模拟退火算法解旅行商（TSP）問題

該文章的代碼主要轉自模拟退火算法1.

該文對模拟退火算法作了較好的分析，不過該文中舉例的TSP的代碼有一些問題，我對此作了修正，并在文中最後做出解釋。

代碼如下：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
#include <stdio.h>
#include <time.h>
#include <math.h>

#define N     30      //城市數量
#define T     3000    //初始溫度
#define EPS   1e-8    //終止溫度
#define DELTA 0.98    //溫度衰減率
#define LIMIT 10000   //機率選擇上限
#define OLOOP 1000    //外循環次數
#define ILOOP 15000   //内循環次數

using namespace std;

//定義路線結構體
struct Path
{
    int citys[N];
    double len;
};

//定義城市點坐标
struct Point
{
    double x, y;
};

Path path;        //記錄最優路徑
Point p[N];       //每個城市的坐标
double w[N][N];   //兩兩城市之間路徑長度
int nCase;        //測試次數

double dist(Point A, Point B)
{
    return sqrt((A.x - B.x) * (A.x - B.x) + (A.y - B.y) * (A.y - B.y));
}

void GetDist(Point p[], int n)
{
    for (int i = ; i < n; i++)
    for (int j = i + ; j < n; j++)
        w[i][j] = w[j][i] = dist(p[i], p[j]);
}

void Input(Point p[], int &n)
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = ; i < n; i++)
        scanf("%lf %lf", &p[i].x, &p[i].y);
}

void Init(int n)
{
    nCase = ;
    path.len = ;
    for (int i = ; i < n; i++)
    {
        path.citys[i] = i;
        if (i != n - )
        {
            printf("%d--->", i);
            path.len += w[i][i + ];
        }
        else
            printf("%d\n", i);
    }
    printf("\nInit path length is : %.3lf\n", path.len);
}

void Print(Path t, int n)
{
    printf("Path is : ");
    for (int i = ; i < n; i++)
    {
        if (i != n - )
            printf("%d-->", t.citys[i]);
        else
            printf("%d\n", t.citys[i]);
    }
    printf("\nThe path length is : %.3lf\n", t.len);
}

// 随機交換2個城市的位置
Path GetNext(Path p, int n)
{
    // Modify by DD: 確定x！=y
    int x = , y = ;
    while (x == y)
    {
        x = (int)(n * (rand() / (RAND_MAX + )));
        y = (int)(n * (rand() / (RAND_MAX + )));
    }

    Path ans = p;
    swap(ans.citys[x], ans.citys[y]);
    ans.len = ;
    for (int i = ; i < n - ; i++)
        ans.len += w[ans.citys[i]][ans.citys[i + ]];
    //cout << "nCase = " << nCase << endl;
    //Print(ans, n);
    nCase++;
    return ans;
}

// 模拟退火
void SA(int n)
{
    double t = T;
    srand(time(NULL));
    Path curPath = path;
    Path newPath = path;
    int P_L = ;    // 連續找到更差結果的次數
    int P_F = ;    // while循環次數
    while ()       //外循環，主要更新參數t，模拟退火過程
    {
        for (int i = ; i < ILOOP; i++)    //内循環，尋找在一定溫度下的最優值
        {
            newPath = GetNext(curPath, n);
            double dE = newPath.len - curPath.len;
            if (dE < )   //如果找到更優值，直接更新
            {
                curPath = newPath;
                P_L = ;
                P_F = ;
            }
            else
            {
                double rd = rand() / (RAND_MAX + );

                // Modify by DD: dE取負數才有可能接受更差解,否則e>1
                double e = exp(-dE / t);
                if ( e > rd && e < )   //如果找到比目前更差的解，以一定機率接受該解，并且這個機率會越來越小
                    curPath = newPath;
                P_L++;
            }
            if (P_L > LIMIT)
            {
                P_F++;
                break;
            }
        }

        // Modify by DD: 記錄全局最優解
        if (curPath.len < path.len)
            path = curPath;
        if (P_F > OLOOP || t < EPS)
            break;
        t *= DELTA;
    }
}

int main()
{
    freopen("TSP.txt", "r", stdin);
    int n;
    Input(p, n);
    GetDist(p, n);
    Init(n);

    SA(n);

    Print(path, n);
    printf("Total test times is : %d\n", nCase);
    return ;
}
           

資料檔案如下：

27
41 94
37 84
53 67
25 62
7  64
2  99
68 58
71 44
54 62
83 69
64 60
18 54
22 60
83 46
91 38
25 38
24 42
58 69
71 71
74 78
87 76
18 40
13 40
82  7
62 32
58 35
45 21
           

修改過的地方，代碼中寫了注釋。

其中幾個重要的、需要解釋的地方有如下幾個：

1. 記錄全局最優解

   記錄最優解時，原文使用的是

if (curPath.len < newPath.len) 
    path = curPath;
           

這樣顯然記錄的是目前溫度中的最優解。更合理的做法是記錄全局出現過的最優解，即

if(curPath.len < path .len)
     path= curPath;
           

(…這裡不加文字，markdown有序清單編号會出錯…)

2. 連續搜尋到最差結果的處理

代碼中的 P_L用于标示連續搜尋到比目前更差結果的次數。代碼中，如果連續發生了LIMIT次（代碼中是10000次），就意味着目前解空間已經找不到更好的結果了。

多次執行代碼測試會發現，原文代碼更換城市次數卻僅僅在1w次左右，最終路徑在450附近，這就說明了原文代碼會陷入局部最優解。即使每次把P_L複位為0，執行次數是上去了，但是仍然會陷入局部最優解。

3. 必須以一定機率接受更差結果

能夠跳出全局最優，正是模拟退火算法最大的優勢所在。

原來，原文中計算的是exp(dE / t)，注意dE是為正的，是以exp(dE / t)恒大于1. 是以更差的結果永遠不會被選中。而由于交換操作中每次隻交換curPath的一對城市，是以陷入了curPath的局部最優解。

修改為exp(-dE / t)後，curPath有一定機率被替換。測試結果發現，更換城市次數在700w次左右，最終路徑在370附近。顯然獲得了全局最優解。

其他不錯的資料,如随機模拟的基本思想和常用采樣方法（sampling）2.

1. http://blog.csdn.net/xianlingmao/article/details/7768833. ↩
2. http://blog.csdn.net/xianlingmao/article/details/7768833. ↩