PT_中心極限定理CLT:棣莫佛－拉普拉斯定理de Moivre - Laplace CLT+林德伯格－列維(Lindeberg-Levy)定理

中心極限定理CLT

• 中心極限定理（英語：central limit theorem，簡作 CLT）是​​機率論​​中的一組定理。

• 中心極限定理說明，在适當的條件下，大量互相獨立​​随機變量​​​的均值經适當标準化後​​依分布收斂​​​于标準​​正态分布​​。
• 這組定理是​​數理統計學​​​和​​誤差​​分析的理論基礎，指出了大量随機變量之和近似服從正态分布的條件
• 提供了計算獨立随機變量之和的近似機率

• 有助于解釋為什麼很多随機現象可以用正态分布來描述

棣莫佛－拉普拉斯定理de Moivre - Laplace CLT

• ​​棣莫佛​​​－​​拉普拉斯​​（de Moivre - Laplace）定理是中央極限定理的最初版本，

• 讨論了服從​​二項分布​​的随機變量序列。它指出，參數為n, p的二項分布以np為均值、np(1-p) 為方差的正态分布為極限。
• 在每次試驗中,事件A發生的機率是

解釋

• 有關二項分布的機率計算問題可以轉換為正态分布的計算問題

林德伯格－列維（Lindeberg-Levy）定理

• 林德伯格－列維（Lindeberg-Levy）定理，是棣莫佛－拉普拉斯定理的擴充

• 讨論​​獨立同分布​​随機變量序列的中央極限定理。
• 它表明，​​獨立同分布​​（i.i.d., 即 independent and indentically distributed）且數學期望和方差有限的随機變量序列的标準化和以标準正态分布為極限

• 在前面我們已經推導過
• ,

解釋

• 當n很大的時候:

• 的分布不容易求得時,

• 隻要n足夠大,就可以通過标準正态分布函數
• 來求解與
• 相關事件的機率

參考證明

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推導DeMoivre-Laplace CLT

• 設
• 是獨立同分布的随機變量序列,

• 結合上述語境:

• 由Lindeberg-Levy CLT得到DeMoivre-Laplace CLT