方差分析
1. 概要
方差分析(Analysis of variance, ANOVA) 主要研究分類變量作為自變量時，對因變量的影響是否是顯著的。
方差分析的方法是由20世紀的統計學家Ronald Aylmer Fisher在1918年到1925年之間提出并陸續完善起來的，該方法剛開始是用于解決田間實驗的資料分析問題，是以，方差分析的學習是和實驗設計、實驗資料的分析密不可分的。
實驗設計和方差分析都有自己相應的語言。是以，在這裡我們通過一個焦慮症治療的執行個體，先了解一些術語，并且思考一下，方差分析主要用于解決什麼樣的問題。
以焦慮症治療為例，現有兩種治療方案：認知行為療法（CBT）和眼動脫敏再加工法（EMDR）。我們招募10位焦慮症患者作為志願者，随機配置設定一半的人接受為期五周的CBT，另外一半接受為期五周的EMDR，設計方案如表1-1所示。在治療結束時，要求每位患者都填寫狀态特質焦慮問卷（STAI），也就是一份焦慮度測量的自我評測報告。
表1-1 單因素組間方差分析
在這個實驗設計中，治療方案是兩水準（CBT、EMDR）的組間因子。之是以稱其為組間因子，是因為每位患者都僅被配置設定到一個組别中，沒有患者同時接受CBT和EMDR。表中字母s代表受試者（患者）。STAI是因變量，治療方案是自變量。由于在每種治療方案下觀測數相等，是以這種設計也稱為均衡設計（balanced design）；若觀測數不同，則稱作非均衡設計（unbalanced design）。
因為僅有一個類别型變量，表1的統計設計又稱為單因素方差分析（one-way ANOVA），或進一步稱為單因素組間方差分析。方差分析主要通過F檢驗來進行效果評測，若治療方案的F檢驗顯著，則說明五周後兩種療法的STAI得分均值不同。
假設你隻對CBT的效果感興趣，則需将10個患者都放在CBT組中，然後在治療五周和六個月後分别評價療效，設計方案如表1-2所示。
表1-2 單因素組内方差分析
此時，時間（time）是兩水準（五周、六個月）的組内因子。因為每位患者在所有水準下都進行了測量，是以這種統計設計稱單因素組内方差分析；又由于每個受試者都不止一次被測量，也稱作重複測量方差分析。當時間的F檢驗顯著時，說明患者的STAI得分均值在五周和六個月間發生了改變。
現假設你對治療方案差異和它随時間的改變都感興趣，則将兩個設計結合起來即可：随機配置設定五位患者到CBT，另外五位到EMDR，在五周和六個月後分别評價他們的STAI結果（見表1-3）。
表1-3 含組間群組内因子的雙因素方差分析
療法（therapy）和時間（time）都作為因子時，我們既可分析療法的影響（時間跨度上的平均）和時間的影響（療法類型跨度上的平均），又可分析療法和時間的互動影響。前兩個稱作主效應，互動部分稱作互動效應。
當設計包含兩個甚至更多的因子時，便是因素方差分析設計，比如兩因子時稱作雙因素方差分析，三因子時稱作三因素方差分析，以此類推。若因子設計包括組内群組間因子，又稱作混合模型方差分析，目前的例子就是典型的雙因素混合模型方差分析。
本例中，你将做三次F檢驗：療法因素一次，時間因素一次，兩者互動因素一次。若療法結果顯著，說明CBT和EMDR對焦慮症的治療效果不同；若時間結果顯著，說明焦慮度從五周到六個月發生了變化；若兩者互動效應顯著，說明兩種療法随着時間變化對焦慮症治療影響不同（也就是說，焦慮度從五周到六個月的改變程度在兩種療法間是不同的）。
現在，我們對上面的實驗設計稍微做些擴充。衆所周知，抑郁症對病症治療有影響，而且抑郁症和焦慮症常常同時出現。即使受試者被随機配置設定到不同的治療方案中，在研究開始時，兩組療法中的患者抑郁水準就可能不同，任何治療後的差異都有可能是最初的抑郁水準不同導緻的，而不是由于實驗的操作問題。抑郁症也可以解釋因變量的組間差異，是以它常稱為混淆因素（confounding factor）。由于你對抑郁症不感興趣，它也被稱作幹擾變數（nuisance variable）。
