11. 機器人正運動學---姿态描述之四元數

目錄

1. 引言

2. 四元數轉旋轉矩陣

3. 已知旋轉矩陣求四元數

3.1 先求w

3.2 先求x

3.3 先求y

3.4 先求z

4. 四元數與旋轉矩陣轉換的C++實作

4. 總結

1. 引言

上一篇文章我們主要介紹了歐拉角與旋轉矩陣之間的關系，這篇文章介紹旋轉矩陣和四元數之間的關系。關于四元數的定義和工作原理這裡就不詳細介紹了，給大家推薦一篇文章Understanding Quaternions以及它的中文翻譯版了解四元數。我認為這篇文章寫得非常透徹，相信不管是誰再去寫關于四元數原理的文章都無出其右了。

2. 四元數轉旋轉矩陣

四元數對空間中的點進行變換有固定的表達形式

。我們這裡隻讨論歸一化的四元數。設一個四元數

表達如下：

這個四元數描述的就是繞軸

旋轉

。空間中一個點

在慣性系下的坐标為

，在用四元數進行操作之前我們首先要把它變成純四元數的形式即

，運用四元數對這個點進行旋轉，得到一個新的點

，如下式：

是以在已知四元數時，旋轉矩陣的計算公式如下：

3. 已知旋轉矩陣求四元數

關于旋轉矩陣轉四元數有一個問題曾經困擾了我很久，就是關于開方的問題，大家都了解開方其實是有正負兩個解的，為什麼忽略一個解呢？不隻是在這裡，在很多其他地方，特别是後面會講到的機器人逆解問題，也有類似的情況出現。為了避免大家踩坑，我們先把這個坑填上。先給一個命題：四元數和它的相反四元數描述相同的旋轉。這是一個真命題，簡單證明一下，我們知道四元數對點進行變換的公式如下：

對于歸一化四元數

，它的逆是

(其實對于歸一化四元數，它的逆就是它的共轭)，那麼四元數

的逆呢？很顯然是

，如果讓四元數

作用于同一個點

呢：

負負得正，是以

和

作用效果是一樣的。

接下來回歸正題，旋轉矩陣怎麼求四元數呢，我們還是要從前面得到的旋轉矩陣出發來進行推導，在這個過程中不要忘記我們讨論旋轉對應的四元數始終是歸一化的，即元素平方和為1。

需要注意的是，我們求解四元數有四種途徑，從數學上講他們的行為是一樣的，除了在表達式奇異的位置（所謂表達式奇異在這裡是指分母為0），但是從數值分析的角度上考慮，當分母太小時，計算結果對舍入誤差非常敏感，是以需要盡量減小舍入誤差的影響，是以才會根據實際情況選擇一種解法來求四元數。接下來我們通過以下旋轉矩陣求四元數：

