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1、數學學習與研究2009.7數學學習與研究2009.7 【摘要】 介紹了如何用C語言實作線性方程組的高斯 消去法的解法，其有效性已在Turbo C中得到了驗證. 【關鍵詞】 高斯消去法；C語言；線性方程組 在科學和工程計算中，應用最廣泛的是求解線性方程 組的解，而高斯消去法是求解線性方程組的最常用的方法 之一1，但其矩陣的計算量非常大，對于維數較少的矩陣可 以用手工計算而得，但對于多元的矩陣，用手工計算已經顯 得不可能.下面給出用C語言求解線性方程組的一種方法. 1.高斯消去法(Gauss Elimination)的解題思路 高斯消去法實質上分成兩部分：一是利用列運算将矩 陣A代成上三角矩陣；二。
2、是反代(Backward Substitution)來 求得所要的答案.矩陣的基本列運算規則為：(1)任一列均 可乘以一非零的常數；(2) 将任一列乘以一常數後加到其 他列；(3)可任意對調任兩列2. n維線性方程組常記為： a11x1+ a12x2+ a1nxn= d1 a21x1+ a22x2+ a2nxn= d2 an1x1+ an2x2+ annxn= dn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (1) 用矩陣表示為： A X aijnnxin1din1(2) 例如： 2x1- 3x2+ 5x3= 10 圯 Row1 4x1+ 5x2+ 7x3= 20 圯 Row2 3x1- 6。
3、x2+ 9x3= 30 圯 Row 圯 3 (3) 經兩次列運算後： 4 2 (R1)(R2)R2 3 2 (R1)(R3)R3 得到： 2x1- 3x2+ 5x3= 10 圯 Row1 11x2-3x3= 0 圯 Row2 3 2 x2+ 3 2 x3= 15 圯 Row ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 (4) 再進行以下的列運算： 3 2 3 3 1 11 3 3(2)(R3) 可以得到： 2x1- 3x2+ 5x3= 10 圯 Row1 11x2-3x3= 0 圯 Row2 + 24 22 x3= 15 圯 Row ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 (5) 。
4、反代得到解答： Row 3：x3 15 24 22 2 3 (6) Row 2：x2 3 x3 11 (7) Row 1：x1 (5x3 3x2) 2 (8) 2.以三維矩陣為例找出計算機解題的思路 消去法的過程 a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33 33 d1 d2 d3 33 (9) 第一步計算： - a21 a11 R1 + R2圯R2(10) - a31 a11 R1 + R3圯R3(11) 得到新的矩陣為： a11a12a13 0a22a23 0a32a33 33 d1 d2 d3 3 3 (12) 接着進行第二步的列運算： - a32 a22 R1 + R3圯。
5、R3(13) 得到新矩陣： a11a12a13 0a22a23 00a33 33 d1 d2 d3 3 3 (14) 反代： x3= d3 a33 (15) x2= d2 - a23x3 a22 (16) x1= d1- a13x3-a12x2 a11 (17) 3. n維線性方程式解的演算法 高斯消去法： (1) 由第一行開始至第n1行，j1，to n1； (2) 由第j1列至第n列，ij1 to n； (3) 由第一行至第n行，k1，n . aik= aik- aij ajj (18) di= di- bjaij ajj (19) 反代法： xn= bn ann (20) 由jn1至1 x。
6、j= bj(21) For kn to j1 xj= xj- ajkbk(22) xj= xj ajj (23) 4. n維線性方程式解的C程式範例 include stdioh 用 C 語言實作解線性方程組的高斯消去法 黃良斌 (南通紡織職業技術學院資訊系，江蘇 南通226007) R1 R2 R3 R1 R2 R3 R1 R2 R3 ZHUANTI YANJIU 專 題 研 究 104 數學學習與研究2009.7數學學習與研究2009.7 定存在，但lim (xx0) (x) f(x) g(x) 不存在時，lim (xx0) (x) f(x) g(x) 也可能存在.此 時，隻能說明洛必達法。