假設招募患者時使用抑郁症的自我評測報告，比如白氏抑郁症量表（BDI），記錄了他們的抑郁水準，那麼你可以在評測療法類型的影響前，對任何抑郁水準的組間差異進行統計性調整。本案例中，BDI為協變量，該設計為協方差分析（ANCOVA）。
以上設計隻記錄了單個因變量情況（STAI），為增強研究的有效性，可以對焦慮症進行其他的測量（比如家庭評分、醫師評分，以及焦慮症對日常行為的影響評價）。當因變量不止一個時，設計被稱作多元方差分析（MANOVA）， 若協變量也存在， 那麼就叫多元協方差分析（MANCOVA）。
下面我們主要介紹單因素方差分析與雙因素方差分析的原理與實作。
2 .單因素方差分析
2.1 推導過程
接下來我們使用種小麥的例子，去幫助了解方差分析裡涉及的一些變量。
假設我們現在有若幹品種的小麥，要在某一地區播種，我們想知道這些品種的産量有沒有顯著差別，為此我們先設計了一個田間實驗，取一大塊地将其分成形狀大小都相同的 n n n小塊．設供選擇的品種有 k k k個，我們打算其中的 n 1 n_1 n1小塊種植品種1, n 2 n_2 n2小塊種植品種2，等等， n 1 + n 2 + . . . n k = n n_1+ n_2 + ... n_k = n n1+n2+...nk=n.
接下來，我們使用方差分析的方法去看不同小麥品種的産量是否有顯著差異。
設問題中涉及一個因素 A A A，有 k k k個水準，如上例的 k k k個種子品種，以 Y i j Y_{ij} Yij記第 i i i個水準的第 j j j個觀察值，如上例 Y i j Y_{ij} Yij是種植品種 i i i的第 j j j小塊地上的畝産量。模型為 Y i j = a i + e i j , j = 1 , . . . , n i , i = 1 , . . . , k ( 2.1 ) Y_{ij} = a_i + e_{ij}, j = 1,...,n_i, i = 1,...,k\qquad(2.1) Yij=ai+eij,j=1,...,ni,i=1,...,k(2.1) a i a_i ai表示水準 i i i的理論平均值，稱為水準 i i i的效應。在小麥例子中， a i a_i ai就是品種 i i i的平均畝産量， e i j e_{ij} eij就是随機誤差。并且我們假定： E ( e i j ) = 0 , 0 < V a r ( e i j ) = σ 2 < ∞ , 一 切 e i j 獨 立 同 分 布 ( 2.2 ) E(e_{ij})=0, 0<Var(e_{ij})={\sigma}^2<\infty,一切e_{ij}獨立同分布\qquad(2.2) E(eij)=0,0<Var(eij)=σ2<∞,一切eij獨立同分布(2.2) 因素 A A A的各水準的高低優劣，取決于其理論平均 a i a_{i} ai的大小。故對模型(2.1)，我們頭一個關心的事情，就是諸 a i a_{i} ai是否全相同。 如果是，則表示因素 A A A對所考察的名額 Y Y Y其實無影響．這時我們就說因素A的效應不顯著，否則就說它顯著。當然，在實際應用中，所謂“顯著”，是指諸 a i a_{i} ai之間的差異要大到一定的程度．這個 “一定的程度”，是從其實用上的意義着眼，而“統計顯著性”，則是與随機誤差相比而言．這點在下文的讨論中會有所展現．我們把所要檢驗的假設寫為： H 0 : a 1 = a 2 = ⋯ = a k ( 2.3 ) H_0:a_1=a_2=\cdots=a_k \qquad (2.3) H0:a1=a2=⋯=ak(2.3) 為檢驗該假設，我們需要分析，為什麼各個 Y i j Y_{ij} Yij會有差異？從模型(2.1)來看，無非兩個原因：一是各 a i a_{i} ai可能有差異．例如，若 a 1 > a 2 a_1>a_2 a1>a2, 這就使 Y 1 j Y_{1j} Y1j傾向于大于 Y 2 j Y_{2j} Y2j；二是随機誤差的存在。