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1.條件機率
設 A A A， B B B是兩個事件，且 P ( A ) P(A) P(A) > > > 0 0 0，稱
P ( B ∣ A ) = P ( A B ) P ( A ) P(B|A)=\frac{P\left(AB\right)}{P(A)} P(B∣A)=P(A)P(AB)
為在事件發生的條件下事件發生的條件機率.
2.乘法定理
設 P ( A ) P(A) P(A) > > > 0 0 0，則有
P ( A B ) = P ( B ∣ A ) P ( A ) P(AB)=P(B|A)P(A) P(AB)=P(B∣A)P(A)
上式稱為乘法公式.還可以推廣到多種情況，例如，設 A A A, B B B, C C C為事件，且 P ( A B ) P(AB) P(AB) > > > 0 0 0，則有
P ( A B C ) P(ABC) P(ABC) = = = P ( C ∣ A B ) P(C|AB) P(C∣AB) P ( B ∣ A ) P(B|A) P(B∣A) P ( A ) P(A) P(A).
3.全機率公式
設試驗 E E E的樣本空間為 S S S， A A A為 E E E的事件， B 1 B_1 B1， B 2 B_2 B2，…, B n B_n Bn為 S S S的一個劃分，且 P P P( B i B_i Bi) > > > 0 0 0 ( i i i = = = 1 1 1, 2 2 2,… n n n) 則
P ( A ) = P ( A ∣ B 1 ) P ( B 1 ) + P ( A ∣ B 2 ) P ( B 2 ) + . . . + P ( A ∣ B n ) P ( B n ) . P(A)=P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+...+P(A|B_n)P(B_n). P(A)=P(A∣B1)P(B1)+P(A∣B2)P(B2)+...+P(A∣Bn)P(Bn).
上式稱為全機率公式.
4.貝葉斯公式
設試驗 E E E的樣本空間為 S S S. A A A為 E E E的事件， B 1 B_1 B1， B 2 B_2 B2，…, B n B_n Bn為 S S S的一個劃分，且 P ( A ) P(A) P(A) > > > 0 0 0, P P P( B i B_i Bi) > > > 0 0 0 ( i i i = = = 1 1 1, 2 2 2,… n n n) 則
P ( B i ∣ A ) = P ( B i A ) P ( A ) = P ( A ∣ B i ) P ( B i ) ∑ j = 1 n P ( A ∣ B j ) P ( B j ) , i = 1 , 2 , ⋯ , n \mathrm{P}\left(B_{i} | A\right)=\frac{P\left(B_{i} A\right)}{P(A)}=\frac{P\left(A | B_{i}\right) P\left(B_{i}\right)}{\sum_{j=1}^{n} P\left(A | B_{j}\right) P\left(B_{j}\right)}, i=1,2, \cdots, n P(Bi∣A)=P(A)P(BiA)=∑j=1nP(A∣Bj)P(Bj)P(A∣Bi)P(Bi),i=1,2,⋯,n
上式稱為貝葉斯公式.
5.獨立性
設 A A A， B B B是兩個事件，如果滿足等式
P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)P(B)
則稱事件 A , B A,B A,B互相獨立，簡稱 A , B A,B A,B獨立.
Question
例1·系統可靠性問題
試分别求以下兩個系統的可靠性:
(1)設有4個獨立工作的元件 1 , 2 , 3 , 4. 1,2,3,4. 1,2,3,4.它們的可靠性分别為 p 1 ， p 2 , p 3 , p 4 , p1，p2,p3,p4, p1，p2,p3,p4,将它們按圖(1)的方式連接配接(稱為并串聯系統);
思路
可看作兩個互相獨立的系統： 1 − − − > 2 − − − > 3 1--->2--->3 1−−−>2−−−>3 1 − − − > 4 1--->4 1−−−>4
以 A i A_i Ai表示事件“第 i i i個元件正常工作”， i = 1 , 2 , 3 , 4 i=1,2,3,4 i=1,2,3,4,以 A A A表示”系統正常工作“，因為各元件互相獨立且有 P ( A i ) = P i ( i = 1 , 2 , 3 , 4 ) P(A_i)=P_i(i=1,2,3,4) P(Ai)=Pi(i=1,2,3,4)，是以有：
A = A 1 A 2 A 3 ⋃ A 1 A 4 A=A_1A_2A_3{\bigcup}A_1A_4 A=A1A2A3⋃A1A4
由加法公式及各元件工作的獨立性得：
P ( A ) = P ( A 1 A 2 A 3 ) + P ( A 1 A 4 ) − P [ ( A 1 A 2 A 3 ) ⋂ ( A 1 A 4 ) ] P(A)=P(A_1A_2A_3)+P(A_1A_4)-P[(A_1A_2A_3){\bigcap}(A_1A_4)] P(A)=P(A1A2A3)+P(A1A4)−P[(A1A2A3)⋂(A1A4)]
= P ( A 1 ) P ( A 2 ) P ( A 3 ) + P ( A 1 ) P ( A 4 ) − P ( A 1 A 2 A 3 A 4 ) =P(A_1)P(A_2)P(A_3)+P(A_1)P(A_4)-P(A_1A_2A_3A_4) =P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A4)−P(A1A2A3A4)
Answer:
P ( A ) = p 1 p 4 + p 1 p 2 p 3 − p 1 p 2 p 3 p 4 P(A)=p_1p_4+p_1p_2p_3-p_1p_2p_3p_4 P(A)=p1p4+p1p2p3−p1p2p3p4
(2)設有5個獨立工作的元件 1 , 2 , 3 , 4 , 5. 1,2,3,4,5. 1,2,3,4,5.它們的可靠性均為 p , p, p,将它們按圖(2)的方式連接配接(稱為橋式系統).
