導航
- 投資組合績效評價
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- 單因素整體績效評價模型
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- Jensen測度
- Treynor測度
- Sharpe測度
- 測度比較
- 估價比率（資訊比率）
- M 2 M^2 M2測度
- 選股和擇時
-
- 選股能力
- 擇時能力
- 參考資料
投資組合績效評價
CAPM理論可以用于評價一項投資組合的績效，評價步驟如下
(1). 通過計算平均收益率，收益率的标準差開始分析，給定 r i ( i = 1 , 2 , … , n ) r_i(i=1,2, \dots, n) ri(i=1,2,…,n)平均收益率為
r ˉ ^ = 1 n ∑ i = 1 n r i \hat{\bar{r}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nr_i rˉ^=n1i=1∑nri
均方差為
s 2 = 1 n − 1 ∑ ( r i − r ˉ ^ ) 2 s^2=\frac{1}{n-1}\sum(r_i-\hat{\bar{r}})^2 s2=n−11∑(ri−rˉ^)2
s s s作為标準差的估計
(2). 擷取市場組合(SP500)與無風險資産（1年期國債）估計組合與SP500之間的協方差
c o v ( r , r M ) = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( r i − r ˉ ^ ) ( r M i − r ˉ ^ M ) cov(r, r_M)=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(r_i-\hat{\bar{r}})(r_{M_i}-\hat{\bar{r}}_M) cov(r,rM)=n−11i=1∑n(ri−rˉ^)(rMi−rˉ^M)
計算 β \beta β
β = c o v ( r , r M ) v a r ( r M ) \beta=\frac{cov(r, r_M)}{var(r_M)} β=var(rM)cov(r,rM)
(3). 建構公式
r ˉ ^ − r f = J + β ( r ˉ ^ M − r f ) \hat{\bar{r}}-r_f=J+\beta(\hat{\bar{r}}_M-r_f) rˉ^−rf=J+β(rˉ^M−rf)
與CAPM定價公式相似，但是使用了平均收益率替換了期望收益率，誤差項 J J J表示Jensen指數.
當 J > 0 J>0 J>0，根據證券市場線可以知道，組合是一個優秀的組合，但不一定是有效的.
隻有在CML上的組合才是有效的，根據公式
S = r ˉ ^ − r f σ S=\frac{\hat{\bar{r}}-r_f}{\sigma} S=σrˉ^−rf
S S S為夏普指數，如果 S < S s p 500 S<S_{sp500} S<Ssp500那麼組合不是有效的.
是以組合可能值得持有，但是不一定是有效的，為了獲得有效性，需要其他資産補充到其中，即投資于一個更加具有廣泛基礎的組合.
單因素整體績效評價模型
由于資産的方差-協方差矩陣的計算複雜度較高，是以證券分析師建立了實用的評估組合整體績效的模型.
Jensen測度
Jensen測度建立在CAPM測算基礎上的資産組合的平均收益，使用了組合的 β \beta β值和平均市場收益，結果為組合的 α \alpha α值.
計算公式為
α i = r i t − [ r f t + β i ( r m t − r f t ) ] \alpha_i=r_{it}-[r_{ft}+\beta_i(r_{mt}-r_{ft})] αi=rit−[rft+βi(rmt−rft)]
其中， α i \alpha_i αi為Jensen績效名額， r m t r_{mt} rmt為市場投資組合在 t t t時期的收益率， r i t r_{it} rit為 i i i基金在 t t t時期的收益率， r f t r_{ft} rft為 t t t時期的無風險利率； β i \beta_i βi為基金組合所承擔的系統風險.
Jensen指數為絕對績效名額，表示基金組合收益率與相同系統風險水準下市場投資組合收益率之間的差異，當其值大于0時，表示基金績效優于市場組合.