這一分析啟發了如下的想法：找一個衡量全部 y i j y_{ij} yij的變異的量： S S = ∑ i = 1 k ∑ j = 1 n i ( Y i j − Y ˉ ) 2 , Y ˉ = ∑ i = 1 k ∑ j = 1 n i Y i j / n ( 2.4 ) SS= \sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_i}\left ( Y_{ij}-\bar{Y} \right )^2, \qquad \bar{Y}=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_i}Y_{ij}/n \qquad (2.4) SS=i=1∑kj=1∑ni(Yij−Yˉ)2,Yˉ=i=1∑kj=1∑niYij/n(2.4) S S SS SS愈大，表示 Y i j Y_{ij} Yij之間的差異越大。
接下來，把 S S SS SS分為兩部分，一部分表示随機誤差的影響，記為 S S e SS_e SSe；另一部分表示因素 A A A的各水準理論平均值 a i a_i ai不同帶來的影響，記為 S S A SS_A SSA。
關于 S S e SS_e SSe，先固定一個 i i i，此時對應的所有觀測值 Y i 1 , Y i 2 , ⋯ , Y i n Y_{i1},Y_{i2},\cdots,Y_{in} Yi1,Yi2,⋯,Yin，他們之間的差異與每個水準的理論平均值不等無關，而是取決于随機誤差，反映這些觀察值差異程度的量是 ∑ j = 1 n i ( Y i j − Y i ˉ ) 2 \sum_{j=1}^{n_i}\left ( Y_{ij}-\bar{Y_i} \right )^2 ∑j=1ni(Yij−Yiˉ)2，其中 Y i ˉ = ( Y i 1 + Y i 2 + ⋯ + Y i n ) / n i , i = 1 , 2 , ⋯ , n ( 2.5 ) \bar{Y_i}=(Y_{i1}+Y_{i2}+\cdots+Y_{in})/n_i,\quad i=1, 2,\cdots,n \qquad (2.5) Yiˉ=(Yi1+Yi2+⋯+Yin)/ni,i=1,2,⋯,n(2.5) Y i ˉ \bar{Y_i} Yiˉ可以視為對 a i a_i ai的估計。把上述平方和做累加得： S S e = ∑ i = 1 k ∑ j = 1 n i ( Y i j − Y i ˉ ) 2 ( 2.6 ) SS_e=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_i}\left ( Y_{ij}-\bar{Y_i} \right )^2 \qquad (2.6) SSe=i=1∑kj=1∑ni(Yij−Yiˉ)2(2.6) 可求得 S S A SS_A SSA:
因為 Y i ˉ \bar{Y_i} Yiˉ可以視為對 a i a_i ai的估計， a i a_i ai的差異越大， Y i ˉ \bar{Y_i} Yiˉ之間的差異也越大，是以 S S A SS_A SSA可以用來衡量不同水準之間的差異程度。
在統計學上，通常稱 S S SS SS為總平方和， S S A SS_A SSA為因素 A A A的平方和， S S e SS_e SSe為誤差平方和，分解式 S S = S S A + S S e SS=SS_A+SS_e SS=SSA+SSe為該模型的方差分析。
基于上面的分析，我們可以得到假設(2.8)的一個檢驗方法：當比值 S S A / S S e SS_A/SS_e SSA/SSe大于某一給定界限時，否定 H 0 H_0 H0，不然就接受 H 0 H_0 H0。