思路
将元件3分為正常工作和失效兩種情況，就可以将本題簡化為第一問的并串聯系統，由全機率公式：
P ( A ) = P ( A ∣ A 3 ) P ( A 3 ) + P ( A ∣ A 3 ‾ ) ( P ( A 3 ‾ ) P(A)=P(A|A_3)P(A_3)+P(A|{\overline{A_3}})(P({\overline{A_3}}) P(A)=P(A∣A3)P(A3)+P(A∣A3)(P(A3)
當系統正常工作時，系統簡化成下列圖(1)的情況：
此 時 P ( A ∣ A 3 ) = P [ ( A 1 ⋃ A 4 ) ( A 2 ⋃ A 5 ) ] 此時P(A|A_3)=P[(A_1{\bigcup}A_4)(A_2{\bigcup}A_5)] 此時P(A∣A3)=P[(A1⋃A4)(A2⋃A5)]
當系統失效時，系統簡化成下列圖(2)的情況：
此 時 P ( A ∣ A 3 ‾ ) = P ( A 1 A 2 ⋃ A 4 A 5 ) 此時P(A|{\overline{A_3}})=P(A_1A_2{\bigcup}A_4A_5) 此時P(A∣A3)=P(A1A2⋃A4A5)
中間運算過程略去.
Answer:
P ( A ) = 2 p 2 + 2 p 3 − 5 p 4 + 2 p 5 P(A)=2p_2+2p_3-5p_4+2p_5 P(A)=2p2+2p3−5p4+2p5
例2·三門問題
假設你正在參加一個遊戲節目.你看見三扇關閉了的門，其中一扇的後面有一輛汽車，另外兩扇門後面則.各藏有一隻山羊.選中後面有車的那扇門可赢得該汽車.你標明了一扇門，但沒去打開它.知道門後面有什麼的主持人打開了另一扇後面有山羊的門.主持人問你要不要換另一扇仍然關上的門.問題是:換另一扇門會增加你赢得汽車的機率嗎?
必要的假設：
1.你標明了1号門，主持人打開了3号門；
2.汽車等可能放在某個門後面；
3.如果你選的1号門後面是羊,那麼主持人肯定打開另一扇後面是羊的門；
4.如果你選的1号門後面是車，那麼主持人以機率 p p p打開3号門，以機率 1 − p 1-p 1−p打開2号門，這裡 0 < = p < = 1 0<=p<=1 0<=p<=1
思路
令 B i B_i Bi= { i i i号門後面是車}, i i i=1,2,3, A A A= {主持人打開3号門}，則
P ( B 1 ) = P ( B 1 2 ) = P ( B 3 ) = 1 / 3 , P ( A ∣ B 1 ) = p , P ( A ∣ B 2 ) = 1 , P ( A ∣ B 3 ) = 0 P(B_1)=P(B_12)=P(B_3)=1/3,P(A|B_1)=p,P(A|B_2)=1,P(A|B_3)=0 P(B1)=P(B12)=P(B3)=1/3,P(A∣B1)=p,P(A∣B2)=1,P(A∣B3)=0
由貝葉斯公式，不換能得到汽車的機率為
P ( B 1 ∣ A ) = P ( B 1 ) P ( A ∣ B 1 ) P ( B 1 ) P ( A ∣ B 1 ) + P ( B 2 ) P ( A ∣ B 2 ) + P ( B 3 ) P ( A ∣ B 3 ) = p 1 + p P\left(B_{1} | A\right)=\frac{P\left(B_{1}\right) P\left(A | B_{1}\right)}{P\left(B_{1}\right) P\left(A | B_{1}\right)+P\left(B_{2}\right) P\left(A | B_{2}\right)+P\left(B_{3}\right) P\left(A | B_{3}\right)}=\frac{p}{1+p} P(B1∣A)=P(B1)P(A∣B1)+P(B2)P(A∣B2)+P(B3)P(A∣B3)P(B1)P(A∣B1)=1+pp
因而換能得到汽車的機率為
1 1 + p \frac{1}{1+p} 1+p1
Answer:
1.當 p < 1 p<1 p<1時，換後得到汽車的機率更大；
2.當 p = p= p=時，換與不換得到汽車的機率都是 1 2 \frac{1}{2} 21
3.特别地當 p = 0 p=0 p=0時，如果1号門後面是車，則主持人一定打開2号門.是以如果主持人打開3号門，則意味着車一定在2号門後面，換能保證一定得到汽車.