七、矩陣乘積态

1. 矩陣乘積态的定義

       由于基态的參數複雜度随量子個數 N N N 的增加呈指數上升，是以我們無法在經典計算機上進行嚴格對角化求解基态，但是對于 N N N 個量子組成的整體 ∣ φ ⟩ |\varphi\rangle ∣φ⟩ 的在基态上的系數組成的張量，如果我們可以将其寫為 N N N 個二階或三階張量構成的 TT 形式，那麼我們可以通過優化這 N N N 個張量，求解基态對應的最優化問題：

E g = min ⁡ ⟨ g ∣ g ⟩ = 1 ⟨ g ∣ H ^ ∣ g ⟩ E_{g}= \min_{\langle g \mid g\rangle=1} \langle g|\widehat{H}| g\rangle Eg​=⟨g∣g⟩=1min​⟨g∣H

∣g⟩

       一般而言，我們定義矩陣乘積态(matrix product state , MPS) 為其基态系數滿足 TT 形式的多量子組成的整體的量子态，即對于如下的量子态：

∣ φ ⟩ = ∑ s 1 s 2 ⋯ s N φ s 1 s 2 ⋯ s N ∏ ⊗ n = 1 N ∣ s n ⟩ |\varphi\rangle=\sum_{s_{1} s_{2} \cdots s_{N}} \varphi_{s_{1} s_{2} \cdots s_{N}} \prod_{\otimes n=1}^{N}\left|s_{n}\right\rangle ∣φ⟩=s1​s2​⋯sN​∑​φs1​s2​⋯sN​​⊗n=1∏N​∣sn​⟩

其中的系數組成的張量滿足下式：

φ s 1 s 2 ⋯ s N = ∑ a 1 a 1 … a N − 1 A s 1 a 1 ( 1 ) A s 2 a 1 a 2 ( 2 ) ⋯ A s N − 1 a N − 2 a N − 1 ( N − 1 ) A s N a N − 1 ( N ) = A s 1 : ( 1 ) A s 2 : : ( 2 ) … A s N − 1 : : ( N − 1 ) A s N : ( N ) T \varphi_{s_{1} s_{2} \cdots s_{N}}=\sum_{a_{1} a_{1} \ldots a_{N-1}} A_{s_{1} a_{1}}^{(1)} A_{s_{2} a_{1} a_{2}}^{(2)} \cdots A_{s_{N-1} a_{N-2} a_{N-1}}^{(N-1)} A_{s_{N} a_{N-1}}^{(N)}=A_{s_{1}:}^{(1)} A_{s_{2}::}^{(2)} \ldots A_{s_{N-1}::}^{(N-1)} A_{s_{N}:}^{(N) \mathrm{T}} φs1​s2​⋯sN​​=a1​a1​…aN−1​∑​As1​a1​(1)​As2​a1​a2​(2)​⋯AsN−1​aN−2​aN−1​(N−1)​AsN​aN−1​(N)​=As1​:(1)​As2​::(2)​…AsN−1​::(N−1)​AsN​:(N)T​

可以看出，矩陣乘積态就是将系數構成的張量表示為若幹小張量的縮并。

       在 MPS 中，開放的名額 s n s_n sn​ 被稱為 實體名額，被兩個不同張量共有的名額 a n a_n an​ 被稱為 輔助名額，預設情況下我們要對輔助名額進行求和運算。

矩陣乘積态包含兩種邊界條件：

1. 開放邊界條件

          開放邊界條件就是在将系數張量表示為若幹小張量的縮并時，将中間的張量變為三階張量，而兩邊的兩個張量變為二階張量，用圖可以表示如下：

   

2. 周期邊界條件

          周期邊界條件就是将兩端的兩個張量也表示為三階張量，并且将其兩個名額進行縮并，可以用圖表示為：

   

