（轉）網上摘抄：計算數學研究方向及網上資料

(轉）網上摘抄：計算數學研究方向及網上資料

計算數學目的為實體學和工程學作計算。主要研究方向包括：

數值泛函分析；連續計算複雜性理論；數值偏微與有限元；非線性數值代數及複動力系統；

非線性方程組的數值解法；數值逼近論；計算機模拟與資訊處理等；工程問題數學模組化與計算等等。

目前發展最好的方向已經與應用數學的CAGD 方向合二為一。現在最熱的方向應該是微分方程的數值求解、數值代數和流形學習，數值計算名校：西安交通大學、北京大學、大連理工大學

從計算數學的字面來看，應該與計算機有密切的聯系，也強調了實踐對于計算數學的重要性。

也許Parlett 教授的一段話能最好地說明這個問題：

How could someone as brilliant as von Neumann think hard about a subject as mundane as triangular factoriz-ation of an invertible matrix and not

perceive that, with suitable pivoting, the results are impressively good? Partial answers can be suggested-lack of hands-on experience, concentration on the inverse rather than on the solution of Ax = b -but I do not find them adequate. Why did Wilkinson keep the QR algorithm as a backup to a Laguerre-based method for the unsymmetric eigenproblem for at least two years after the appearance of QR? Why did more than 20 years pass before the properties of the Lanczos algorithm were understood? I believe that the explanation must involve the impediments to comprehension of the effects of finite-precision arithmetic.

( 引自www.siam.org/siamnews/11-03/matrix.pdf)

既然是計算數學專業的學生，就不能對自己領域内的專家不有所了解。早些年華人在計算數學領域裡面占有一席之地是因為馮康 院士獨立于西方，創立了有限元 方法，而後又提出辛算法。這裡隻是列出幾位比較年輕的華人計算數學專家，因為他們代表了目前計算數學的研究熱點，也反映華人對計算數學的發展的貢獻。

侯一钊（加州理工）

研究方向：計算流體力學、多尺度計算與模拟、多相流

http://www.acm.caltech.edu/~hou/

鄂維南（Princeton 大學）

北京大學長江學者，研究方向：多尺度計算與模拟

http://ccse.pku.edu.cn/staff/weinane.htm

包剛（Michigan 州立大學）

吉林大學長江學者，研究方向：光學與電磁場中的計算等

http://www.mth.msu.edu/~bao/

金石(Wisconsin 大學)

