數學之路-SAS分析(1)

卡方分布（chi-square distribution, χ²-distribution）是機率論與統計學中常用的一種機率分布。k個獨立的标準正态分布變量的平方和服從自由度為k的卡方分布。卡方分布是一種特殊的伽瑪分布，是統計推斷中應用最為廣泛的機率分布之一，例如假設檢驗和置信區間的計算。

若k個随機變量

、……、

是互相獨立，符合标準正态分布的随機變量（數學期望為0、方差為1），則随機變量Z的平方和

被稱為服從自由度為 k 的卡方分布，記作

機率密度函數

其中，

是 伽瑪函數。

期望和方差

分布的 均值為自由度 n，記為 E(

) = n。

分布的 方差為2倍的自由度(2n)，記為 D(

) = 2n。

性質

1)

分布在第一 象限内，卡方值都是正值，呈正偏态（右偏态），随着參數 n 的增大，

分布趨近于正态分布；卡方分布密度曲線下的面積都是1. 2)

分布的均值與 方差可以看出，随着自由度n的增大，χ2分布向 正無窮方向延伸（因為均值n越來越大），分布 曲線也越來越低闊（因為方差2n越來越大）。 3）不同的自由度決定不同的卡方分布，自由度越小，分布越偏斜。 4) 若

互相獨立，則：

服從

分布，自由度為

；

服從

分布，自由度為

。

累積分布函數

卡方分布的累積分布函數為：

，

其中γ(k,z)為不完全Gamma函數

在大多數涉及卡方分布的書中都會提供它的累積分布函數的對照表。此外許多表格計算軟體如OpenOffice.org Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分布函數。

自由度為k的卡方變量的平均值是k，方差是2k。 卡方分布是伽瑪分布的一個特例，它的熵為：

其中

是雙伽瑪函數。

伽瑪函數（Gamma Function）作為 階乘的延拓，是定義在複數範圍内的 亞純函數，通常寫成

。 在實數域上伽瑪函數定義為：

在複數域上伽瑪函數定義為：

其中

，此定義可以用 解析開拓原理拓展到整個 複數域上，非正整數除外。 标準正态分布又稱為u分布，是以0為 均數、以1為 标準差的正态分布，記為N（0，1）。 标準正态分布曲線下面積分布規律是：在-1.96～+1.96範圍内曲線下的面積等于0.9500，在-2.58～+2.58範圍内曲線下面積為0.9900。統計學家還制定了一張統計用表（自由度為∞時），借助該表就可以估計出某些特殊u1和u2值範圍内的曲線下面積。

正态分布的機率密度函數曲線呈鐘形，是以人們又經常稱之為 鐘形曲線。我們通常所說的 标準正态分布是位置參數 均數為0, 尺度參數： 标準差為1的正态分布（見右圖中綠色曲線）。

正态分布中一些值得注意的量： 密度函數關于平均值對稱 平均值與它的 衆數（statistical mode）以及 中位數（median）同一數值。 函數曲線下68.268949%的面積在平均數左右的一個 标準差範圍内。 95.449974%的面積在平均數左右兩個标準差的範圍内。 99.730020%的面積在平均數左右三個标準差的範圍内。 99.993666%的面積在平均數左右四個标準差的範圍内。 函數曲線的反曲點（inflection point）為離平均數一個标準差距離的位置。

非中心卡方分布 [1] [2] 是有正态分布衍生得到的一個機率分布. 設

為一組獨立的随機變量, 并且

(

服從 正态分布 ), 定義随機變量

, 稱随機變量

服從自由度為

, 非中心參數為

的的非中心卡方分布, 記為

; 其中

. 當

時, 随機變量

服從自由度為

的 卡方分布 .

SAS設定自由度和非中心參數計算p分位點的方式如下：

272  data _null_;

273  q=cinv(0.95,10,25.2);*0.95分位數,自由度為10，非中心參數為25.2;

274  put q=;

275  run;

q=54.759186647

NOTE: “DATA 語句”所用時間（總處理時間）:

      實際時間          0.00 秒

      CPU 時間          0.00 秒

CINV( p, df <, nc>)

Required Arguments

p

is a numeric probability.

Range

0 ≤ p < 1

df

is a numeric degrees of freedom parameter.

Range

df > 0

Optional Argument

nc

is a numeric noncentrality parameter.

Range

nc ≥ 0

Details

The CINV function returns the p th quantile from the chi-square distribution with degrees of freedom df and a noncentrality parameter nc. The probability that an observation from a chi-square distribution is less than or equal to the returned quantile is p. This function accepts a noninteger degrees of freedom parameter df. If the optional parameter nc is not specified or has the value 0, the quantile from the central chi-square distribution is returned. The noncentrality parameter nc is defined such that if X is a normal random variable with mean μ and variance 1, X 2 has a noncentral chi-square distribution with df=1 and nc = μ 2. 

總體正态分布的等距分組的組距确定，即組距相等。

n=1+3.322*LOG(N)

d=R/n

N:總體容量

n:組數

R：總體全距：最大值與最小值之差。

d:組距

data _null_;

N=1000;

n=1+3.322*LOG(N);

mymax=18651;

mymin=1240;

r=mymax-mymin;

d=r/n;

put d;

run;