Jensen指數評估基金整體績效時存在一個隐含假設，即基金非系統風險已經通過投資組合分散掉，是以該模型隻反映了收益率和系統風險因子之間的關系，是以基金經理的市場判斷能力的存在就會使得 β \beta β值呈現時變性，使得基金績效和市場組合績效之間存在非線性關系；并且，如果基金沒有完全消除非系統風險，那麼Jensen指數會給出錯誤的資訊. Treynor和Mazuy在模型中引入了二次回歸項，Merton和Heriksson也提出了雙 β \beta β值市場模型，并使用二次回歸項和随機變量對基金經理的選股能力與市場運用中的時間選擇能力進行了研究.
Treynor測度
Treynor測度給出了機關風險的超額收益，Treynor指數以機關系統風險收益作為基金績效評價名額，計算公式為
T i = r ˉ i − r f β i T_i=\frac{\bar{r}_i-r_f}{\beta_i} Ti=βirˉi−rf
其中， r ˉ i − r f \bar{r}_i-r_f rˉi−rf為 i i i基金在樣本期内的平均風險溢酬. Treynor指數同樣隐含了非系統風險已經被完全消除的假設，反映了基金經理的市場調整能力，無論市場整體處于上升階段還是下降階段，較大的Treynor指數總是表示較好的績效，但是如果非系統風險沒有完全消除，則Treynor指數一樣可能給出錯誤資訊.
Sharpe測度
Sharpe測度是資産組合長期平均超額收益和該時期标準差的比值，是關于總體波動性回報的測度，計算公式為
S i = r ˉ i − r f σ i S_i=\frac{\bar{r}_i-r_f}{\sigma_i} Si=σirˉi−rf
Sharpe指數和Treynor指數一樣可以反映基金經理的市場調整能力，和Treynor指數不同的是，Treynor指數隻考慮了系統風險，而Sharpe指數同時考慮了系統風險和非系統風險，是以Sharpe指數還可以反映基金分散和降低非系統風險的能力，在基金已經完全分散了非系統風險的情況下，Sharpe指數和Treynor指數評估結果是相同的.
測度比較
Sharpe指數和Treynor指數是相對績效度量方法，而Jensen指數是在風險調整基礎上絕對績效度量方法，表示在完全風險水準情況下，基金經理對證券價格的準确判斷能力.
Treynor指數和Jensen指數在對基金績效評估時，均以 β \beta β系數測定風險，忽略了基金組合包含資産的數量（投資組合的廣度），隻考慮獲得超額收益的大小（投資組合的深度）；當基金投資組合的 β \beta β值在不斷變動時，Jensen的 α \alpha α系數和Treynor比率都無法恰當地評價基金的表現，但是在衡量基金投資組合的績效時，需要兼顧投資組合的深度和廣度.
在績效評價名額的選擇上，Sharpe指數模型和Treynor指數模型對基金績效評估具有客觀性，Jensen指數模型用來衡量基金實際收益的差異較好.
對于Sharpe指數和Treynor指數模型的選擇取決于所評估基金的類型，如果評估基金屬于充分分散的組合，投資組合的 β \beta β值可以更好地反映基金的風險，Treynor指數模型是更好的選擇，如果評估基金是專門投資于某一行業的基金時，相應的風險名額為投資組合的收益率标準差，使用Sharpe指數模型較好.
估價比率（資訊比率）
由于 α \alpha α值表示特有風險收益，是以資産組合的 α \alpha α值除以非系統風險得到資訊比率(IR)
r ˉ p = r f + β ( r ˉ m − r f ) ⇒ r ˉ p = r f + β ( r ˉ m − r f ) + e p I R p = α p σ ( e p ) \bar{r}_p=r_f+\beta(\bar{r}_m-r_f)\Rightarrow \bar{r}_p=r_f+\beta(\bar{r}_m-r_f)+e_p\\ IR_p=\frac{\alpha_p}{\sigma(e_p)} rˉp=rf+β(rˉm−rf)⇒rˉp=rf+β(rˉm−rf)+epIRp=σ(ep)αp
資訊比率是計算每機關非系統風險所帶來的非正常收益，所有測度都是越大越好.
M 2 M^2 M2測度
Sharpe測度的一個缺點是數值含義不容易解釋， M 2 M^2 M2測度，即Modiglianni平方和Sharpe測度類似，也是基于全部風險的度量，但是該測度解釋了為什麼相對于不同市場基準指數有不同的收益水準.
