量子計算 機率與邏輯門（外傳——上）

很高興在斷更這麼多天之後，又回到了我最愛的科研學習上面，前段時間我們經曆過張量與量子的相愛相殺之後，再回首，看看曾經的量子世界，如果有從頭到尾看過本人部落格的小夥伴們會發現，自始至終，我們都沒有深入學習過量子世界中的機率，作為量子力學的重要組成部分，我們本期部落格的主要任務就是學習 “機率”，當然，此“機率”非彼 機率！借此我們來真正的了解之前的 bloch球 問題的 詳細内涵！

機率幅與邏輯門

• 一 . 從機率到機率幅
• • 二 . 量子邏輯門
  • （1）單量子比特門

一 . 從機率到機率幅

硬币問題永遠都是機率問題的天然例子，假如我們随機抛一枚硬币，顯然，我們隻能得到是正面朝上或者是反面朝上，都是二分之一的機率，但這是弱智都知道的問題，假如有個未知的模型，對于它可能出現的結果我們并不知道，也就是我們無法直接去觀測其事件發生的機率，唯一的辦法就是我們做無數次大量重複且獨立在相同環境下的實驗，最終才能大緻的得到每個事件對應的機率！

話又說回來了，現實中哪有那麼多次給你重複實驗的機會，很多時候都是隻有一次機會，是以，這個時候我們就把它稱為不可觀測的量，這就給我機會用 複數 來重新定義 “概念”這個東西！我們把不可觀測的時間用 機率幅 來表示，即：

ψ = a + b i \psi=a+b i ψ=a+bi

因為機率幅的适用範圍必然包含“機率”，毫無疑問，可以用機率幅來表示經典機率：

p = ∣ ψ ∣ 2 = ψ ∗ ψ = ( a − b i ) ( a + b i ) = a 2 + b 2 p=|\psi|^{2}=\psi^{*} \psi=(a-b i)(a+b i)=a^{2}+b^{2} p=∣ψ∣2=ψ∗ψ=(a−bi)(a+bi)=a2+b2

是以，抛硬币問題我們可以得到正面朝上的機率為： p ( 1 ) = ∣ ψ ( 1 ) ∣ 2 = ( 1 2 ) 2 + ( 1 2 ) 2 = 1 2 p(1)=|\psi(1)|^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2} p(1)=∣ψ(1)∣2=(21​)2+(21​)2=21​

是以，我們可以假設在機率背後還有一個更基本的複數機率制約着機率本身。正是因為機率本身并不是一個可以被直接觀測到的量，是以我們再做一層複數機率的假設就不會引起實質的困難。盡管我們增加了理論的複雜性，但是我們終于可以成功地将機率複數化了，有了前面的量子基礎，再結合這個，是不是突然有許多新的了解和感悟呢？？

除此之外，從複數的機率幅到經典的機率是一個多對一的映射，即可能存在多種複數形式卻對應同一個機率！我們這裡可以用二個式子來表達二者的關系：

P ( X ) = ∣ ψ ( X ) ∣ 2 P(X)=|\psi(X)|^{2} P(X)=∣ψ(X)∣2

ψ ( X ) = P ( X ) ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) = P ( X ) exp ⁡ ( i θ ) \psi(X)=\sqrt{P(X)}(\operatorname{cos} \theta+i \sin \theta)=\sqrt{P(X)} \exp (i \theta) ψ(X)=P(X)

​(cosθ+isinθ)=P(X)

​exp(iθ)

顯然，下面的式子相當于上面公式的一個反函數，是一個包含複數的反函數，奇妙！！

其中θ 為任意實數。這群複數落到了以原點為圓心，以 P ( X ) \sqrt{P(X)} P(X)

​為半徑的圓上!