為了構造 F F F分布的檢驗統計量，我們假定随機誤差 e i j e_{ij} eij滿足正态分布 N ( 0 , σ 2 ) N(0, \sigma^2) N(0,σ2)，同時我們也假定觀察值 Y i j Y_{ij} Yij符合正态分布，此時，記 M S A = S S A / ( k − 1 ) , M S e = S S e / ( n − k ) ( 2.8 ) MS_A = SS_A/(k-1), \quad MS_e = SS_e/(n-k) \qquad (2.8) MSA=SSA/(k−1),MSe=SSe/(n−k)(2.8) 當 H 0 H_0 H0成立時，有： M S A / M S e ∼ F k − 1 , n − k ( 2.9 ) MS_A / MS_e \sim F_{k-1, n-k} \qquad (2.9) MSA/MSe∼Fk−1,n−k(2.9) 據（2.9），在給定顯著性水準 α \alpha α時，即得（2.10）的假設 H 0 H_0 H0的檢驗如下： 當 M S A / M S e ⩽ F k − 1 , n − k ( α ) 時 ， 接 受 H 0 ， 不 然 就 拒 絕 H 0 ( 2.10 ) 當MS_A / MS_e \leqslant F_{k-1, n-k}(\alpha)時，接受H_0，不然就拒絕H_0 \qquad (2.10) 當MSA/MSe⩽Fk−1,n−k(α)時，接受H0，不然就拒絕H0(2.10) M S A MS_A MSA和 M S e MS_e MSe分别被稱為因素 A A A和随機誤差的平均平方和。被除數 k − 1 k-1 k−1和 n − k n-k n−k，分别稱為這兩個平方和的自由度。 M S e MS_e MSe的自由度為什麼是 n − k n-k n−k呢？因為平方和 ∑ j = 1 n i ( Y i j − Y i ˉ ) 2 \sum_{j=1}^{n_i}\left ( Y_{ij}-\bar{Y_i} \right )^2 ∑j=1ni(Yij−Yiˉ)2的自由度為 n i − 1 n_i-1 ni−1，故對 i i i求和， S S e SS_e SSe的自由度就是 n − k n-k n−k。那麼， M S A MS_A MSA的自由度為什麼是 k − 1 k-1 k−1呢？因為一共有 k k k個平均值 a 1 , ⋯ , a k a_1,\cdots,a_k a1,⋯,ak等 k − 1 k-1 k−1個，故自由度為 k − 1 k-1 k−1，兩者自由度之和為 n − 1 n-1 n−1，恰好是總平方和的自由度。
到這裡，我們可以做出方差分析表如表2-1
2-1 單因素方差分析的方差分析表
在上表中，對于顯著性一欄，一般來說，我們把算出的 F F F比，即 M S A / M S e MS_A / MS_e MSA/MSe，與 F k − 1 , n − k ( 0.05 ) = c 1 F_{k-1, n-k}(0.05)=c_1 Fk−1,n−k(0.05)=c1和 F k − 1 , n − k ( 0.01 ) = c 2 F_{k-1, n-k}(0.01)=c_2 Fk−1,n−k(0.01)=c2比較。若 M S A / M S e > c 2 MS_A / MS_e>c_2 MSA/MSe>c2，用**表示，表明A因素的效應是高度顯著的，即在 α = 0.01 \alpha=0.01 α=0.01的顯著性水準下，拒絕原假設（5.3）。同理， c 2 < M S A / M S e < c 1 c_2<MS_A / MS_e<c_1 c2<MSA/MSe<c1用$\ast 表 示 ， 表示， 表示，MS_A / MS_e>c_1$時不顯著。
3 雙因素方差分析
3.1 推導過程
在很多種情況下，隻考慮一個名額對觀察值的影響，顯然是不夠的，這時就會用到多因素方差分析。雙因素方差分析和多因素方差分析在原理上是相似的，這裡為了書寫簡便，我們隻以雙因素方差分析為例進行推導。