基本思想為通過無風險利率的借貸（構造新組合），将被評價的組合的标準差調整到與基準指數相同水準下，進而對基金相對于基準指數的表現進行考察.
案例：資産組合P和市場組合M，無風險利率為6%，資料如表所示
| Items | portfolio P | Market M |
|---|---|---|
| 平均收益率(%) | 35 | 28 |
| β \beta β值 | 1.2 | 1 |
| 标準差(%) | 42 | 30 |
| 非系統風險(%) | 18 |
計算P與M的夏普測度， M 2 M^2 M2測度， α \alpha α測度，Treynor測度與IR.
解析：
Sharpe測度為
S p = 35 − 6 42 = 0.69 S m = 28 − 6 30 = 0.733 S_p=\frac{35-6}{42}=0.69\\ S_m=\frac{28-6}{30}=0.733 Sp=4235−6=0.69Sm=3028−6=0.733
P組合不如M，調整P組合使得标準差為30%.
P組合由0.714份的P和0.286份的無風險資産（國庫券）組成，期望收益率為
0.286 ∗ 6 % + 0.714 ∗ 42 % = 26.7 % 0.286*6\%+0.714*42\%=26.7\% 0.286∗6%+0.714∗42%=26.7%
比市場組合的平均收益率少1.3%，即P的 M 2 M^2 M2名額為-1.3%.
α \alpha α測度： α p = 35 − [ 6 + 1.2 ∗ ( 28 − 6 ) ] = 2.6 , α m = 0 \alpha_p=35-[6+1.2*(28-6)]=2.6, \alpha_m=0 αp=35−[6+1.2∗(28−6)]=2.6,αm=0
Treynor測度： t p = ( 35 − 6 ) / 1.2 = 24.2 , t m = ( 28 − 6 ) / 1.0 = 22 t_p=(35-6)/1.2=24.2, t_m=(28-6)/1.0=22 tp=(35−6)/1.2=24.2,tm=(28−6)/1.0=22
IR測度： I R p = 2.6 / 18 = 0.144 , I R m = 0 IR_p=2.6/18=0.144, IR_m=0 IRp=2.6/18=0.144,IRm=0
選股和擇時
選股能力：預測個股股價走勢的能力，基金經理能否識别市場上被低估或者高估的股票
擇時能力：預測整個股票市場總體價格走勢的能力，基金經理根據市場整體走勢調整組合的風險水準，牛市狀态下增加組合的風險水準；低迷的市場狀态下降低組合的風險水準，通過高風險和低風險的資産轉換擷取收益.
選股能力
Fama(1972)提出了對風險調整回報率方法的詳細分析架構，可以對基金業績進行詳細分解，如下圖所示
圖中縱軸表示回報率(%)，橫軸表示風險度量，一般使用 σ \sigma σ或者 β \beta β表示，這兩種不同的風險度量名額可以從市場風險和總風險兩個不同角度評價基金業績. 圖中斜線為證券市場線(SML)，該直線為回報率是否和風險比對提供了評價基準，圖中市場回報率為9%，無風險回報率為2%，基金A的坐标為(8%, 0.67)，有SML可知，在市場風險水準A期望回報率為6.7%，由無風險利率 r f = 2 % r_f=2\% rf=2%和風險溢價 4.7 % 4.7\% 4.7%組成，基金實際回報率為 8 % 8\% 8%，比期望值高 1.3 % 1.3\% 1.3%，高出的這一部分為股票選擇回報率.