7、則失效，此種題型不能使用洛必達法則. 正解lim x x + sin x x = lim x 1+ sin x x xx=1+ lim x sin x x = 1. 3.連續使用洛必達法則時忽視逐漸檢驗 例7求lim x1 x3- 3x + 2 x3- x2- x + 1 . 錯解lim x1 x3- 3x + 2 x3- x2- x + 1 = lim x1 3x2- 3 3x3- 2x - 1 = lim x1 6x 6x -2 = lim x1 6 6 = 1. 分析此題在連續使用兩次洛必達法則後， 得到的式 子lim x1 6x 6x -2 已經不再是未定式，因而不能再連續使用洛必 達。
8、法則.應用洛必達法則求極限時必須每步都做檢查，一 旦發現不是定理要求的兩種未定式，就要停止使用，改用 其他方法求極限. 正解lim x1 x3- 3x + 2 x3- x2- x + 1 = lim x1 3x2- 3 3x3- 2x - 1 = lim x1 6x 6x -2 = 3 2 . 洛必達法則在極限理論中有着重要意義，應用洛必達 法則求極限，要想達到熟練準确，不僅要熟練掌握洛必達 法則的結論，還要特别注意法則的條件要求.總之，通過以 上例題的讨論使學生對法則有了更深入的了解， 進而提高 了學生應用洛必達法則解決問題的能力. 【參考文獻】 1 雒志江應用洛必達法則中常見問題分析J山西。
9、 大同大學學報，2008，24(5)：1113 2 劉振忠，于曉秋高等數學M北京： 中國農業出 版社，2007(8) 3 同濟大學數學教研室高等數學第4版M北京： 高等教育出版社，2005 include stdlibh include mathh define dim 10 定義最大的維數10， 為防止計算值 溢出 double adim1dim1，bdim1，xdim1； 定 義雙精度數組 mprint(int，int，doubledim1，double)； main() int n，i，j，k； double temp； printf(“請輸入方程的維數n”)； scanf(“d”，n)。
10、； if(ndim)printf(“錯誤：元數超過初設定的值 dn”，dim)； exit(0)； printf(“開始輸入各元素的值：”)； for(i1；in；i)for(j1；jn；j)printf (“請輸入元數ad，d”，i，j)； scanf(“lf”，aij)； printf(“請輸入常數bd”，i)； scanf(“lf”，bi)； mprint(n，n，a，b)； 調用列印結果函數 *開始用高斯法計算* for(j1；j n1；j)for(ij1；in；i) tempaijajj； for(k1；kn；k) aik aik temp*ajk； bi bi tempbj； mp。
11、rint(n，n，a，b)； 調用列印結果函數 *開始反代* xnbnann； for(jn1；j1；j)xjbj； for(kn；kj1；k) xj xjxkajk； xj xjajj； for(j1；jn；j)printf(“xd105en”，j，x j)； *列印結果函數* mprint(int m，int n，double adim1dim1，double b dim1) int i，j； for(i1；im；i) for(j1；jn；j) printf(“105e”，aij)； 按科學記數法顯示輸出 printf(“n”)； 5.結束語 高斯消去法的計算量非常大，在實際使用中最好能借 助于計算機來運算，而對于10維以上的線性方程組來說， C語言中定義的雙精度數值可能也不能計算， 在計算速度 方面也有所欠缺， 故而要考慮用其他方法如： 疊代法、高 斯塞德爾疊代法等來求解. 【參考文獻】 1 楊先娣，滕沖，吳黎兵等用Matlab語言實作線性 方程組的全主元三角分解法 J數理醫藥學雜志，2001 (4)：302303. 2 陳祖明主編矩陣論引論M北京：北京航空航天 大學出版社，1998(7). (接103頁) ZHUANTI YANJIU 專 題 研 究 105。