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機率論中PDF、PMF和CDF的差別與聯系

在機率論中,經常出現PDF、PMF和CDF,那麼這三者有什麼差別與聯系呢?

1. 概念解釋

  • PDF:機率密度函數(probability density function), 在數學中,連續型随機變量的機率密度函數(在不至于混淆時可以簡稱為密度函數)是一個描述這個随機變量的輸出值,在某個确定的取值點附近的可能性的函數。
  • PMF : 機率品質函數(probability mass function), 在機率論中,機率品質函數是離散随機變量在各特定取值上的機率。
  • CDF : 累積分布函數 (cumulative distribution function),又叫分布函數,是機率密度函數的積分,能完整描述一個實随機變量X的機率分布。

2. 數學表示

2.1 PDF

如果XX是連續型随機變量,定義機率密度函數為fX(x)fX(x),用PDF在某一區間上的積分來刻畫随機變量落在這個區間中的機率,即

機率論中PDF、PMF和CDF的差別與聯系
2.2 PMF

如果XX離散型随機變量,定義機率品質函數為fX(x)fX(x),PMF其實就是高中所學的離散型随機變量的分布律,即

機率論中PDF、PMF和CDF的差別與聯系

比如對于擲一枚均勻硬币,如果正面令X=1X=1,如果反面令X=0X=0,那麼它的PMF就是

機率論中PDF、PMF和CDF的差別與聯系
2.3 CDF

不管是什麼類型(連續/離散/其他)的随機變量,都可以定義它的累積分布函數,有時簡稱為分布函數。

  • 對于連續型随機變量,顯然有:

    F X ( x ) = P r ( X ≤ x ) = ∫ − ∞ x f X ( t ) d t F_X(x)=Pr(X\leq x)=\int _{-\infty }^{x}f_X(t) dt FX​(x)=Pr(X≤x)=∫−∞x​fX​(t)dt

    那麼CDF就是PDF的積分,PDF就是CDF的導數。

  • 對于離散型随機變量,其CDF是分段函數,比如舉例中的擲硬币随機變量,它的CDF為:

    F X ( x ) = P r ( X ≤ x ) { 0 i f     x &lt; 0 1 2 i f     0 ≤ x &lt; 1 1 i f     x ≥ 1 F_X(x)=Pr(X\leq x)\left\{ \begin{array}{rcl} 0 &amp; &amp; {if \ \ \ x &lt;0 }\\ \frac{1}{2} &amp; &amp; {if \ \ \ 0\leq x&lt;1}\\ 1 &amp; &amp; {if\ \ \ x\geq 1}\\ \end{array} \right. FX​(x)=Pr(X≤x)⎩⎨⎧​021​1​​if   x<0if   0≤x<1if   x≥1​

3.概念分析

根據上述,我們能得到以下結論:

  • PDF是連續變量特有的,PMF是離散随機變量特有的;
  • PDF的取值本身不是機率,它是一種趨勢(密度)隻有對連續随機變量的取值進行積分後才是機率,也就是說對于連續值确定它在某一點的機率是沒有意義的;
  • PMF的取值本身代表該值的機率。

4.分布函數的意義

我們從兩點來分析分布函數的意義:

4.1 為什麼需要分布函數?

對于離散型随機變量,可以直接用分布律來描述其統計規律性;而對于連續型随機變量(非離散型的随機變量),我們無法一一列舉出随機變量的所有可能取值,是以它的機率分布不能像離散随機變量那樣用分布律進行描述。于是引入PDF,用積分來求随機變量落入某個區間的機率。

分布律(PMF)不能描述連續型随機變量,密度函數(PDF)不能描述離散随機變量,是以需要找到一個統一方式描述随機變量統計規律,這就有了分布函數。

另外,在現實生活中,有時候人們感興趣的是随機變量落入某個範圍内的機率是多少,如擲骰子的數小于3點的獲勝,那麼考慮随機變量落入某個區間的機率就變得有現實意義了,是以引入分布函數很有必要。

4.2 分布函數的意義

分布函數 F ( x ) F(x) F(x)在點 x x x處的函數值表示 X X X落在區間 ( − ∞ , x ] (−\infty,x] (−∞,x]内的機率,是以分布函數就是定義域為 R R R的一個普通函數,是以我們可以把機率問題轉化為函數問題,進而可以利用普通的函數知識來研究機率問題,增大了機率的研究範圍。

5.參考文獻

機率中的PDF,PMF,CDF

http://www.dataguru.cn/thread-150756-1-1.html

https://www.zhihu.com/question/23022012

https://www.zhihu.com/question/36853661

https://www.zhihu.com/question/21911186

http://wenku.baidu.com/view/823a0bb9f111f18582d05a14.html

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