嚴格對角化中，量子态參數個數随 N N N 呈指數增加，即

# ( ∣ φ ⟩ ) ∼ O ( d N ) \#(|\varphi\rangle) \sim O\left(d^{N}\right) #(∣φ⟩)∼O(dN)

但是在 MPS 中，給定輔助名額的截斷維數為 χ \chi χ ，那麼 MPS 包含參數的個數随 N N N 僅呈線性增加，即

# ( M P S ) ∼ O ( N d χ 2 ) \#(M P S) \sim O\left(N d \chi^{2}\right) #(MPS)∼O(Ndχ2)

       MPS 将表征量子多體态的參數複雜度由指數級降低到了線性級。在 TT 分解中，我們需要先知道我們要分解的具體張量是什麼，但是 MPS 的關鍵在于，我們并不需要知道指數複雜的量子态系數是什麼，也不需要進行 TT 分解，而是直接假設基态具備給定截斷維數的 MPS 态，直接處理MPS中的 “局域” 張量，進而繞過了 “指數牆” 問題，但是我們并不能确定這樣的 MPS 态可以有效地描述基态，這樣做就會導緻誤差的産生，是以我們引入一個量來判斷 MPS 的有效性。

       在奇異值分解的矩陣低秩近似中，我們用被裁剪的奇異值的範數來描述裁剪誤差，即

ε ∼ ∣ Λ R ′ : R − 1 ∣ \varepsilon \sim\left|\Lambda_{R^{\prime}: R-1}\right| ε∼∣ΛR′:R−1​∣

是以我們也可以從奇異值譜來入手刻畫 MPS 的有效性，我們稱為 量子糾纏。

2. 矩陣乘積态與量子糾纏

       給定一個 N N N 個量子組成的整體态

∣ φ ⟩ = ∑ s 1 s 2 ⋯ s N φ s 1 s 2 ⋯ s N ∏ ⊗ n = 1 N ∣ s n ⟩ |\varphi\rangle=\sum_{s_{1} s_{2} \cdots s_{N}} \varphi_{s_{1} s_{2} \cdots s_{N}} \prod_{\otimes n=1}^{N}\left|s_{n}\right\rangle ∣φ⟩=s1​s2​⋯sN​∑​φs1​s2​⋯sN​​⊗n=1∏N​∣sn​⟩

我們将其中的量子分成兩個部分，即

{ s n } = ( s 1 , ⋯   , s K ) ∪ ( s K + 1 , ⋯   , s N )     ( K ≥ 1 ) \left\{s_{n}\right\}=\left(s_{1}, \cdots, s_{K}\right) \cup\left(s_{K+1}, \cdots, s_{N}\right) \ \ \ (K \geq 1) {sn​}=(s1​,⋯,sK​)∪(sK+1​,⋯,sN​)   (K≥1)

即将量子分為非空的兩個部分，然後我們對矩陣化的系數張量進行奇異值分解，分解的步驟為，首先将前 K K K 個名額的維數相乘，将後面的 N − K N-K N−K 個名額的維數相乘，這時我們可以得到兩個數，整個張量就可以變成一個矩陣，矩陣的兩個次元就是上面相乘得到的兩個數，這時我們對該矩陣進行奇異值分解得到如下結果：

φ s 1 s 2 ⋯ s N = ∑ α = 0 D − 1 U s 1 , ⋯   , s K , α Λ α V s K + 1 , ⋯   , s N , α ∗ \varphi_{s_{1} s_{2} \cdots s_{N}}=\sum_{\alpha=0}^{D-1} U_{s_{1}, \cdots, s_{K}, \alpha} \Lambda_{\alpha} V_{s_{K+1}, \cdots, s_{N}, \alpha}^{*} φs1​s2​⋯sN​​=α=0∑D−1​Us1​,⋯,sK​,α​Λα​VsK+1​,⋯,sN​,α∗​

其對應于将量子态進行如下的分解：

∣ φ ⟩ = ∑ α = 0 D − 1 Λ α ∣ U α ⟩ ∣ V α ⟩ |\varphi\rangle=\sum_{\alpha=0}^{D-1} \Lambda_{\alpha}\left|U^{\alpha}\right\rangle\left|V^{\alpha}\right\rangle ∣φ⟩=α=0∑D−1​Λα​∣Uα⟩∣Vα⟩