這使我又想起來了我們在計算一個單自旋量子疊加态坍縮到本征态的機率并不是單純的對應本征态前面的系數，而是平方，說明那也是個機率幅，這就通了，親愛的夥伴們，有沒有一種舒暢的感覺！

除了上面說的，這是不是和我們歐拉公式很像啊（連結了虛數世界和實數世界），是不是和我們之前說的bloch球裡面的公式也很像呢？别急，我們已經快要找到真相了！

那麼對于有多個可能事件的模型來說，我們可以寫成向量的形式： F ( X ) = p 1 ∣ x 1 ⟩ + p 2 ∣ x 2 ⟩ + ⋯ + p n ∣ x m ⟩ F(X)=p_{1}\left|x_{1}\right\rangle+p_{2}\left|x_{2}\right\rangle+\cdots+p_{n}\left|x_{m}\right\rangle F(X)=p1​∣x1​⟩+p2​∣x2​⟩+⋯+pn​∣xm​⟩

并且滿足歸一化條件： ∑ i = 1 n p ( x i ) = 1 \sum_{i=1}^{n} p\left(x_{i}\right)=1 ∑i=1n​p(xi​)=1，這個我們在前面的量子學習和量子計算中出現很多次了，就不再贅述了！

到這裡，經典機率和複數組成的機率幅除了在公式和應用範圍上的一些不同之外，二者還有最本質的差別：

• 不相容屬性（incompatible property）是量子機率——将機率論擴充到複數域的最特别的概念，也是差別複數機率和經典機率的本質所在。

什麼是不相容？ 就像老鼠和貓咪，學生和老師，不能同時存在，或者說有一種類似于互斥的關心！那麼我們是否在量子的學習中遇到過類似的不相容關系？？

其實就是量子中的不确定性原理，我們無法在同一時刻知道某個粒子的動量和能量！這樣我們就算是從表面上揭示了它的本質，這裡老師還為我們提供了一個非常好的例子，是我有史以來見過的最好的描述不确定性的例子：

一個模型有兩個屬性 A A A 和 B B B ，其中 A A A 的取值有 U , D {U,D} U,D 兩種可能， B B B 的取值有 L , R {L,R} L,R 兩種可能，我們在将每個事件中情況的可以用線性空間中互相垂直的的向量來表示，且可以組成兩張平面，我們先假設這兩張平面重合了，如下圖：

前兩個事件構成的基向量組成的平面是由黑色坐标軸組成的，後面兩個事件組成的平面是由藍色坐标軸組成的！且這兩個平面重合成一個平面，并且二者之間有一個 夾角為 θ \theta θ ，那麼，在第一個黑色坐标系下，圖中的加粗箭頭表示的向量是： ψ A = x ∣ U ⟩ + y ∣ D ⟩ \psi_{A}=x|U\rangle+y|D\rangle ψA​=x∣U⟩+y∣D⟩，那麼接下來，我們如何将它轉化到第二個坐标系中呢？下面這個公式就可以：

( x ′ y ′ ) = ( cos ⁡ θ sin ⁡ θ − sin ⁡ θ cos ⁡ θ ) ⋅ ( x y ) = ( x cos ⁡ θ + y sin ⁡ θ − x sin ⁡ θ + y cos ⁡ θ ) \left(\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x \cos \theta+y \sin \theta \\ -x \sin \theta+y \cos \theta \end{array}\right) (x′y′​)=(cosθ−sinθ​sinθcosθ​)⋅(xy​)=(xcosθ+ysinθ−xsinθ+ycosθ​)

即： ψ B = x ′ ∣ L ⟩ + y ′ ∣ R ⟩ \psi_{B}=x^{\prime}|L\rangle+y^{\prime}|R\rangle ψB​=x′∣L⟩+y′∣R⟩