還是以田間實驗的例子幫助了解推導過程，我們設有兩個因素 A , B A, B A,B，分别有 k , l k, l k,l個水準（例如 A A A為品種，有 k k k個； B B B為播種量，考慮 l l l種不同的數值，如20斤／畝，25斤／畝，……）． A A A的水準 i i i與 B B B的水準 j j j的組合記為 ( i , j ) (i,j) (i,j)，其試驗結果記為 Y i j , i = 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , k , j = 1 , … , l Y_{ij}, i = 1, · · ·, k,j = 1,…, l Yij,i=1,⋅⋅⋅,k,j=1,…,l．統計模型定為 Y i j = μ + a i + b j + e i j ， i = 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , k , j = 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , l ( 3.1 ) Y_{ij} = \mu + a_i + b_j + e_{ij}，i= 1, · · ·, k,j = 1,· · ·, l\qquad (3.1) Yij=μ+ai+bj+eij，i=1,⋅⋅⋅,k,j=1,⋅⋅⋅,l(3.1) 為解釋這模型，首先把右邊分成兩部分： e i j e_{ij} eij為随機誤差，它包含了未加控制的因素( A , B A,B A,B以外的因素）及大量随機因素的影響．假定 E ( e i j ) = 0 , 0 < V a r ( e i j ) = σ 2 < ∞ , 一 切 e i j 獨 立 同 分 布 ( 3.2 ) E(e_{ij})=0, 0<Var(e_{ij})={\sigma}^2<\infty,一切e_{ij}獨立同分布\qquad(3.2) E(eij)=0,0<Var(eij)=σ2<∞,一切eij獨立同分布(3.2) 另一部分 μ + a i + b j \mu + a_i + b_j μ+ai+bj，它顯示水準組合 ( i , j ) (i,j) (i,j)的平均效應．它可以又分解為三部分： μ \mu μ是總平均（一切水準組合效應的平均），是一個基準． a i a_i ai表示由 A A A的水準 i i i帶來的增加部分，稱為因素 A A A的水準 i i i的效應． b j b_j bj有類似的解釋．調整 μ \mu μ的值，我們可以補充要求： a 1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a k = 0 , b 1 + ⋅ ⋅ ⋅ + b l = 0 ( 3.3 ) a_1+···+a_k=0,b_1+···+b_l=0 \qquad (3.3) a1+⋅⋅⋅+ak=0,b1+⋅⋅⋅+bl=0(3.3) 如果 ( 3.3 ) (3.3) (3.3)式不成立，則分别把 μ \mu μ換為
μ + a ˉ + b ˉ \mu + \bar{a}+\bar{b} μ+aˉ+bˉ， a i a_i ai換為 a i − a ˉ a_i-\bar{a} ai−aˉ， b j b_j bj換為 b j − b ˉ b_j-\bar{b} bj−bˉ，則 ( 3.1 ) (3.1) (3.1)式不變，而 ( 3.3 ) (3.3) (3.3)式成立。
限制條件 ( 3.3 ) (3.3) (3.3)給了 a i ， b j a_i，b_j ai，bj的意義一種更清晰的解釋： a i > 0 a_i>0 ai>0 表示A的水準 i i i的效應在 A A A的全部水準的平均效應之上， a i < 0 a_i<0 ai<0 則相反。另外，這個限制條件也給了 μ ， a i , b j \mu，a_i,b_j μ，ai,bj的 一個适當的估計法：把 Y i j Y_{ij} Yij對一切 i , j i,j i,j相加．