可以從給定與風險水準相聯系的一般回報水準的角度來檢驗股票選擇的好壞以及基金總體業績影響，即總超額回報率=選擇回報率+風險回報率.
r A − r f = ( r A − r β A ) + ( r β A − r f ) r_A-r_f=(r_A-r_{\beta_A})+(r_{\beta_A}-r_f) rA−rf=(rA−rβA)+(rβA−rf)
對于基金經理而言，想要獲得超過平均值的回報率，一般需要舍棄一些分散性，通過承擔更高的風險的投資組合來獲得高收益，假設市場基金标準差 σ M = 21 % \sigma_M=21\% σM=21%，基金A的标準差 σ A = 15 % \sigma_A=15\% σA=15%，使用總風險水準計算基金A的一般回報率水準
r σ A = r f + ( r M − r f ) × σ A σ M = 2 % + ( 9 % − 2 % ) × 15 % 21 % = 7 % r_{\sigma_A}=r_f+(r_M-r_f)\times\frac{\sigma_A}{\sigma_M}=2\%+\frac{(9\%-2\%)\times 15\%}{21\%}=7\% rσA=rf+(rM−rf)×σMσA=2%+21%(9%−2%)×15%=7%
因為僅考慮市場風險時回報率為 6.7 % 6.7\% 6.7%，是以 3 % 3\% 3%為與可分散風險比對的附加回報率，基金的淨選擇回報率等于總選擇回報率減去可分散風險相比對的附加回報率，在圖中表現為 r A r_A rA與 r σ A r_{\sigma_A} rσA之間的距離，計算公式為
r = r A − r β A ⏟ 總選擇回報率 − ( r σ A − r β A ) ⏟ 附加回報率 r=\underbrace{r_A-r_{\beta_A}}_{\text{總選擇回報率}}-\underbrace{(r_{\sigma_A}-r_{\beta_A})}_{\text{附加回報率}} r=總選擇回報率
rA−rβA−附加回報率
(rσA−rβA)
擇時能力
由CAPM可知，投資組合的預期回報率是 β \beta β值的線性函數，即
r ˉ p = α p + r f + ( r ˉ M − r f ) β p \bar{r}_p=\alpha_p+r_f+(\bar{r}_M-r_f)\beta_p rˉp=αp+rf+(rˉM−rf)βp
當 r ˉ M > r f \bar{r}_M>r_f rˉM>rf時，選擇 β p \beta_p βp較大的組合
當 r ˉ M < r f \bar{r}_M<r_f rˉM<rf時，選擇 β p \beta_p βp較小的組合
具有優秀擇時能力的基金經理組合-市場關系特征曲線如下
當市場處于明顯上漲趨勢時，基金的 β \beta β值超過市場的 β \beta β值，當市場處于下跌趨勢時，基金的下跌速度要慢于市場，即 β \beta β值低于市場 β \beta β值.
T-M模型
特雷諾和瑪澤(1996)利用傳統的二次項回歸對這種關系進行了描述
r p − r f = a + b ( r M − r f ) + c ( r M − r f ) 2 r_p-r_f=a+b(r_M-r_f)+c(r_M-r_f)^2 rp−rf=a+b(rM−rf)+c(rM−rf)2
将擇時能力定義為：基金經理預測市場的收益與無風險收益之間差異大小的能力.
H-M模型
Henriksson和Merton(1981)提出了另一種相似的模型，他們假設投資組合的 β \beta β值隻取兩個值，同時引入一個帶有
dummy variable
的模型（H-M模型），當市場走強時， β \beta β取較大值，當市場走弱時， β \beta β取較小值，示意圖如下
在回歸方程中加入虛拟變量描述這種關系，即
r p − r f = a + b × ( r M − r f ) + c × ( r M − r f ) × D + e p 2 r_p-r_f=a+b\times(r_M-r_f)+c\times(r_M-r_f)\times D+e_p^2 rp−rf=a+b×(rM−rf)+c×(rM−rf)×D+ep2
其中 D D D為虛拟變量，在市場走強時，取零值，即當 r M > r f r_M>r_f rM>rf時，回歸方程退化為
r p − r f = a + b × ( r M − r f ) r_p-r_f=a+b\times(r_M-r_f) rp−rf=a+b×(rM−rf)
當市場走弱時， D = − 1 D=-1 D=−1，方程形式為
r p − r f = a + ( b − c ) × ( r M − r f ) r_p-r_f=a+(b-c)\times(r_M-r_f) rp−rf=a+(b−c)×(rM−rf)
對于強擇時能力的基金管理人， c c c值應該顯著大于0.
參考資料
投資學及其R語言應用 清華大學出版社 朱順泉