之前在學習表象中的坐标表象的時候，曾經簡單的介紹過旋轉矩陣這個東西，這個再次派上用場了，那麼這又和我們的不确定性有啥關系呢？？

顯然，我們從上面幾個式子中可以明确的知道發生 A A A且取值為 U U U 的 機率為： ∣ x ∣ 2 \left | x \right |^{2} ∣x∣2 , 取值為 B B B 的機率為 ∣ y ∣ 2 \left | y \right |^{2} ∣y∣2 ，對于 B B B 事件來說也是同理的，但是由于藍色式子的限制，是以二者之間必然會存在互相影響， A A A 屬性的機率分布肯定會對 B B B 進行幹擾，這就是不确定性原理的一個影子！

現在我們再來看一下之前沒搞懂的布洛赫球 ：

這張圖檔包含了所有我們需要的資訊，對于一個量子态來說，我們把它寫成疊加态的形式： ∣ ψ ⟩ = α ∣ 0 ⟩ + β ∣ 1 ⟩ | \psi\rangle=\alpha| 0\rangle+\beta|1\rangle ∣ψ⟩=α∣0⟩+β∣1⟩，又因為 ∣ α ∣ 2 + ∣ β ∣ 2 = 1 \left | \alpha \right |^{2} + \left |\beta\right |^{2} = 1 ∣α∣2+∣β∣2=1 ，是以我們可以寫成：

∣ φ ⟩ = e i γ ( cos ⁡ θ 2 ∣ 0 ⟩ + e i ϕ sin ⁡ θ 2 ∣ 1 ⟩ ) |\varphi\rangle=e^{i \gamma}\left(\cos \frac{\theta}{2}|0\rangle+e^{i \phi} \sin \frac{\theta}{2}|1\rangle\right) ∣φ⟩=eiγ(cos2θ​∣0⟩+eiϕsin2θ​∣1⟩)

其中的 e i γ e^{i \gamma} eiγ 是個不具有觀測意義的整體相位，是以我們可以不用管它，進而得到：

∣ φ ⟩ = cos ⁡ θ 2 ∣ 0 ⟩ + e i ϕ sin ⁡ θ 2 ∣ 1 ⟩ = [ cos ⁡ θ 2 e i ϕ sin ⁡ θ 2 ] |\varphi\rangle=\cos \frac{\theta}{2}|0\rangle+e^{i \phi} \sin \frac{\theta}{2}|1\rangle=\left[\begin{array}{c} \cos \frac{\theta}{2} \\ e^{i \phi} \sin \frac{\theta}{2} \end{array}\right] ∣φ⟩=cos2θ​∣0⟩+eiϕsin2θ​∣1⟩=[cos2θ​eiϕsin2θ​​]

為啥會做這樣的變換，在這之前我特别迷惑 突然 稀裡糊塗的就突然變成這樣了，了解本次部落格學習之後，你一定會知道這裡原先的 α \alpha α 和 β \beta β 代表的都是複數形式的機率幅，是以這裡用歐拉公式把他們具象成具有複數形式的表達式，我們有下面較為詳細的數學公式步驟推導：

∣ ψ ⟩ = a ∣ 0 ⟩ + b ∣ 1 ⟩ = cos ⁡ ( θ 2 ) ∣ 0 ⟩ + e i ϕ sin ⁡ ( θ 2 ) ∣ 1 ⟩ = cos ⁡ ( θ 2 ) ∣ 0 ⟩ + ( cos ⁡ ( ϕ ) + i sin ⁡ ( ϕ ) ) sin ⁡ ( θ 2 ) ∣ 1 ⟩ \begin{aligned} |\psi\rangle &=a|0\rangle+b|1\rangle \\ &=\cos \left(\frac{\theta}{2}\right)|0\rangle+e^{i \phi} \sin \left(\frac{\theta}{2}\right)|1\rangle \\ &=\cos \left(\frac{\theta}{2}\right)|0\rangle+(\cos (\phi)+i \sin (\phi)) \sin \left(\frac{\theta}{2}\right)|1\rangle \end{aligned} ∣ψ⟩​=a∣0⟩+b∣1⟩=cos(2θ​)∣0⟩+eiϕsin(2θ​)∣1⟩=cos(2θ​)∣0⟩+(cos(ϕ)+isin(ϕ))sin(2θ​)∣1⟩​

