寫給理工科人看的樂理（四）和弦與調式
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通過前面的課程的學習，我們已經掌握了計算五線譜中任何一個音的音高（頻率值），并且學習了音的組和方法：和聲。這一講将以這些知識為基礎來介紹和弦與調式理論。這些内容中數理方面的并沒有之前的課程那麼多，但感性的成份卻是比較豐富的，且要求記憶的東西也多了一些。不過，仍然先是曆史課。
一、樂理發展史 · 之三
上一次的曆史課已經研究了人們是如何用五度相生律構造出7音階的過程，并知道這7個音分别是：{1, 1.125, 1.265625, 1.333, 1.5, 1.6875, 1.8984375}，它們對應的音名是：{C, D, E, F, G, A, B}。後來人們不斷的改進音階的生成方式，并增加純八度音程内的音數，直到十二平均律這一黃金律制産生。今天我們就來研究7音階是如何演化為12音階的。
随着制作工藝的不斷進步，樂器的音準越來越高，人們慢慢意識到五度相生律産生的7音階與理想曲線相比誤差實在是太大了。我們現在知道，當相鄰的音都為等比關系時，音階才最平滑。而原始7音階中的第3個音和第7個音看起來是那麼突兀，這樣構造出來的音樂确實不夠好聽。後來有人提出“純律”學說，但究竟是誰最早提出的至今還存在争議。有人認為純律和五度相生律都是畢達哥拉斯提出或整理的，也有人認為純律在中國2400年前的戰國時代就已開始應用，還有人說是古希臘學者亞理斯托森努斯發明……不過可以肯定的是純律在2000多年前就已被人類所掌握。純律構造音階的方法與五度相生律不同，它是由純五度（2:3）和大三度（4:5）為素材确定7音階的律制。純率生成的7個音的頻率分别是：{f, 9f/8, 5f/4, 4f/3, 3f/2, 5f/3, 15f/8}。嗯，确實比五度相生律的那些巨大的分數簡單多了，那他的平滑度怎麼樣呢？請觀察圖1。
圖1 五度相生律音階（藍），純律音階（綠）和理想音階（橙）對比
好是好點，不過就那麼一點點而已，而且還打破了五度相生律産生的内部協調性。此外7個音也開始顯得不夠用了，人們希望通過變調使得音樂更加豐富，看來還得繼續探索。
之前人們為了計算第7個音，就要計算2/3的5次幂，這對于2000多年前的計算水準來說确實有點難了。然而數學的發展又一次給音樂帶來了新生。人們通過計算發現，2/3的12次幂約為129.74634，約等于基準頻率f上面的第7個八度音的頻率 f×28=128f f×28=128f，那麼可否繼續應用五度相生律再産生一些音呢？看下表：
| n | 頻率 | 倍率 |
| 1 | 3f/2 | 1.5 |
| 2 | 9f/4 | 2.25 |
| 3 | 27/8 | 3.375 |
| 4 | 81f/16 | 5.0625 |
| 5 | 243f/32 | 7.59375 |
| 6 | 729/64 | 11.3906 |
| 7 | 2187/128 | 17.0859 |
| 8 | 6561/256 | 25.6289 |
| 9 | 19683/512 | 38.4434 |
| 10 | 59049/1024 | 57.6650 |
| 11 | 177147/2048 | 86.4976 |
由這些倍率産生的12音階為（用倍率除以它下面的第一個 2n 2n而得）：{1, 1.0679, 1.125, 1.2014, 1.2656, 1.3515, 1.4238, 1.5, 1.6018, 1.6875, 1.802, 1.8984}，把他們畫在坐标系中，請觀賞圖2。
圖2 五度相生律産生12音階（新産生的五個音為綠色）
