高等代數 具有度量的線性空間(第10章)4 酉空間,酉變換,埃爾米特變換,正規變換

一.酉空間(10.5)

1.複線性空間上的内積

(1)概念:

(2)共轭線性:

2.酉空間(複内積空間)的概念:

3.酉空間的度量

(1)長度:

(2)夾角:

定理1(柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式,Cauchy-Buniakowsky-Schwarz Inequality):在酉空間 V V V中,對于任意向量 α , β α,β α,β,有 ∣ ( α , β ) ∣ ≤ ∣ α ∣ ∣ β ∣ ( 7 ) |(α,β)|≤|α||β|\qquad(7) ∣(α,β)∣≤∣α∣∣β∣(7)等号成立當且僅當 α , β α,β α,β線性相關

(3)正交:

(4)其他相關結論:

把複數 z z z的實部記為 R e   z Re\,z Rez,虛部記為 I m   z Im\,z Imz

推論1(三角形不等式):在酉空間 V V V中,有 ∣ α + β ∣ ≤ ∣ α ∣ + ∣ β ∣   ( ∀ α , β ∈ V ) ( 11 ) |α+β|≤|α|+|β|\,(∀α,β∈V)\qquad(11) ∣α+β∣≤∣α∣+∣β∣(∀α,β∈V)(11)

推論2(勾股定理):在酉空間 V V V中,若 α ⊥ β α⊥β α⊥β,則 ∣ α + β ∣ 2 = ∣ α ∣ 2 + ∣ β ∣ 2 ( 12 ) |α+β|^2=|α|^2+|β|^2\qquad(12) ∣α+β∣2=∣α∣2+∣β∣2(12)

用數學歸納法可以把勾股定理推廣為:如果 α 1 , α 2 . . . α s α_1,α_2...α_s α1​,α2​...αs​兩兩正交,那麼 ∣ α 1 + α 2 + . . . + α s ∣ 2 = ∣ α 1 ∣ 2 + ∣ α 2 ∣ 2 + . . . + ∣ α s ∣ 2 ( 13 ) |α_1+α_2+...+α_s|^2=|α_1|^2+|α_2|^2+...+|α_s|^2\qquad(13) ∣α1​+α2​+...+αs​∣2=∣α1​∣2+∣α2​∣2+...+∣αs​∣2(13)

推論3:在酉空間 V V V中,對 α , β ∈ V α,β∈V α,β∈V,規定 d ( α , β ) : = ∣ α − β ∣ d(α,β):=|α-β| d(α,β):=∣α−β∣則 d d d是1個距離,進而酉空間 V V V對該距離成為1個度量空間

4.有限維酉空間中的标準正交基

命題1:在酉空間 V V V中,由兩兩相加的非零向量組成的集合是線性無關的

推論1:在 n n n維酉空間 V V V中,兩兩相加的非零向量的個數不超過 n n n

(1)正交規範集:

(2)正交基:

定理2: n n n維酉空間 V V V一定有标準正交基

(3)Gram矩陣:

(4)标準正交基的應用:

計算内積:

計算向量的坐标:

(5)酉矩陣:

定理3:設 η 1 , η 2 . . . η n η_1,η_2...η_n η1​,η2​...ηn​是 n n n維酉空間 V V V上的1個标準正交基,向量組 β 1 , β 2 . . . β n β_1,β_2...β_n β1​,β2​...βn​滿足 ( β 1 , β 2 . . . β n ) = ( η 1 , η 2 . . . η n ) P ( 21 ) (β_1,β_2...β_n)=(η_1,η_2...η_n)P\qquad(21) (β1​,β2​...βn​)=(η1​,η2​...ηn​)P(21)則 β 1 , β 2 . . . β n β_1,β_2...β_n β1​,β2​...βn​是 V V V的1個标準正交基當且僅當 P P P是酉矩陣

5.酉空間的同構

(1)概念:

(2)判定:

定理4:2個有限維酉空間同構的充要條件是它們的維數相同

推論1:設 V V V是 n n n維酉空間,則 V V V上的線性變換 σ σ σ是保距同構當且僅當 σ σ σ把 V V V的标準正交基映成标準正交基

定理6:設 V , V ′ V,V' V,V′都是酉空間,如果存在 V V V到 V ′ V' V′的1個那麼滿射 σ σ σ保持向量的内積不變,那麼 σ σ σ是 V V V到 V ′ V' V′的1個保距同構,進而 V V V與 V ′ V' V′同構