再回頭結合圖檔看看，也許會有不一樣的發現！

二 . 量子邏輯門

我們學過電路或者計算機的都知道，經典計算機的線路由連線和邏輯門組成，連線負責傳遞資訊，而邏輯門用來處理資訊，是以，邏輯門對于計算機來說是至關重要的，在量子計算機中，又是啥樣的呢，看一下在量子計算機中的量子邏輯門：

（1）單量子比特門

既然量子邏輯門是個處理資訊的東西，那麼我們在已有量子計算的基礎上，可以大膽猜測量子邏輯門的本質是我們前面學習了無數次的算符，也就是各種各樣的矩陣！

首先可以定義一個量子非門（NOT gate）：使得 ∣ 0 ⟩ |0\rangle ∣0⟩和 ∣ 1 ⟩ |1\rangle ∣1⟩ 交換，基于其本身的線性性質，我們可以非常友善的用一個矩陣來表示，如下：

X ≡ [ 0 1 1 0 ] X \equiv\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right] X≡[01​10​]

可以對一個簡單的疊加态使用一些，看看效果：

X [ α β ] = [ β α ] X\left[\begin{array}{l} \alpha \\ \beta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} \beta \\ \alpha \end{array}\right] X[αβ​]=[βα​]

注意：非門的作用是把 ∣ 0 ⟩ |0\rangle ∣0⟩ 态變成矩陣 X X X 第一列對應的狀态，把 ∣ 1 ⟩ |1\rangle ∣1⟩ 變成矩陣 X X X 第二列所對應的狀态!

除此之外，對于單一量子門而言，需要滿足 酉性(unitary) ，即表示單量子比特門的矩陣 U U U 要滿足 U † U = I U^{\dagger} U=I U†U=I，也就是矩陣 U U U 與它的共轭轉置乘積為機關陣，這也是對單量子門的唯一要求了，并且一般情況下，都是 2 × 2 2\times2 2×2 的矩陣！

除此之外，還有幾個比較常用的單量子門，比如說 Z Z Z門 ：

Z ≡ [ 1 0 0 − 1 ] Z \equiv\left[\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right] Z≡[10​0−1​]

它的作用是保持 ∣ 0 ⟩ |0\rangle ∣0⟩不變 ，而是将 ∣ 1 ⟩ |1\rangle ∣1⟩變成 - ∣ 1 ⟩ |1\rangle ∣1⟩，還有一個最重要的就是 H a d a m a r d Hadamard Hadamard 門：

H ≡ 1 2 [ 1 1 1 − 1 ] H \equiv \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right] H≡2

​1​[11​1−1​]

H a d a m a r d Hadamard Hadamard 門的神奇之處就在于它可以将原本的 ∣ 0 ⟩ |0\rangle ∣0⟩态變到 ∣ 0 ⟩ |0\rangle ∣0⟩和 ∣ 1 ⟩ |1\rangle ∣1⟩的中間疊加态上： ( ∣ 0 ⟩ + ∣ 1 ⟩ ) / 2 (|0\rangle+|1\rangle) / \sqrt{2} (∣0⟩+∣1⟩)/2

​ ，自然也能把 ∣ 1 ⟩ |1\rangle ∣1⟩态變成 ( ∣ 0 ⟩ − ∣ 1 ⟩ ) / 2 (|0\rangle-|1\rangle) / \sqrt{2} (∣0⟩−∣1⟩)/2

​

大家也可以在bloch球中看一下 這個 H a d a m a r d Hadamard Hadamard 門是怎麼工作的：

可以看出它是先繞 y y y 軸旋轉 90度，再繞 x x x 軸 旋轉180度！

我們用來總結一下常見三個量子比特門作用和效果：

下期部落格我們介紹多量子門的相關内容，さようなら！