著性水準下，查F分布表得F，若計算的F值大于臨界值F，則認為趨勢面方程顯著；反之。
8、則不顯著。,(3.6.10),(三)趨勢面适度的逐次檢驗,方法 (1)求出較高次多項式方程的回歸平方和與較低次多項式方程的回歸平方和之差; (2)将此差除以回歸平方和的自由度之差，得出由于多項式次數增高所産生的回歸均方差; (3)将此均方差除以較高次多項式的剩餘均方差，得出相繼兩個階次趨勢面模型的适度性比較檢驗值F。 若所得的F值是顯著的，則較高次多項式對回歸作出了新貢獻，若F值不顯著，則較高次多項式對于回歸并無新貢獻。相應的方差分析表見表3.6.1。,資源與環境科學系 羅慶研制,表3.6.1 多項式趨勢面由K次增高至(K+1)次 的回歸顯著性檢驗,四、趨勢面分析應用執行個體,某流域1月份降水量與。
9、各觀測點的坐标位置資料如表3.6.2所示。下面，我們以降水量為因變量z，地理位置的橫坐标和縱坐标分别為自變量x、y，進行趨勢面分析，并對趨勢面方程進行适度F檢驗。,表3.6.2 流域降水量及觀測點的地理位置資料,建立趨勢面模型 (1) 首先采用二次多項式進行趨勢面拟合，用最小二乘法求得拟合方程為,解題步驟,圖3.6.1 某流域降水量的二次多項式趨勢面,(2)再采用三次趨勢面進行拟合，用最小二乘法求得拟合方程為,圖3.6.2 某流域降水量的三次多項式趨勢面,(1)趨勢面拟合适度的R2檢驗: 根據R2檢驗方法計算，結果表明，二次趨勢面的判定系數為R22=0.839，三次趨勢面的判定系數為R32=0。
10、.965，可見二次趨勢面回歸模型和三次趨勢面回歸模型的顯著性都較高，而且三次趨勢面較二次趨勢面具有更高的拟合程度。,模型檢驗,(2) 趨勢面适度的顯著性F檢驗 : 根據F檢驗方法計算，結果表明，二次趨勢面和三次趨勢面的F值分别為F2=6.236和F3=6.054。在置信水準=0.05下，查F分布表得 F3= 。顯然 ， ， 故二次趨勢面的回歸方程顯著而三次趨勢面不顯著。是以，F檢驗的結果表明，用二次趨勢面進行拟合比較合理。,。,資源與環境科學系 羅慶研制,趨勢面比較：在二次和三次趨勢面檢驗中，對兩個階次趨勢面模型的适度進行比較，相應的方差分析計算結果見表3.6.3。,(3)趨勢面适度的逐次檢驗。
11、：,表3.6.3 二次和三次趨勢面回歸模型的逐次檢驗方差分析表,分析：從二次趨勢面增加到三次趨勢面，F32=1.779。在置信度水準=0.05下，查F分布表得F0.05(4,2)=6.94，由于F32 F0.05(4,2)=6.94 ，故将趨勢面拟合次數由二次增高至三次，對回歸方程并無新貢獻，因而選取二次趨勢面比較合适。這也進一步驗證了趨勢面拟合适度的顯著性F檢驗的結論。,五、可用軟體,Matlab6.0 Sas8.0 Arcview, Arcinfo 趨勢面分析子產品,實際應用中，趨勢面分析具體計算方法步驟： 1、以原始資料清單 2、等間隔選取縱橫坐标網，将原始資料點入坐标 3、用spss軟體。
12、建立并選擇趨勢面回歸方程即選取模型(xy等二次或三次項可通過資料轉換，用compute功能産生新的變量，建立二進制高次多項式，選取強迫進入法進行回歸。 4、模型檢驗 5、用matlab或arcgis繪制趨勢面分析圖,資源與環境科學系 羅慶研制,資源與環境科學系 羅慶研制,120,2.29,資源與環境科學系 羅慶研制,需要注意的問題,在實際應用中，往往用次數低的趨勢面逼近變化比較小的地理要素資料，用次數高的趨勢面逼近起伏變化比較複雜的地理要素資料。次數低的趨勢面使用起來比較友善，但具體到某點拟合較差；次數較高的趨勢面隻在觀測點附近效果較好，而在外推和内插時則效果較差。 趨勢面分析雖然是一種多元分析的數學工具,實際上卻隻能對單一的原始資料進行處理,基本上是一種一進制分析方法。,思考題：,趨勢面分析的基本原理是什麼？與一般回歸分析的步驟有哪些不同？ 除了多項式形式以外，是否可以用其他函數形式拟合趨勢面？為什麼。