其中 ∣ U α ⟩ \left|U^{\alpha}\right\rangle ∣Uα⟩ 和 ∣ V α ⟩ \left|V^{\alpha}\right\rangle ∣Vα⟩ 為 D D D 個量子組成的狀态，他們滿足下面的等式，也就是對系數張量進行奇異值分解得到的左奇異向量和右奇異向量分别和基态組成的狀态 ∣ U α ⟩ \left|U^{\alpha}\right\rangle ∣Uα⟩ 和 ∣ V α ⟩ \left|V^{\alpha}\right\rangle ∣Vα⟩ ，即：

∣ U α ⟩ = ∑ s 1 , … , s K U s 1 , ⋯   , s K , α ∏ ⊗ n = 1 K ∣ s n ⟩ \left|U^{\alpha}\right\rangle=\sum_{s_{1}, \ldots, s_{K}} U_{s_{1}, \cdots, s_{K}, \alpha} \prod_{\otimes n=1}^{K}\left|s_{n}\right\rangle ∣Uα⟩=s1​,…,sK​∑​Us1​,⋯,sK​,α​⊗n=1∏K​∣sn​⟩

∣ V α ⟩ = ∑ s 1 , ⋯   , s K V s K + 1 , ⋯   , s N , α ∗ ∏ ⊗ n = K + 1 N ∣ s n ⟩ \left|V^{\alpha}\right\rangle=\sum_{s_{1}, \cdots, s_{K}} V_{s_{K+1}, \cdots, s_{N}, \alpha}^{*} \prod_{\otimes n=K+1}^{N}\left|s_{n}\right\rangle ∣Vα⟩=s1​,⋯,sK​∑​VsK+1​,⋯,sN​,α∗​⊗n=K+1∏N​∣sn​⟩

該分解就被稱為量子态的 斯密特分解 ，其中 Λ \Lambda Λ 稱為 量子态的糾纏譜 。我們可以看出，量子态的斯密特分解就對應于其系數張量形成矩陣的奇異值分解。

       由于 ∣ φ ⟩ |\varphi\rangle ∣φ⟩ 歸一，是以 ∣ Λ ∣ = 1 |\Lambda|=1 ∣Λ∣=1 ，也就是說

∑ α = 0 D − 1 Λ α 2 = 1 \sum_{\alpha=0}^{D-1} \Lambda_{\alpha}^{2}=1 α=0∑D−1​Λα2​=1

       我們考慮因為量子态為

∣ φ ⟩ = ∑ α = 0 D − 1 Λ α ∣ U α ⟩ ∣ V α ⟩ |\varphi\rangle=\sum_{\alpha=0}^{D-1} \Lambda_{\alpha}\left|U^{\alpha}\right\rangle\left|V^{\alpha}\right\rangle ∣φ⟩=α=0∑D−1​Λα​∣Uα⟩∣Vα⟩

其中 ∣ U α ⟩ \left|U^{\alpha}\right\rangle ∣Uα⟩ 和 ∣ V α ⟩ \left|V^{\alpha}\right\rangle ∣Vα⟩ 為 D D D 個量子組成的狀态，是以他們也構成了一組基态，那麼根據量子狀态的機率幅，我們可以得到，如果對 ∣ φ ⟩ |\varphi\rangle ∣φ⟩ 進行測量，那麼我們得到的每種狀态的機率滿足

P α = Λ α 2 P_{\alpha}=\Lambda_{\alpha}^{2} Pα​=Λα2​

顯然，機率滿足歸一化條件

∑ α P α = 1 \sum_\alpha P_{\alpha}=1 α∑​Pα​=1

那麼根據機率論香農熵的定義 E S = − P α ∑ α ln ⁡ P α E^{\mathrm{S}}=-P_{\alpha} \sum_{\alpha} \ln P_{\alpha} ES=−Pα​α∑​lnPα​

我們可以定義量子态的糾纏熵為

S = − ∑ α = 0 D − 1 Λ α 2 ln ⁡ Λ α 2 S=-\sum_{\alpha=0}^{D-1} \Lambda_{\alpha}^{2} \ln \Lambda_{\alpha}^{2} S=−α=0∑D−1​Λα2​lnΛα2​