清華大學長江學者，研究方向：雙曲守恒律、計算流體力學、動力學理論等

http://www.math.wisc.edu/~jin/

湯濤（香港浸會大學）

中科院，研究方向：移動網格法等

http://www.math.hkbu.edu.hk/~ttang/

舒其望（Brown 大學）

中科大長江學者，研究方向：計算流體力學、譜方法

http://www.dam.brown.edu/people/shu/home.html

陳漢夫（香港中文 大學）

研究方向：數值線性代數

http://www.math.cuhk.edu.hk/~rchan/

許進超（Pennsylvania 州立大學）

北京大學長江學者，研究方向：有限元、多重網格法

http://www.math.psu.edu/xu/

袁亞湘

中科院，研究方向為非線性最優化

http://lsec.cc.ac.cn/~yyx/

張平文（北京大學）

北京大學長江學者，研究方向為複雜流體的模拟、多尺度計算與

模拟、移動網格法等

http://www.math.pku.edu.cn/pzhang/index.html

陳志明（中科院）

研究方向：科學計算與數值分析，主要為有限元法

http://lsec.cc.ac.cn/~zmchen/index-c.html

其他還有黃維章、吳宗敏、Xu Kun 、程今等人也非常突出。

作為計算數學專業的學生，經常閱讀本專業中的主要雜志也許是頗有裨益的 。

理論：最好的基本是

Mathematics of Computation

Numerische Mathematik

SIAM Journal on Numerical Analysis

SIAM Journal on Matrix Analysis & Applications

SIAM Journal on Scientific Computing

較好的有：

BIT

IMA Journal of Numerical Analysis

Advances in Computational Mathematics

Inverse Problems

還有應用性質的雜志：

Journal of Computational Physics

International Journal for Numerical Methods in Engineering

Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering

International Journal for Numerical Methods in Fluids

Computers and Fluids

Computational Mechanics

還有很多帶有Computational 字眼的其他學科的期刊：

Journal of Computational Chemistry ，Computational Material Sciences

也可以浏覽。

但是作為入門 來說，大家的綜述特别能幫助我們這些新人迅速把握了解、把握一個領域，因而值得特别重視。

這方面最好的是劍橋大學出版社出版的Acta Numerica 連續出版物。Acta Numerica 每年出版一本，作者均是該領域的頂尖人物。比如說最近幾年水準集方法非常熱門，05 年就有一篇水準集方法創始人之一的Stanley Osher 寫的Level Set Method in Image Science 。其他論題有：entropy stability (Tadmor E) ，radial basis function (Buhmann MD) 等等。該出版物可以從網上可以找到不少。另外一本就是SIAM Review 。SIAM Review 的每一期裡面都有幾篇文章關于計算數學的内容的，經常從實際問題引伸出計算的問題，或者是介紹每一個領域的最新進展等。 SIAM News 的每一期也有關于計算的有意思的短文，不妨浏覽浏覽。

作為數學系的學生，無疑是需要讀很多數學書。計算數學的書可以稱得上是汗牛充棟。

微分方程數值解是計算數學中的核心論題 。傳統的方法有有限差分法、有限元法、邊界元法和譜方法。

有限差分法想法最為簡單，比較容易了解。李榮華的那本《微分方程數值解》就介紹了最基本的東西：收斂性、相容性和穩定性。

Richtmeyer & Morton 的《Difference Methods for Initial-Value Problems 》則是差分法方面的經典著作。

R. LeVeque 最近也有一本《Finite Difference Method for Differential Equations 》也很有意思，介紹了差分方法的新的現代概念。LeVeque 的書可以在他的首頁 （http://www.amath.washington.edu/~rjl/ ）上下載下傳，他的另外一本書《Numerical Methods for Conservation Laws 》是守恒律數值方法方面非常出色的著作。

有限元法方面自然是推薦使用Ciarlet 的《The Finite Element Method for Elliptic Problems 》，這也是系裡專業科的教材。

另外Brenner & Scott 的《Mathematical Theory of the Finite Element Method 》據說也是不錯的。

譜方法對于規則區域上的問題往往是最為有效的方法。華東師大的郭本瑜教授在這方面做過很好的工作，他的《Spectral Methods and Their Applications 》廣受好評。Purdue 大學的沈捷教授也有很出色的工作，他的一個講義可從他的首頁 （http://www.math.purdue.edu/~shen/ ）上下載下傳，同時還有相關的Matlab 和Fortran Trefethen 的《Spectral Methods in Matlab 》，其他的還有Canuto 等人的《Spectral Methods in Fluid Dynamics 》。除了上面這些方法之外，還有近年來比較熱門的無網格方法，這些可以參考張雄和劉岩的《無網格方法》（清華大學出版 社，2003 ，50 ￥）。 程式。譜方法方面最好的入 門書為

計算數學的主要工具是泛函分析 。一般推薦的Yoshida 的 《Functional Analysis 》（有中譯本：吉田耕作，《泛函分析》）或者Rudin 的《Functional Analysis 》。這兩本書都是非常難的，但是也是非常經典的書，可能當字典比較合适。但是，泛函分析裡面重要的定理在計算裡面并不見得特别有用，是以我們要甄别那些可能有用的東西，Sawyer 的《數值泛函分析引論》也許是比較合适的入門讀物。這本書裡面介紹了一些泛函分析概念的來由，如Holder 不等式的導出，也有泛函分析在計算數學中的應用，比如Kantorovich 疊代收斂性準則的解釋。張恭慶的《泛函分析》強調泛函分析的應用，裡面也有一些應用于數值計算的例子，比如Lax 等價定理，值得讀一下。