注意到 ( 3.3 ) (3.3) (3.3)，有 ∑ i = 1 k ∑ j = 1 l Y i j = k l μ + ∑ i = 1 k ∑ j = 1 l e i j ( 3.4 ) \sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{l}Y_{ij}= kl\mu+\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{l}e_{ij} \qquad (3.4) i=1∑kj=1∑lYij=klμ+i=1∑kj=1∑leij(3.4) 由 ( 3.2 ) (3.2) (3.2)得， Y ˉ = ∑ i = 1 k ∑ j = 1 l Y i j / k l ( 3.5 ) \bar{Y}=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{l}Y_{ij}/kl \qquad (3.5) Yˉ=i=1∑kj=1∑lYij/kl(3.5) 是 μ \mu μ的一個無偏估計。其次，有 ∑ j = 1 l Y i j = l μ + l a + ∑ j = 1 l e i j ( 3.6 ) \sum_{j=1}^{l}Y_{ij}=l\mu+la+\sum_{j=1}^{l}e_{ij} \qquad (3.6) j=1∑lYij=lμ+la+j=1∑leij(3.6) 于是，記
Y i ˉ = ∑ j = 1 l Y i j / l , Y j ˉ = ∑ i = 1 k Y i j / k ( 3.7 ) \bar{Y_i}=\sum_{j=1}^{l}Y_{ij}/l, \quad \bar{Y_j}=\sum_{i=1}^{k}Y_{ij}/k \qquad (3.7) Yiˉ=j=1∑lYij/l,Yjˉ=i=1∑kYij/k(3.7) 由 ( 3.7 ) (3.7) (3.7)知， Y j ˉ \bar{Y_j} Yjˉ為 μ + a i \mu+a_i μ+ai的一個無偏估計。于是得到 a i a_i ai的一個無偏估計為 a i ^ = Y i ˉ − Y ˉ , i = 1 , ⋯ , k ( 3.8 ) \hat{a_i}=\bar{Y_i}-\bar{Y}, i=1,\cdots,k \qquad(3.8) ai^=Yiˉ−Yˉ,i=1,⋯,k(3.8) 同理， b j ^ = Y j ˉ − Y ˉ , j = 1 , ⋯ , l ( 3.9 ) \hat{b_j}=\bar{Y_j}-\bar{Y}, j=1,\cdots,l \qquad(3.9) bj^=Yjˉ−Yˉ,j=1,⋯,l(3.9) a i ^ , b j ^ \hat{a_i},\hat{b_j} ai^,bj^适合限制條件 ( 3.3 ) (3.3) (3.3)。
下面進行方差分析，要設法把總平方和 S S = ∑ i = 1 k ∑ j = 1 l ( Y i j − Y ˉ ) 2 SS=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{l}(Y_{ij}-\bar{Y})^2 SS=i=1∑kj=1∑l(Yij−Yˉ)2 分解為三部分： S S A , S S B , S S e SS_A,SS_B,SS_e SSA,SSB,SSe，分别表示因素 A , B A,B A,B和随機誤差的影響。這種分解的主要目的是假設檢驗： H 0 A : a 1 = ⋯ = a k = 0 ( 3.10 ) H_{0A}:a_1=\cdots=a_k=0 \qquad(3.10) H0A:a1=⋯=ak=0(3.10) 和 H 0 B : b 1 = ⋯ = b k = 0 ( 3.11 ) H_{0B}:b_1=\cdots=b_k=0 \qquad(3.11) H0B:b1=⋯=bk=0(3.11)
H 0 A H_0A H0A成立表示因素 A A A對名額其實無影響。在實際問題中，絕對無影響的場合少見，但如影響甚小以緻被随機誤差所掩蓋時，這種影響事實上等于沒有。是以，拿 S S A SS_A SSA和 S S e SS_e SSe的比作為檢驗統計量正符合這一想法．