推論1:設 V , V ′ V,V' V,V′都是 n n n維酉空間,如果存在 V V V到 V ′ V' V′的1個映射 σ σ σ保持向量的内積不變,那麼 σ σ σ是 V V V到 V ′ V' V′的1個保距同構,進而 V V V與 V ′ V' V′同構

(3)性質:

定理5:設 V , V ′ V,V' V,V′都是酉空間,如果存在 V V V到 V ′ V' V′的1個映射 σ σ σ保持向量的内積不變,那麼

( 1 ) σ (1)σ (1)σ保持向量的長度不變

( 2 ) σ (2)σ (2)σ是 V V V到 V ′ V' V′的1個線性映射

( 3 ) σ (3)σ (3)σ是單射

6.酉空間中的正交補與正交投影(10.5)

(1)正交補:

定理7:設 U U U是酉空間 V V V的1個有限維非零子空間,則 V = U ⊕ U ⊥ ( 22 ) V=U\oplus U^⊥\qquad(22) V=U⊕U⊥(22)

(2)正交投影:

定理8:設 U U U是酉空間 V V V的1個子空間,且 V = U ⊕ U ⊥ V=U\oplus U^⊥ V=U⊕U⊥,則對 α ∈ V , α 1 ∈ U α∈V,α_1∈U α∈V,α1​∈U是 α α α在 U U U上的正交投影當且僅當 d ( α , α 1 ) ≤ d ( α , γ )   ( ∀ γ ∈ U ) d(α,α_1)≤d(α,γ)\,(∀γ∈U) d(α,α1​)≤d(α,γ)(∀γ∈U)

(3)最佳逼近元:

若 U U U為有限維子空間,則由定理7得 V = U ⊕ U ⊥ V=U\oplus U^⊥ V=U⊕U⊥,于是 V V V中任一向量 α α α在 U U U上有正交投影 α 1 = ∑ i = 1 m ( α , η i ) η i α_1=\displaystyle\sum_{i=1}^m(α,η_i)η_i α1​=i=1∑m​(α,ηi​)ηi​,其中 η 1 . . . η m η_1...η_m η1​...ηm​是 U U U的1個标準正交基,進而根據定理8得, V V V中任一向量 α α α在 U U U上的最佳逼近元存在且唯一,它就是 α α α在 U U U上的正交投影 α 1 α_1 α1​

二.酉變換與埃爾米特變換(10.5)

1.酉變換

(1)概念:

(2)性質:

命題2:酉空間 V V V上的酉變換一定是線性變換,并且是單射,進而是可逆的

命題4:酉空間 V V V上2個酉變換的乘積還是酉變換,酉變換的逆變換仍是酉變換

定理9:設 Ꭿ Ꭿ Ꭿ是 n n n維酉空間 V V V上的1個酉變換,則 V V V中存在1個标準正交基,使得 Ꭿ Ꭿ Ꭿ在此基下的矩陣是對角矩陣

推論1: n n n級酉矩陣一定酉相似于1個對角矩陣

(3)判定:

命題3:酉空間 V V V上的1個變換 Ꭿ Ꭿ Ꭿ是酉變換當且僅當 Ꭿ Ꭿ Ꭿ是 V V V到自身的1個保距同構

命題5: n n n維酉空間 V V V到自身的1個映射 Ꭿ Ꭿ Ꭿ如果保持向量的内積不變,那麼 Ꭿ Ꭿ Ꭿ是酉變換

命題6: n n n維酉空間 V V V上的線性變換 Ꭿ Ꭿ Ꭿ是酉變換

       ⇔ Ꭿ \,\,\,\,\:\,⇔Ꭿ ⇔Ꭿ把 V V V的标準正交基映成标準正交基

       ⇔ Ꭿ \,\,\,\,\:\,⇔Ꭿ ⇔Ꭿ在 V V V的标準正交基下的矩陣是酉矩陣

(4)特征值:

命題7: n n n維酉空間 V V V上的酉變換 Ꭿ Ꭿ Ꭿ的特征值的模等于1

即酉變換的特征值均在機關圓上

(5)不變子空間:

命題8:設 Ꭿ Ꭿ Ꭿ是酉空間 V V V上的1個酉變換,若 W W W是 V V V的1個有限維子空間.且 W W W是 Ꭿ Ꭿ Ꭿ的1個不變子空間,則 W ⊥ W^⊥ W⊥也是 Ꭿ Ꭿ Ꭿ的不變子空間

2.埃爾米特變換(Hermite Transformation)

(1)概念:

(2)性質:

