Lucas定理:
Lucas定理是用來求 C(n,m) mod p的值,p是素數(從n取m組合,模上p)。
描述為:
Lucas(n,m,p)=C(n%p,m%p)* Lucas(n/p,m/p,p)
Lucas(x,0,p)=1;
簡單的了解就是:
以求解n! % p 為例,把n分段,每p個一段,每一段求得結果是一樣的。但是需要單獨處理每一段的末尾p,2p,...,把p提取出來,會發現剩下的數正好又是(n/p)! ,相當于
劃歸了一個子問題,這樣遞歸求解即可。
這個是單獨處理n!的情況,當然C(n,m)就是n!/(m! *(n-m)!),每一個階乘都用上面的方法處理的話,就是Lucas定理了
Lucas最大的資料處理能力是p在10^5左右。
而C(a,b) =a! / ( b! * (a-b)! ) mod p
其實就是求 ( a! / (a-b)!) * ( b! )^(p-2) mod p
ll quick_pow(ll a,ll n,ll p)
{
ll x = a;
ll res = 1;
while(n)
{
if(n & 1)
{
res = ((ll)res * (ll)x) % p;
}
n >>= 1;
x = ((ll)x*(ll)x) % p;
}
return res;
}
ll C(ll n,ll m,ll p)
{
ll a = 1,b = 1;
if(m > n) return 0;
//實作(a!/(a-b)!) * (b!)^(p-2)) mod p
while(m)
{
a = (a * n) % p;
b = (b * m) % p;
m--;
n--;
}
return ((ll)a * (ll)quick_pow(b,p-2,p))%p;
}
ll Lucas(ll n,ll m,ll p)
{
if(m==0)
return 1;
return((ll)C(n%p,m%p,p)*(ll)Lucas(n/p,m/p,p))%p;
}