震驚了嗎？多麼平滑的一條折線，而且新産生的音都被“均勻”地安插在了原先的7音階中間。我們不得不驚歎造物主的神奇，這也是音樂是世界上唯一通行的語言的原因吧！由于之前的七個音和它們的音名{C, D, E, F, G, A, B}已經非常流行了，且新産生的音都可以看作是用原7音階中的某個音升半音而得，是以這5個新産生的音就被叫做{C#, D#, F#, G#, A#}，這也正是為什麼E和F、B和C之間是半音的原因。
看起來已經很完美了，還有改進的空間嗎？答案是有的。盡管五度相生律生成的12音階已經相當平滑了，但仍然不是理想的“等比”音階，這樣就會導緻一個潛在的問題。我們舉例來說，大家都在KTV唱過歌，應該知道有些KTV的點播機有升降音的功能，當伴奏比較高而人聲又吼不上去時，可以用降音功能把伴奏的音高統一降低一些，這樣聽起來仍然是非常自然的。比如一首歌原先的音的序列是<E F G G F E>，降低半音就是：<D# E F# F# E D#>。聽起來仍然非常自然的原因在于這一序列内部的音程比例關系沒有變，仍然是以 2√12 212為基準的。在音樂術語中，這個過程叫做轉調。然而要在五度相生律生成的12音階系統中進行轉調就會産生偏差，因為它内部的音程比例關系不是固定的。設想一群樂師給皇帝演奏曲目，樂器的音準都是預先調好的，結果皇帝一時興起想高歌兩句但又唱不上去高音，就指令樂師低兩個音演奏，結果聽到的伴奏完全不是剛剛那麼回事了，這是多麼尴尬的一件事。
圖3 至今仍有一些古老的樂器難以實作轉調
後來人們又想出了各種修正的辦法，比如構造一些等差數列來修正每個音與理想曲線的誤差等等，但這些方法既複雜又不能從根本上解決問題。這時整個音樂界都在急迫的等待新律制的誕生。直到公元17世紀的明朝人朱載堉提出十二平均律，并由利瑪窦帶到西方，才拯救西方音樂界于水火之中。雖然十二平均律看起來那麼完美，但也不是完全沒有問題。有人認為十二平均律破壞了純四度和純五度的協調關系，也就是說我們之前講的F音應該是C音頻率的4/3=1.33333倍，G音應該是F音的3/2=1.5倍，而在十二平均律中它們的倍率分别是： 2512≈1.33484 2512≈1.33484和 2512≈1.49831 2512≈1.49831。其實所差無幾，不是嗎？在通常的演奏音域範圍内，人耳幾乎是不可能聽出這些差別的，這也是十二平均律沿用至今而五度相生律和純律都已遭淘汰的原因。
世界三大律制：五度相生律、純律和十二平均律的故事就講完了，今天的曆史課可能有點枯燥，我們來聽點音樂調節一下吧：
郎朗演奏肖邦《英雄波羅乃茲》
二、和弦
和弦（念“xian”，不念“xuan”，通常發兒化音）原指弦線，在音樂理論裡，是指組合在一起的兩個或更多不同音高的音。在歐洲古典音樂及受其影響的音樂風格裡，更多時候是指三個或以上的音高組合。和弦的組成音，可分開演奏，亦可同時演奏。分開演奏的，我們稱為分解和弦。
和弦的結構類型很多，如果按照組成音的多寡來區分，和弦可以分為三和弦、七和弦及九和弦等。三和弦是由三個音組成，七和弦是由四個音組成，九和弦則由五個音組成。如果按照和弦組成音之間的音程結構來分類，又可分為大和弦、小和弦、增和弦和減和弦四種形态。
1. 三和弦
以任意一個音n1為基準，稱為根音，向上三度得到n2，向上五度得到n3，這三個音的和弦稱為三和弦。三和弦可以再分為大三和弦、小三和弦、增三和弦和減三和弦。這些三和弦的構成如下表所示：
| 名稱 | [n1,n2] | [n1,n3] |
| 大三和弦 | 大三度 | 純五度 |
| 小三和弦 | 小三度 | 純五度 |
| 增三和弦 | 大三度 | 增五度 |
| 減三和弦 | 小三度 | 減五度 |
