State Estimation for Robotics_2.1.2_Bayes' Rule and Inference

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作者：宋洋鵬（youngpan1101）

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貝葉斯公式推導過程

【《State Estimation for Robotics》英文版連結】【黃山老師的講解視訊】

将 x 和 y 的聯合機率密度分解為：

p(x,y)=p(x|y)p(y)=p(y|x)p(x)(2.1.2-1)

式中， p(x|y) —— 給定 y 下 x 的條件機率密度函數；

p(x) —— x 的邊緣機率密度函數；

p(y) —— y 的邊緣機率密度函數；

注意： 若 x 和 y 互相獨立（statistically independent）， p(x,y)=p(x)p(y) 。

貝葉斯公式：

p(x|y)=p(x,y)p(y)=p(y|x)p(x)p(y)=p(y|x)p(x)p(y)⋅1=p(y|x)p(x)p(y)∫p(x|y)dx=p(y|x)p(x)∫p(x|y)p(y)dx=p(y|x)p(x)∫p(x,y)dx=p(y|x)p(x)∫p(y|x)p(x)dx(2.1.2-2)

式中， p(x|y) —— 後驗密度（posterior density）

p(y|x) —— sensor model

p(x) —— 先驗密度（prior density）

p(y) —— 證據因子（evidence）