命題9:酉空間 V V V上的埃爾米特變換 Ꭿ Ꭿ Ꭿ一定是線性變換

定理10:設 Ꭿ Ꭿ Ꭿ是 n n n維酉空間 V V V上的1個埃爾米特變換,則 V V V中存在1個标準正交基,使得 Ꭿ Ꭿ Ꭿ在此基下的矩陣是實對角矩陣

推論1: n n n級埃爾米特矩陣一定酉相似于1個實對角矩陣

(3)判定:

命題10: n n n維酉空間 V V V上的線性變換 Ꭿ Ꭿ Ꭿ是埃爾米特變換當且僅當 Ꭿ Ꭿ Ꭿ在 V V V的任意1個标準正交基下的矩陣 A A A滿足 A ∗ = A ( 27 ) A^*=A\qquad(27) A∗=A(27)滿足(27)式的 n n n級複矩陣 A A A稱為埃爾米特矩陣(Hermite Matrix)或自伴矩陣

(4)特征值:

命題11:酉空間 V V V上的埃爾米特變換 Ꭿ Ꭿ Ꭿ如果有特征值,那麼其特征值是實數

(5)不變子空間:

命題12:設 Ꭿ Ꭿ Ꭿ是酉空間 V V V上的1個埃爾米特變換,若 W W W是 V V V的1個有限維子空間.且 W W W是 Ꭿ Ꭿ Ꭿ的1個不變子空間,則 W ⊥ W^⊥ W⊥也是 Ꭿ Ꭿ Ꭿ的不變子空間

三.線性變換的伴随變換

1.概念:

2.唯一性:

定理11:對于 n n n維複(實)内積空間 V V V上的任一線性變換 Ꭿ Ꭿ Ꭿ,都存在唯一的1個伴随變換 Ꭿ ∗ Ꭿ^* Ꭿ∗

3.矩陣表示:

定理12:設 Ꭿ Ꭿ Ꭿ是 n n n維複(實)内積空間 V V V上的1個線性變換,如果 Ꭿ Ꭿ Ꭿ在 V V V的1個标準正交基 η 1 , η 2 . . . η n η_1,η_2...η_n η1​,η2​...ηn​下的矩陣為 A A A,那麼 Ꭿ ∗ Ꭿ^* Ꭿ∗在該标準正交基下的矩陣為 A ∗ A^* A∗

4.性質:

定理13:設 V V V是複(實)内積空間, Ꭿ , B Ꭿ,ℬ Ꭿ,B是 V V V上的線性變換, k ∈ C ( k∈C( k∈C(或 R ) R) R).如果 Ꭿ , B Ꭿ,ℬ Ꭿ,B都有伴随變換,那麼 Ꭿ + B , k Ꭿ , Ꭿ B , Ꭿ ∗ Ꭿ+ℬ,kᎯ,Ꭿℬ,Ꭿ^* Ꭿ+B,kᎯ,ᎯB,Ꭿ∗都有伴随變換,且 ( Ꭿ + B ) ∗ = Ꭿ ∗ + B ∗ ( k Ꭿ ) ∗ = k ˉ Ꭿ ∗ ( Ꭿ B ) ∗ = B ∗ Ꭿ ∗ ( Ꭿ ∗ ) ∗ = Ꭿ (Ꭿ+ℬ)^*=Ꭿ^*+ℬ^*\\(kᎯ)^*=\bar{k}Ꭿ^*\\(Ꭿℬ)^*=ℬ^*Ꭿ^*\\(Ꭿ^*)^*=Ꭿ (Ꭿ+B)∗=Ꭿ∗+B∗(kᎯ)∗=kˉᎯ∗(ᎯB)∗=B∗Ꭿ∗(Ꭿ∗)∗=Ꭿ進一步,如果 Ꭿ Ꭿ Ꭿ可逆且 Ꭿ − 1 Ꭿ^{-1} Ꭿ−1也有伴随變換,那麼 Ꭿ ∗ Ꭿ^* Ꭿ∗也可逆,且 ( Ꭿ ∗ ) − 1 = ( Ꭿ − 1 ) ∗ (Ꭿ^*)^{-1}=(Ꭿ^{-1})^* (Ꭿ∗)−1=(Ꭿ−1)∗

四.正規變換

1.概念:

2.正規變換與對角矩陣的關系

(1)準備工作:

引理1:設 Ꭿ Ꭿ Ꭿ是複(實)内積空間 V V V上的正規變換,則對 ∀ α ∈ V \forallα∈V ∀α∈V,有 ∣ Ꭿ α ∣ = ∣ Ꭿ ∗ α ∣ ( 45 ) |Ꭿα|=|Ꭿ^*α|\qquad(45) ∣Ꭿα∣=∣Ꭿ∗α∣(45)