上表中[n1,n2]表示從n1到n2的音程，[n1,n3]表示從n1到n3的音程。注意增五度就是小六度，減五度就是三全音，這是在上一講中提到過的異名同音現象。接下來我們就用鋼琴的音階來舉一些三和弦的例子。
圖4 鋼琴白鍵之間的音程
如果你已經完全了解了上一講的内容，很容易就可以推算出圖3所示的對應關系。C和E兩鍵之間共有兩個全音，是以是大三度，C和G是純五度，那麼C、E和G三個白鍵就構成了大三和弦，請在線上鋼琴上試彈（對應鍵盤上的T、U和O）。C和Eb（E左邊的黑鍵）是小三度，那麼C、Eb和G三個鍵構成了小三和弦（線上鋼琴的黑鍵可以用滑鼠點）。同理可知：C、E和G#（G右邊的黑鍵）構成增三和弦，C、Eb和和Gb（G左邊的黑鍵）構成減三和弦。
需要注意的是，如果換一個音作為起始，那麼和弦對應的鍵位就會發生明顯的變化，且發出的聲音色彩也會完全不同。以A為根音的大三和弦是A、C#和E，小三和弦是A、C和E，增三和弦是A、C#和E#，減三和弦是A、C和Eb。12種大三和弦對應的鍵位如圖5所示，可在線上鋼琴上試彈，要按從左到右，從上到下的順序依次試彈每個大三和弦，每個三和弦的三個音以12321的順序按下。
圖5 所有大三和弦的鋼琴鍵位
用電腦鍵盤來按鍵是比較友善的，如果您找不着鍵位，下面給出了試彈的按鍵序列。注意大寫字母要同時按下shift鍵和字母鍵，這就是黑鍵的按法，空格處稍做停頓。
tuout TiOiT yIpIy YoPoY uOaOu ipspi IPSPI oadao OsDsO pSfSp PdgdP aDGDa
将每個大三和弦的n2音降半音，可得到一共12個小三和弦，它們的按鍵序列為：
tYoYt TUOUT yipiy YIpIY uoaou iOsOi IpSpI oPdPo OADAO psfsp PSgSP adGda
通過比對我們可以聽出，小三和弦的“協調”程度不如大三和弦，這一原因請朋友們用之前學習的和聲理論進行分析。增三和弦和減三和弦的情況與之類似，朋友們可以自行推算所有增三和弦與減三和弦的音名。
2. 七和弦
七和弦比三和弦多加一個音n4，它于n1的音程為七度。七和弦又分為：大小七和弦、大七和弦、小七和弦、小大七和弦、增七和弦、增七和弦和半減七和弦一共7種，每一種七和弦的音的配置參見維基百科，此處不再贅述。
有了和聲與和弦理論，就可以進入更高一級的主題，那就是調式與調性。
三、調式
先給出調式的定義：調式是若幹個具有不同音高的音的集合，這些音互相之間具有某種特定的音程關系，并在調式中擔任不同的角色。調式是決定音樂風格最重要的因素之一，調式和調性結合，決定了該段音樂所用的調。
現在最常使用的調式大體分為大調式和小調式兩種，又細分為自然大調、旋律大調、和聲大調、自然小調、旋律小調、和聲小調等等，但無論哪種調式都具有7種不同的音，依次分别稱為：主音、上主音、中音、下屬音、屬音、下中音和下主音，其中下主音有時也稱作導音。這什麼會有這樣的名稱呢？回顧我們上一講提到的五度相生律就會明白：主音生屬音，而中音位于主音和屬音之間，主音下面是下主音、上面是上主音，屬音下面是下屬音，屬音和下主音之間的另一個中音稱為下中音。額，還是很麻煩呐，隻能死記硬背了。。。不過還有另一種福音命名法：主音、I級音、II級音、III級音、IV級音、V級音、VI級音和VII級音（“福音”二字是我給起的，呵呵）。不同的調式規定了這些音之間不同的音程，但不規定音的具體音高。也就是說調式仍是建立在以十二平均律體系為基礎的相對音高系統之上的。調式系統裡最重要的是自然大調和自然小調，這兩個自然調式一定要熟記，下面分别學習。
1. 自然大調
