上面兩點下面一個三角形_阿基米德三角形

各位，我是槿靈兮，聯考假期之後好久沒上知乎了~

最近有好多知友問我圓錐曲線的文章出來了沒，在此做一下統一回複，由于本人新高三，目前學校抓的比較緊，于是空閑時間會很少，而且以後可能隻會更新一些較為簡介的小東東~

這次放假我的書好多都沒拿回來，于是就簡單介紹一個之前我高一發現的小結論，其實後來我才知道它叫——阿基米德三角形~

我先發一下很久以前我寫的一篇文章（當時高一不知天高地厚，希望各位多多包涵，這一部分也可以直接跳過）：

下面我們開始展開來談：

過抛物線

外一點

引抛物線的兩條切線

，分别交抛物線于

，則

為抛物線的一條弦，

為其中點，

為與

所在直線平行的直線

與抛物線

的切點，直線

分别交

于點

，令抛物線的焦點

（由于點

已經用過了，而且該點

我未在圖中表明）。

那麼我們有以下結論：

1.點

三點共線，該直線平行于抛物線的對稱軸，且點

為線段

的中點.

證明可參看上文。

2.

.

3.

.

其下可以看成是上面結論的一個推論.

如果

,那麼我們還有以下結論：

3.滿足該條件的點

的軌迹方程是該抛物線

的準線方程.

4.直線

經過抛物線的焦點

.

5. 兩條直線滿足：

.

6.

(該條性質可由5加上射影定理推出).

下面簡單來兩個應用:

例1：在直線

上一點

向抛物線

引兩條切線，切點分别為

，則線段

的中點

的軌迹為（ ）

直線

橢圓

雙曲線

抛物線

這是我們的一次周考題，我們老師上課講解的時候，一開始很尴尬差點沒解出來，但最後還是憑着他強大的代數功底解出了答案（我的恩師曾榮獲湖南省教師解題大賽一等獎），下面我們從之前的結論來看看這個問題。

解：連接配接點

,且直線

交抛物線于點

，則點

為線段

中點.

那麼：

.

則：

.

又因為：

于是:

.

故點

的軌迹方程是:

,答案是

.

下面來看看我們 @Dylaaan 大大的神押題的全國三卷。

這個題大家第一問是不是能秒殺？

解：（1）:直線

經過抛物線

的焦點

.

希望大家能了解并熟練以上的幾個小結論，對寫一些以阿基米德三角形為背景的選填壓軸和大題會極為有用，其實這類例題挺多的，在此小小展示兩個，大家可以去組卷網搜搜來練練手。

時間不多，小小更了篇文，望大家多多支援~