引理2:設 Ꭿ Ꭿ Ꭿ是複(實)内積空間 V V V上的正規變換, c ∈ C ( c∈C( c∈C(或 R ) R) R),則 c I − Ꭿ cℐ-Ꭿ cI−Ꭿ也是 V V V上的正規變換

定理14:設 Ꭿ Ꭿ Ꭿ是複(實)内積空間 V V V上的正規變換,則 λ 1 λ_1 λ1​是 Ꭿ Ꭿ Ꭿ的1個特征值當且僅當 λ 1 ˉ \bar{λ_1} λ1​ˉ​是 Ꭿ ∗ Ꭿ^* Ꭿ∗的1個特征值; ξ ξ ξ是 Ꭿ Ꭿ Ꭿ的屬于特征值 λ 1 λ_1 λ1​的1個特征向量當且僅當是 ξ ξ ξ是 Ꭿ ∗ Ꭿ^* Ꭿ∗的屬于特征值 λ 1 ˉ \bar{λ_1} λ1​ˉ​的1個特征向量

定理15:設 Ꭿ Ꭿ Ꭿ是複(實)内積空間 V V V上的任一線性變換,且 Ꭿ Ꭿ Ꭿ有伴随變換 Ꭿ ∗ Ꭿ^* Ꭿ∗.如果 W W W是 Ꭿ Ꭿ Ꭿ的不變子空間,那麼 W ⊥ W^⊥ W⊥是 Ꭿ ∗ Ꭿ^* Ꭿ∗的不變子空間

(2)充分性:

定理16:設 Ꭿ Ꭿ Ꭿ是有限維酉空間 V V V上的正規變換,則 V V V中存在1個标準正交基,使得 Ꭿ Ꭿ Ꭿ在此基下的矩陣是對角矩陣

(3)正規矩陣與對角矩陣的關系:

定理17:對于複數域上的任一 n n n級正規矩陣 A A A,存在1個酉矩陣 P P P,使得 P − 1 A P P^{-1}AP P−1AP為對角矩陣

3.酉矩陣,埃爾米特矩陣與對角矩陣的關系

(2)酉矩陣與對角矩陣的關系:

定理18:任一 n n n級酉矩陣 A A A一定酉相似于1個對角矩陣 d i a g   { e i θ 1 , e i θ 2 . . . e i θ n } ( 47 ) diag\,\{e^{iθ_1},e^{iθ_2}...e^{iθ_n}\}\qquad(47) diag{eiθ1​,eiθ2​...eiθn​}(47)其中 0 ≤ θ j ≤ 2 π   ( j = 1 , 2... n ) 0≤θ_j≤2\pi\,(j=1,2...n) 0≤θj​≤2π(j=1,2...n)

(2)埃爾米特矩陣與對角矩陣的關系:

定理19:任一 n n n級埃爾米特矩陣都酉相似于1個實對角矩陣

五.埃爾米特型

1.埃爾米特型

(1)概念:

(2)性質:

定理20:對于 n n n元埃爾米特型 x ∗ A x x^*Ax x∗Ax,存在酉替換 x = P y ( x=Py( x=Py(即 P P P是酉矩陣 ) ) ),使得 x ∗ A x = λ 1 y 1 y 1 ˉ + λ 2 y 2 y 2 ˉ + . . . + λ n y n y n ˉ ( 55 ) x^*Ax=λ_1y_1\bar{y_1}+λ_2y_2\bar{y_2}+...+λ_ny_n\bar{y_n}\qquad(55) x∗Ax=λ1​y1​y1​ˉ​+λ2​y2​y2​ˉ​+...+λn​yn​yn​ˉ​(55)其中 λ 1 , λ 2 . . . λ n ∈ R λ_1,λ_2...λ_n∈R λ1​,λ2​...λn​∈R是 A A A的全部特征值

2.正定埃爾米特型

(1)概念:

(2)判定:

定理21:設 A A A是 n n n級埃爾米特矩陣,則下列命題等價:

① A ①A ①A是正定埃爾米特矩陣

② ② ②對任意 n n n級可逆複矩陣 B B B,有 B ∗ A B B^*AB B∗AB是正定埃爾米特矩陣

③ A ③A ③A的特征值全部大于0

④ ④ ④存在 n n n級可逆複矩陣 C C C,使得 C ∗ A C = I C^*AC=I C∗AC=I

⑤ A = Q ∗ Q ⑤A=Q^*Q ⑤A=Q∗Q,其中 Q Q Q是 n n n級可逆複矩陣

⑥ A ⑥A ⑥A的所有順序主子式全部大于0

A A A的所有主子式全部大于0