計算數學還有其他許多重要的分枝，如矩陣計算、反問題、計算流體力學、最優化、逼近論 等。由于這方面本人涉略甚少，這裡也沒有什麼好說的了。希望計算數學這些方向的其他同許能補充上去。最後補充一 句，訂閱mailing list 也是不錯的，可以迅速獲得關于計算數學會議、新出版文章等的資訊。中文的推薦使用CAM ，可在下面的網址注冊

http://www.math.hkbu.edu.hk/cam-net/indexcn.html

英文 的推薦訂閱Clever Moler 的NA Digest ，可在下面的網址注冊

http://www.netlib.org/na-net

接下來介紹幾本矩陣計算方面的書的。浙大的張振躍老師在這方面有很出色的工作，中科院的白中治，北京大學的徐樹方，複旦的魏益民和曹志浩，澳門大學的金小慶 都是這方向的，還有複旦出去的柏兆俊。肯定還有許多學者在這方面有很突出的工作，可惜我基本上沒什麼涉略，這裡也不能列出來。

國外的大牛有Golub ，很多這個方向的大家都是他的學生。Kahan, James Demmel, Peter Stewart, L N Trefethen,Higham, 這個名單可以列的很長，這些人是矩陣計算方面的大家。

矩陣計算方面最經典的書應該是J H Wilkinson 的《The Algebraic Eigenvalue Problem 》（有中譯本，石鐘慈等人譯，《代數特征值問題》，科學出版社，學校圖書館有，系裡有英文版的）。這本書雖然老，但是據說讀一下還是很有啟發的。現在的經典是Golub 和van Loan 的《Matrix Computation 》（有中譯本，袁亞湘譯，《矩陣計算》，科學出版社），英文版的電子版可以在網上找到的。其他的書有Demmel 的 《Applied Numerical Linear Algebra 》，Trefethen & Bau 的《Numerical Linear Algebra 》據說也是很好的。Yousef Saad 有兩本書《Iterative methods for sparse systems 》和《Numerical methods for large eigenvalue problems 》，寫的挺有意思的，在他的首頁

（http://www- users.cs.umn.edu/~saad/ ）上可以down 。說到矩陣計算，還得提到Householder 的一本老書，《The theory of matrices in numerical analysis 》( 有中譯本，系裡中英文版的都有) 。LN Trefethen 現在是劍橋大學的教授，他寫的每一本書都很經典，前面已經到過他的幾本書了，《Spectral Method in Matlab 》，《Numerical Linear Algebra 》，還有《Finite Difference and Spectral methods down ，http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work /nick.trefethen/ ）。讀他的書和文章感覺也是人生的一大享受。他在Cornell 大學任教時，曾上過一門課，就是閱讀數值計算的經典文獻 。為此他寫過一個短文，列舉了數值計算中的十三篇經典文獻，也許對大家有點啟發。

1. Cooley & Tukey (1965) the Fast Fourier Transform

2. Courant, Friedrichs & Lewy (1928) finite difference methods for PDE

3. Householder (1958) QR factorization of matrices

4. Curtiss & Hirschfelder (1952) stiffness of ODEs; BD formulas

5. de Boor (1972) calculations with B-splines

6. Courant (1943) finite element methods for PDE

7. Golub & Kahan (1965) the singular value decomposition

8. Brandt (1977) multigrid algorithms

9. Hestenes & Stiefel (1952) the conjugate gradient iteration

10. Fletcher & Powell (1963)optimization via quasi-Newton updates

11. Wanner, Hairer & Norsett (1978) order stars and applications to ODE

12. Karmarkar (1984)interior pt. methods for linear prog.

13. Greengard & Rokhlin (1987) multipole methods for particles

他 的remark 也很有意思，We were struck by how young many of the authors were when they wrote these papers (averageage: 34), and by how short an influential paper can be (Householder: 3.3 pages, Cooley & Tukey: 4.4). 這說明大家都還是很有希望的，呵呵。 》（在他的首頁上可以

