LeetCode --- 4. Median of Two Sorted Arrays

題目連結：Median of Two Sorted Arrays

There are two sorted arrays A and B of size m and n respectively. Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

這道題的要求是在兩個有序數組中找到中位數（兩個數組合并之後的中位數）。

直接思路，從前往後合并數組，直到第(m+n)/2+1個元素為止。不過時間複雜度是線性的（O(n)），不滿足要求的O(log(m+n))。

将問題轉化一下，轉變成一個尋找第k小數的問題（假設兩個原序列升序排列），這樣中位數實際上是第(m+n)/2+1小的數或者是第(m+n)/2和第(m+n)/2+1小的數的均值。

首先假設k為偶數并且數組A和B的元素個數都大于k/2，比較A[k/2-1]和B[k/2-1]兩個元素，這兩個元素分别表示A的第k/2小的元素和B的第k/2小的元素。這兩個元素比較共有三種情況：=和<、>：

• 當A[k/2-1]=B[k/2-1]時，則已經找到了第k小的數，即這個相等的元素。由于在A和B中分别有k/2-1個元素小于這個數，是以這個數就是第k小的數。
• 當A[k/2-1]<B[k/2-1]時，這表示A[0]到A[k/2-1]的元素都在A和B合并之後的前k小的元素中。換句話說，A[k/2-1]不可能大于兩數組合并之後的第k小值，是以可以将其舍棄。
• 當A[k/2-1]>B[k/2-1]時存在類似的結論。

實際上，由于k可能為奇數，而且數組A中元素個數可能小于k/2，則可以采用先求k/2與m的小的數值，然後用k減去這個數獲得另一個數。

通過上面的分析，可以采用遞歸的方式實作尋找第k小的數。此外還需要考慮幾個邊界條件：

• 如果A或者B為空，則直接傳回B[k-1]或者A[k-1]；
• 如果k為1，則隻需要傳回A[0]和B[0]中的較小值；
• 如果A[k/2-1]=B[k/2-1]，則傳回其中任意一個。

時間複雜度：O(log(m+n))

空間複雜度：O(log(m+n))

1 class Solution
 2 {
 3 public:
 4     double findMedianSortedArrays(int A[], int m, int B[], int n)
 5     {
 6         int k = m + n;
 7         if(k % 2 == 1)
 8             return findKth(A, m, B, n, k / 2 + 1);
 9         else
10             return (findKth(A, m, B, n, k / 2) + findKth(A, m, B, n, k / 2 + 1)) / 2.0;
11     }
12 private:
13     int findKth(int a[], int m, int b[], int n, int k)
14     {
15         if(m > n) // 保證a長度小于等于b長度，即m <= n
16             return findKth(b, n, a, m, k);
17         
18         if(m == 0)
19             return b[k - 1];
20         
21         if(k == 1)
22             return min(a[0], b[0]);
23         
24         int pa = min(k / 2, m), pb = k - pa;
25         if(a[pa - 1] == b[pb - 1])
26             return a[pa - 1];
27         else if(a[pa - 1] < b[pb - 1])
28             return findKth(a + pa, m - pa, b, n, k - pa);
29         else
30             return findKth(a, m, b + pb, n - pb, k - pb);
31     }
32 };
           

轉載請說明出處：LeetCode --- 4. Median of Two Sorted Arrays