接下來講一下方差分解的小技巧： Y i j − Y ˉ = ( Y i ˉ − Y ˉ ) + ( Y j ˉ − Y ˉ ) + ( Y i j − Y i ˉ − Y j ˉ + Y ˉ ) Y_{ij}-\bar{Y}=(\bar{Y_i}-\bar{Y}) + (\bar{Y_j}-\bar{Y})+(Y_{ij}-\bar{Y_i}-\bar{Y_j}+\bar{Y}) Yij−Yˉ=(Yiˉ−Yˉ)+(Yjˉ−Yˉ)+(Yij−Yiˉ−Yjˉ+Yˉ) 兩邊平方，對 i , j i,j i,j求和，結合限制條件(3.3)，注意到
∑ i = 1 k ( Y i ˉ − Y ˉ ) = 0 ， ∑ j = 1 l ( Y j ˉ − Y ˉ ) = 0 ， \sum_{i=1}^{k}(\bar{Y_{i}}-\bar{Y})=0， \sum_{j=1}^{l}(\bar{Y_{j}}-\bar{Y})=0， i=1∑k(Yiˉ−Yˉ)=0，j=1∑l(Yjˉ−Yˉ)=0，
∑ i = 1 k ( Y i j − Y i ˉ − Y j ˉ + Y ˉ ) = ∑ j = 1 l ( Y i j − Y i ˉ − Y j ˉ + Y ˉ ) = 0 \sum_{i=1}^{k}(Y_{ij}-\bar{Y_i}-\bar{Y_j}+\bar{Y})=\sum_{j=1}^{l}(Y_{ij}-\bar{Y_i}-\bar{Y_j}+\bar{Y})=0 i=1∑k(Yij−Yiˉ−Yjˉ+Yˉ)=j=1∑l(Yij−Yiˉ−Yjˉ+Yˉ)=0
即知所有交叉積之和皆為0，而得到
第一個平方和可以作為因素 A A A的影響的衡量，從前述 Y i ˉ − Y ˉ \bar{Y_{i}}-\bar{Y} Yiˉ−Yˉ作為 a i a_i ai的估計可以了解第二個平方和同理。至于第三個平方和可作為随機誤差的影響這一點， 直接看不甚明顯。可以從兩個角度去了解：在 S S SS SS中去掉 S S A SS_A SSA
和 S S B SS_B SSB後，剩餘下的再沒有其他系統性因素的影響，故隻能作為 S S e SS_e SSe。另外，由模型 ( 3.1 ) (3.1) (3.1)及限制條件 ( 3.3 ) (3.3) (3.3)，易知
這裡面已經毫無 μ , a i , b j \mu,a_i,b_j μ,ai,bj的影響，而隻含随機誤差。
得到分解式 ( 3.12 ) (3.12) (3.12)後，我們就可以像單囚素情況那樣，寫出下面的方差分析表： S S A , S S B SS_A , SS_B SSA,SSB 自由度分别為其水準數減去1，這一點與單因素情況相同．總和自由度為全部觀察值數目 k l kl kl減去1．剩下的就是誤差平方和自由度： ( k l − 1 ) − ( k − 1 ) − ( l − 1 ) = ( k − 1 ) ( l − 1 ) (kl - 1) - (k - 1) - (l - 1) = (k - 1) (l - 1) (kl−1)−(k−1)−(l−1)=(k−1)(l−1) 表3.1
雙因素方差分析表
有一點要注意：在采納模型 ( 3.1 ) (3.1) (3.1)時，我們事實上引進了 一 種假定，即兩因素 A , B A,B A,B對名額的效應是可以疊加的．換一種方式說：因素 A A A的各水準的優劣比較，與因素 B B B處在哪個水準無關，反之亦然．更一般的情況是： A , B A,B A,B兩因子有“互動作用 ＂ 。這時在模型(5.13)中，還要加上表示互動作用的項 c i j c_{ij} cij．這時不僅統計分析複雜化了，尤其是分析結果的解釋也複雜化了．本文檔暫不讨論這種情況。在一個特定的問題中，互動作用是否需要考慮，在很大程度上取決于問題的實際背景和經驗．有時，通過試驗資料的分析也可以看出一些問題。例如，若誤差方差 σ 2 \sigma^2 σ2的估計 M S e MS_e MSe反常地大，則有可能是由于互動作用所緻．因為可以證明：若互動作用确實存在而未加考慮，則它的影響進入随機誤差而增大了 M S e MS_e MSe。