反問題無疑是計算數學中最熱門的方向之一。該方向現在有如下幾本雜志：Inverse Problems ，Journal of Inverse and Ill-posed Problems, Inverse Problems in Sciences and Engineering( 以前叫Inverse Problems in Engineering). 第一本雜志最好，第二本雜志上面有很多蘇聯人的工作，第三本偏向于應用。在很多高檔次的雜志中都有反問題方面的文章，比如 SIAM Journal on Numerical Analysis ，SIAM Journal on Mathematical Analysis, SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications ，SIAM Journal on Scientific Computing 上也有不少反問題方面的文章。

在國内做反問題做的最好的應該是複旦大學的程晉老師，他在反問題的理論估計方面有不少工作，南京大學的金其年老師也有不少好的結果（很年輕！），哈工大有幾個人是做應用方面的工作 的（他們的前校長就是做地球實體中的反問題的）。國際上知名的有HW Engl （澳洲），Yamamoto （日本）， Kress （德國）， Martin Hanke （德國）， Isakov （美國）等。反問題的一個重要特點就是與實際問題聯系特别緊密，往往需要根據問題的特點設計專門的算法，這也是反問題的難點所在。很多應用領域與反問題結合之後成為一個單獨的研究領域, 如EIT 。

水準集方法應用于反問題似乎是目前反問題算法研究中的一個熱點。明尼蘇達大學的Fadil Santosa 最早将水準集方法應用于求解反問題，但是沒有很大的反響。Engl 的學生Martin Burger 在2000 年将水準集方法應用于反問題（發表在Inverse Problems 上），在國際上有很大的反響。Martin Burger 在博士畢業後就被邀請到UCLA 的Osher 的小組作研究，并和Osher 一起就水準集方法在反問題的應用作了一個綜述和展望，值得參考。反 問題反面最為經典的當屬Tikhonov 和Arsenin 的《Solutions of Ill-posed Problems 》（有中譯本，《不适定問題的解法》）。現在反問題反面每篇重要的文章基本上都要引用這本書。這本書比較抽象，算法方面有所涉及，但是不 多。後來Tikhonov 和Yogola 等人一起寫過非線性反問題反問題理論方面的書，還寫過一本算法方面的書，可惜書名我已經忘記的。

個人感覺Groetsch 的《The theory of Tikhonov regularization for Fredholm equation of the first kind 》是比較好的入門書，這本書比較薄，也比較容易讀懂。讀了這本書之後，閱讀反問題理論方面應該不會有很大問題。Kress 的《Linear Integral Equations 》和Kirsch 的《An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems 》也是不錯的入門書。

Engl 等人的 《Regularization of Inverse Problems 》廣受好評，應該可以作為進一步閱讀的材料。專門的著作有很多，如Isakov 的《Inverse problems for partial differential equations 》，Martin Hanke 的《Conjugate Gradient Type Methods for Ill-posed Problems 》應該也是不錯的。在反問題的數值算法方面的書籍不多，隻有Hansen 的《Rank-deficient and discrete ill-posed problems 》和 Vogel 的《Computational Methods for Inverse Problems 》。兩本書都是非常棒的，要求的基礎基本上類似，對矩陣計算的基本概念非常熟悉。但是側重點有所不同，Hansen 的書容易閱讀，是以在工程師裡面也是很popular 。Vogel 的書稍微數學化，涉及的範圍也稍微廣一點，比如說很重要的Total Variation regularization 在Hansen 的書裡就不讨論，但是Vogel 的書裡做了非常詳細的讨論。

反問題的reading list 可以在下面的連結中找到：

http://infohost.nmt.edu/~borchers/geop529/readings/readings.html

計算的熱點似乎有兩個特點：一個是與具體的應用結合形成新的學科，比如說計算流體力學、計算空氣動力學、計算力學、計算實體。這裡強調的是為新的學科的發展做出貢獻，也就是所謂的作為除實驗和理論之外的第三種研究手段 。材料和生物中的計算問題似乎将是以後的計算數學中的一個熱點，可以參考鄂維南老師的評論文章。一個是應用新的數學工具 。比如說應用Lie 群理論構造保格式的微分方程數值解法，拓撲引出的continuation method 。其緣由可能是基于某種實體上的考慮，但是可以通過引入新的數學工具來解決。這也應該是一個值得注意的地方。