特征值、特征根、秩、計算行列式、線性相關性、矩陣的相似、你可以想到有幾種方法證明一個矩陣滿秩、奇異值分解、線性相關與線性無關、什麼叫矩陣的迹、正定是什麼意思、什麼是線性方程組有解/無解/有唯一解的條件、正交矩陣、MATLAB解線性方程組的原理、矩陣的微分、矩陣的幂運算、矩陣的導數
一. 行列式，秩，迹 ，正定矩陣
1、行列式
将矩陣映射為一個标量，矩陣每列代表一個邊(平面)，行列式表示多元空間各平面圍成的體積。
2、秩
線性無關列的極大數目。本質：空間次元。
矩陣的秩就是矩陣中不等于0的子式的最高階數。
行階梯型矩陣的秩等于其非零行的行數。
(1)與向量組的關系：
矩陣的秩等于它列向量組的秩，也等于它行向量組的秩。
向量組的秩定義為向量組的極大線性無關組所含向量的個數。
(2)與向量空間的關系(幾何意義)：
任何矩陣的行空間的維數等于矩陣的列空間的維數等于矩陣的秩。
(3)與線性方程組解的關系：
設A是m×n矩陣，若R(A)=r＜n，則齊次線性方程組Ax=0有基礎解系，且每個基礎解系都含n-r個解向量。
(4)與線性變換的關系：
所謂一個線性變換的秩，無非就是變換後，還能保持非零體積的幾何形狀的最大次元。
3、迹
矩陣主對角線。
4、正定矩陣
特征值都大于0的矩陣
5、半正定矩陣
特征值大于等于0的矩陣
二、線性相關與線性無關
1、向量組的線性組合
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2、向量組的線性相關性
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3、線性相關、無關與線性表示的關系
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4、線性相關的幾何意義
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三、 向量範數，矩陣範數
1、向量範數
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2、矩陣範數
矩陣範數
四、行空間，列空間，它們關系？
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五、 線性方程組有解/無解/唯一解的條件？
1、無解：系數矩陣秩 < 增廣矩陣的秩
2、唯一解：系數矩陣秩 = 增廣矩陣的秩 = 列數 n
3、無窮解：系數矩陣秩 = 增廣矩陣的秩 < 列數 n
六、線性方程組解的結構
1、齊次線性方程組解的結構
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2、非齊次線性方程組
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3、一些結論
(1)若(A|b)經初等行變換，變換為(B|d)，則線性方程組Ax=b與Bx=d同解
(2)Ax=0有非零解⟺ R(A)＜n，n為未知量的個數⟺ A的列向量組線性相關
(3)Ax=b有解⟺ R(A)=R(A˜). ⟺ b可由A的列向量組線性表示
(4)若R(A)=R(A˜)=r，則當r=n時，Ax=b有唯一解；當r＜n時，Ax=b有無窮多個解
七、标準正交基，施密特變換
1、标準正交基
兩量正交的向量，且長度為機關1
2、正交矩陣
矩陣的轉置和矩陣的乘積=機關陣，那麼這個矩陣就是正交矩陣，他的列向量組一定是标準正交向量組
3、施密特變換
求标準正交基的方法。把一個線性無關向量組改造成一個與其等價的正交向量組。
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八、二次型與标準型
1、二次型定義
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2、标準型定義
僅含平方項的二次型稱為标準形式的二次型，簡稱标準型。
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3、二次型的矩陣表示
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4、二次型的秩
矩陣A的秩稱為二次型f(x)的秩，二次型的矩陣一定是對稱矩陣。
5、合同矩陣
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6、化二次型為标準型
(1)正交變換法(最常用)
性質：正交變換保持向量的内積、範數、夾角不變。
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(2)配方法
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(3)初等變換法
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九、相似矩陣
1、正常相似矩陣
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2、實對稱矩陣的相似矩陣
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十、 Jordan标準型
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十一、Pseudo Inverse僞逆矩陣
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十二、Normal Equation正規方程
1、介紹
一種優化方法，求導數的一種方法。【X * θ = Y 推導(左乘轉置矩陣變成方陣之後求逆)】
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2、梯度下降與正規方程的對比
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3、矩陣不可逆時，如何求解θ矩陣
不可逆時有以下兩種情況：
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針對1：因為線性相關的向量(有一個是多餘的)，隻需删除一個就好；
針對2：因為太多特征導緻，是以需要删除一些特征，或者使用正則化的方法(regularization)
十三、SVD 奇異值分解
如何一個矩陣為方陣，我們可通過它的特征值和特征向量來表示這個矩陣：
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SVD也是對矩陣進行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩陣為方陣。假設我們的矩陣A是一個m×n的矩陣，那麼我們定義矩陣A的SVD為：
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舉個例子：對物體進行受力分析，各個方向上力合成最後的力。特征值分解就好比是對最終的力分解成各個方向上的力，特征向量表示力的方向，特征值表示各方向力的大小。
特征值分解針對方針，SVD可以對非方陣進行分解。
十四、參考