3.1 先求w

我們詳細講一下先求

，後面的方法類似，把

對角線元素相加

（注意

代表

的第i行第j列的元素），前面也提到對于歸一化四元數它的元素平方和為1，即

，是以

，是以怎麼求

呢？很簡單：

有了

，其他元素就比較容易了，請觀察

和

，兩個元素作差再除以

就得到了

，同理

和

作差再除以

可以得到

，

與

作差再除以

可以得到

，最終計算結果如下：

接下來踩一個坑，求

時有一個開方運算，為什麼不取負值？你可能也看到了，如果

取負值，相應的

，

，

的求解分母都有

，他們也會取負值，是以得到的四元數就是我們在第三節開頭提到的負四元數，它和我們公式得到的四元數描述相同的旋轉，是以我們取

為正的一組解，後面三種情況也相同。

3.2 先求x

在3.1中如果我們求出的

過小，為了避免解的不穩定，需要采用其他的求解方法，我們可以從對角線元素中先求

，

或者

。具體先求哪一個呢？我們當然希望先求大的那一個，因為你會看到，通過對角線元素求出的那個值始終是作為另外三個等式的分母，這個值越大越不容易受到舍入誤差的影響。

具體的比較方法就是比較三個對角線元素哪個大，如果

最大，說明

相對來說絕對值最大，為什麼這麼說呢？大概提一下：

這樣很明顯可以看出當

最大時說明

絕對值最大，當

最大時說明

絕對值最大，當

最大時說明

絕對值最大。

當你發現

最大時，我們就先求

，根據歸一化四元數元素平方和為1，利用對角線元素我們就可以求解

，如下：

後面的求解就類似了，找到矩陣主對角線對稱的元素，作和或者作差然後除以

即可。最終計算結果如下：

3.3 先求y

當你發現

最大時，我們就先求

，思路與3.1一樣，結果如下：

3.4 先求z

當你發現

最大時，我們就先求

，思路與3.1一樣，結果如下：

4. 四元數與旋轉矩陣轉換的C++實作

代碼是算法的載體，我始終覺得不寫爛代碼是算法工程師的基本素養，接下來我們把旋轉矩陣與四元數的變換關系用C++實作一遍。

先說從四元數轉旋轉矩陣，這個過程是很直接的，我們直接把

對應的旋轉矩陣寫入即可。頭檔案中的描述如下：

/**
 * @brief This class is used to represent rotation in 3d space.
 * */
class Rotation {
public:
  Rotation();
  /**
   * @brief Construct
   * @param[in] Xx \ref data[0]
   * @param[in] Yx \ref data[1]
   * @param[in] Zx \ref data[2]
   * @param[in] Xy \ref data[3]
   * @param[in] Yy \ref data[4]
   * @param[in] Zy \ref data[5]
   * @param[in] Xz \ref data[6]
   * @param[in] Yz \ref data[7]
   * @param[in] Zz \ref data[8]
  */
  Rotation(double Xx, double Yx, double Zx, double Xy, double Yy, double Zy,
           double Xz, double Yz, double Zz);
  /**
   * @brief Convert quaternion to Rotation object.
   * q=[w,(x,y,z)], w is the scalar, (x,y,z)is the direction vector.
   * @param[in] x X of the quaternion
   * @param[in] y Y of the quaternion
   * @param[in] z Z of the quaternion
   * @param[in] w W of the quaternion
  */
  static Rotation quaternion(double x, double y, double z, double w);
  /**
   * @brief Get quaternion from the Rotation.
   * @param[in] x Reference to quaternion x
   * @param[in] y Reference to quaternion y
   * @param[in] z Reference to quaternion z
   * @param[in] w Reference to quaternion w
  */
  void getQuaternion(double &x, double &y, double &z, double &w) const;
  /**
   * @brief data of the rotation matrix
   * @note the rotation matrix is defined as:
   * [data[0], data[1], data[2];
   *  data[3], data[4], data[5];
   *  data[6], data[7], data[8]]
   * */
  double data[9];
};
           

在頭檔案中我們定義了一個數組來儲存旋轉矩陣的9個元素。四元數轉旋轉矩陣的代碼如下：

Rotation Rotation::quaternion(double x, double y, double z, double w) {
  Rotation r;
  r.data[0] = 1 - 2 * y * y - 2 * z * z;
  r.data[1] = 2 * (x * y - w * z);
  r.data[2] = 2 * (x * z + w * y);
  r.data[3] = 2 * (x * y + w * z);
  r.data[4] = 1 - 2 * x * x - 2 * z * z;
  r.data[5] = 2 * (y * z - w * x);
  r.data[6] = 2 * (x * z - w * y);
  r.data[7] = 2 * (y * z + w * x);
  r.data[8] = 1 - 2 * x * x - 2 * y * y;

  return r;
}
           

旋轉矩陣轉四元數的代碼如下：

void Rotation::getQuaternion(double &x, double &y, double &z, double &w) const {
  double epsilon = 1E-12;
  double r11 = data[0];
  double r12 = data[1];
  double r13 = data[2];
  double r21 = data[3];
  double r22 = data[4];
  double r23 = data[5];
  double r31 = data[6];
  double r32 = data[7];
  double r33 = data[8];
  w = sqrt(1.0f + r11 + r22 + r33) / 2.0f;
  if (fabs(w) > epsilon) {
    // compute w first.
    x = (r32 - r23) / (4 * w);
    y = (r13 - r31) / (4 * w);
    z = (r21 - r12) / (4 * w);
  } else {
    if (r11 >= r22 && r11 >= r33) {
      // compute x first
      x = sqrt(1.0f + r11 - r22 - r33) / 2.0f;
      w = (r32 - r23) / (4 * x);
      y = (r21 + r12) / (4 * x);
      z = (r31 + r13) / (4 * x);
    } else if (r22 >= r11 && r22 >= r33) {
      // compute y first
      y = sqrt(1.0f - r11 + r22 - r33) / 2.0f;
      w = (r13 - r31) / (4 * y);
      x = (r21 + r12) / (4 * y);
      z = (r23 + r32) / (4 * y);
    } else {
      // compute z first
      z = sqrt(1.0f - r11 - r22 + r33) / 2.0f;
      w = (r21 - r12) / (4 * z);
      x = (r13 + r31) / (4 * z);
      y = (r23 + r32) / (4 * z);
    }
  }
}
           

原理講清楚之後，代碼其實十分簡單，就是把公式套用一遍，這裡就不過多介紹了，旋轉矩陣與四元數的轉換相關C++源代碼我已經上傳到github: https://github.com/hitgavin/rosws/tree/master/src/frames，感興趣可以參考一下。

4. 總結

這篇文章主要介紹了旋轉矩陣與四元數之間的關系，下一篇文章我們将介紹姿态描述的另一種方法：軸角/旋轉向量。由于個人能力有限，所述内容難免存在疏漏，歡迎指出，歡迎讨論。