平面最近點對
暴力的話,時間複雜度是 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)
是以我們考慮分治
首先按 x x x排序
接着以中間,分成兩個區域
分别計算最近點對
然後取兩者較小的值 d d d
接着考慮一個在左邊一個字右邊的點對
A A A點的最近點對,隻會在右邊這個 d × 2 d d \times 2d d×2d的矩形區域裡
因為向上 d d d,向下 d d d,向右 d d d
(當然你要說隻會在以 A A A為圓心, d d d為半徑的圓裡也可以,隻是矩形好算)
接着證明這個矩形裡,最多隻有6個點
把這個矩形分成如下的6個小矩形
假設超過了6個點,根據抽屜原理,必然有一個小矩形有2個點
但是每個小矩形的對角線的距離
( d 2 ) 2 + ( 2 d 3 ) 2 = 5 d 6 < d \sqrt{(\frac{d}{2})^2 + (\frac{2d}{3})^2} =\frac{5d}{6}<d (2d)2+(32d)2
=65d<d
與右邊區域的最近點對距離為 d d d沖突
是以隻有6個點
那麼時間複雜度為
排序 O ( n log 2 n ) O(n\log_2 n) O(nlog2n)
分治 T ( n ) = 2 T ( n 2 ) + 6 n = 2 T ( n 2 ) + O ( n ) T(n)=2T(\frac{n}{2})+6n=2T(\frac{n}{2})+O(n) T(n)=2T(2n)+6n=2T(2n)+O(n)
由主定理 T ( n ) = O ( n log 2 n ) T(n)=O(n\log_2 n) T(n)=O(nlog2n)
是以總的複雜度是 O ( n log 2 n ) O(n\log_2 n) O(nlog2n)
OJ
洛谷P1257 ,P1429
做法其實大緻和上面将的差不多
隻是找一個點在左邊一個點在右邊的點對的時候,
是直接将 m i d mid mid為中心左邊 d d d,右邊 d d d的點找出來,排個序,然後比。
總的時間複雜度其實差不多
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef pair<double,double> P;
const int N=200005;
P p[N];//坐标
int n,temp[N];
bool cmpX(const P& a,const P& b){
return a.first<b.first;
}
bool cmpY(int a,int b){
if(p[a].second!=p[b].second)return p[a].second<p[b].second;
return p[a].first<p[b].first;
}
double get_distance(const P& a,const P& b){
return sqrt((a.first-b.first)*(a.first-b.first)+(a.second-b.second)*(a.second-b.second));
}
double solve(int left,int right){
double d=2e9;
if(left==right)return d;
else if(left+1==right)return get_distance(p[left],p[right]);
int mid=(left+right)>>1;
d=min(solve(left,mid),solve(mid+1,right));
int t=0;
//找以mid為中心左右距離d的
for(int i=left;i<=right;++i){
//注意這裡temp是複制下标,而不是坐标,複制坐标容易T(因為我就T了
if(fabs(p[i].first-p[mid].first)<d)
temp[t++]=i;
}
sort(temp,temp+t,cmpY);
for(int i=0;i<t-1;++i){
for(int j=i+1;j<t&&p[temp[j]].second-p[temp[i]].second<d;++j){
d=min(d, get_distance(p[temp[i]],p[temp[j]]));
}
}
return d;
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<n;++i){
double x,y;
scanf("%lf%lf",&x,&y);
p[i]=make_pair(x,y);
}
sort(p,p+n,cmpX);
printf("%.4lf\n",solve(0,n-1));
return 0;
}