自然大調是最常見的調式，大多數流行歌曲都采用自然大調。自然大調的規則是：除了“中音和下屬音”，“下主音和主音”這兩對音之間的音程是小二度之外，其他相鄰兩音之間都是大二度 （音數為1，即1個全音）。是以一個自然大調從主音開始依次往高的音程可以這樣來記憶：“全全半全全全半”，這也就是著名的大調音階。而一個主音到下一個主音之間的音程剛好是純八度，也就是将一個主音當做1，計數到8的那個音與主音的音程。這下我們終于知道為什麼叫做“純八度”了，呵呵。
圖6 一個典型的大調音階
圖6是一個最簡單的大調音階，不包括任何的升降标記。其中音符下方的弧線代表全音音程，上方的折線代表半音音程。我們可以在線上鋼琴上試彈一個大調音階<C4 D4 E4 F4 G4 A4 B4 C5>，對應鍵盤上的按鍵是：tyuiopas。
2. 自然小調
自然小調是和自然大調同等重要的調式，在古典音樂中應用非常廣泛。它的音階為“全半全全半全全”。看起來與自然大調音階隻是相位不同而已，但實際上由于作曲時要先定調，就像寫程式先設計架構結構一樣。定了調之後就有了主音以及其它音的相對音高關系，而作曲時都要圍繞主音進行。以主音為根音的三和弦稱為主和弦，大調使用大三和弦，而小調使用小三和弦，是以聽起來是有很大差異的。
圖7 一個典型的小調音階
圖6所的小調音階為<A3 B3 C4 D4 E4 F4 G4 A4>在線上鋼琴上對應的鍵盤按鍵是：ertuyiop
3. 其它小調式
大調一般隻有一種，就是自然大調。蘇聯老毛子發明的什麼和聲大調、旋律大調都是瞎胡鬧。但小調還分為和聲小調、旋律小調和現代小調三種，但都比較少見，有些隻在特别的音樂類型中出現，比如現代小調一般隻出現在爵士樂中。
為什麼小調會出現變種呢？這是因為小調有着天生的缺陷。自然大調的下主音和主音之間的音程是半音，即小二度，很好的展現了對主音的傾向。舉例而言，從一個大調音階<C、D、E、F、G、A、B、C>中的B到C的過渡是非常自然和平緩的，這樣作曲時就友善的使用跨越純八度的和聲。然而小調的下主音和主音之間的音程是全音，即大二度，欠缺了傾向主音的性質，是以人們就嘗試将自然小調音階的導音提升半音，這樣就得到了和聲小調音階。旋律小調和現代小調就更加複雜一些，牽扯不同的上行音階和下行音階，這些過于專業的内容就不再贅述了。
4. 大小調關系
前面所說的絕對音名相同但相位不同的大小調稱為關系調，比如降E大調（降E大調是指該調采用的主音為Eb）的關系小調叫做c小調，降E大調音階是<Eb、F、G、Ab、Bb、C、D>，c小調的音階是<C、D、Eb、F、G、Ab、Bb>，可以看出它們采用的音名都是相同的，但做了移相。是以從升降号上是無法區分大小調的，但是通過觀察譜子裡使用的主音就很容易區分了。現在朋友們的基礎知識不夠，等一下講介紹了調性理論後，我們會來練習從譜子中看出調式與調性。
大調一直以來都是作曲家鐘愛的調試，而相比之下小調的音樂就比較少了，古典音樂裡二者還相差不多，但流行樂中的小調就少得多了。這主要是因為小調的歌唱性沒有大調強，常用來表達負面的情感，比如悲傷、陰沉、恐怖等，在電影、遊戲中的背景音樂中常可以聽到。不過流行歌曲也是有一些的，比如《白桦林》、《愛的供養》、《傷心太平洋》等，國外的流行歌曲到是多一些，而且有人研究發現：從1960年代以來越來越多的流行歌曲是以小調作曲的。。。
四、總結
這一講我們學習了和弦理論以及調式系統的相關分類，詳細介紹了自然大調和自然小調兩種最主要的調試和他們的關系，都是屬于比較枯燥的内容。但這些東西不講，下一講的調性理論就沒辦法展開，這也是基礎樂理中關于音高的最後一部分内容了。同志們，勝利在望啊，請繼續堅持！另外，感謝朋友們的支援，我也會繼續努力的。
又到了放福利時間，這回請欣賞人類音樂藝術的巅峰之作——貝多芬《第九交響曲》的第四樂章《歡樂頌》。請留意，它的調式是d小調。
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