量子态的糾纏熵就是經典資訊論中香農熵的量子版本，用來刻畫資訊量的大小。

       在奇異值分解

φ s 1 s 2 ⋯ s N = ∑ α = 0 D − 1 U s 1 , ⋯   , s K , α Λ α V s K + 1 , ⋯   , s N , α ∗ \varphi_{s_{1} s_{2} \cdots s_{N}} =\sum_{\alpha=0}^{D-1} U_{s_{1}, \cdots, s_{K}, \alpha} \Lambda_{\alpha} V_{s_{K+1}, \cdots, s_{N}, \alpha}^{*} φs1​s2​⋯sN​​=α=0∑D−1​Us1​,⋯,sK​,α​Λα​VsK+1​,⋯,sN​,α∗​

中， U U U 和 V V V 滿足正交性：

U H U = ∑ s 1 , … , s K U s 1 , … , s K , α ∗ U s 1 , … , s K , α ′ = I α α ′ U^{H} U =\sum_{s_{1}, \ldots, s_{K}} U_{s_{1}, \ldots, s_{K}, \alpha}^{*} U_{s_{1}, \ldots, s_{K}, \alpha'}=I_{\alpha\alpha'} UHU=s1​,…,sK​∑​Us1​,…,sK​,α∗​Us1​,…,sK​,α′​=Iαα′​

V H V = ∑ s 1 , … , s K V s 1 , … , s K , α ∗ V s 1 , … , s K , α ′ = I α α ′ V^{H} V =\sum_{s_{1}, \ldots, s_{K}} V_{s_{1}, \ldots, s_{K}, \alpha}^{*} V_{s_{1}, \ldots, s_{K}, \alpha'}=I_{\alpha\alpha'} VHV=s1​,…,sK​∑​Vs1​,…,sK​,α∗​Vs1​,…,sK​,α′​=Iαα′​

我們根據上述性質來計算開放邊界 MPS 的糾纏，設 MPS 态

φ s 1 s 2 … s N = ∑ a 1 a 1 … a N − 1 A s 1 a 1 ( 1 ) … A s K a K − 1 a K ( K ) Λ a K ( K ) A s K + 1 a K ( K + 1 ) a K + 1 ⋯ A s N a N − 1 ( N ) \varphi_{s_{1} s_{2} \ldots s_{N}}=\sum_{a_{1} a_{1} \ldots a_{N-1}} A_{s_{1} a_{1}}^{(1)} \ldots A_{s_{K} a_{K-1} a_{K}}^{(K)} \Lambda_{a_{K}}^{(K)} A_{s_{K+1} a_{K}}^{(K+1)} a_{K+1} \cdots A_{s_{N} a_{N-1}}^{(N)} φs1​s2​…sN​​=a1​a1​…aN−1​∑​As1​a1​(1)​…AsK​aK−1​aK​(K)​ΛaK​(K)​AsK+1​aK​(K+1)​aK+1​⋯AsN​aN−1​(N)​

滿足如下條件時， Λ ( K ) \Lambda^{(K)} Λ(K) 為 MPS 給出的前 K K K 個量子與其餘量子之間的糾纏，前面我們說了，可以用量子糾纏刻畫 MPS 有效性，這裡我們進一步得到，可以對量子态進行斯密特分解得到量子糾纏。對量子态的斯密特分解就是對量子态系數進行 SVD 分解，其中的量子糾纏譜也就是量子态系數的奇異譜，根據奇異譜我們可以得到測量下得到各基矢的機率。

其中左正交條件是指對于前 K K K 個量子，他和它的轉置的縮并是機關陣，右正交條件是指後面的 n − K n-K n−K 個量子和自己的轉置的縮并是機關陣，最後一條表示 Λ \Lambda Λ 是一個對角線元素遞減的對角陣。

其中前面 K K K 個張量的收縮構成了 SVD 中的 U U U ，除 Λ ( K ) \Lambda^{(K)} Λ(K) 之外的其餘張量的收縮構成 SVD 中的 V V V ，我們可以用圖表示上面的 MPS 态如下，其中箭頭表明了其左右的正交條件，我們稱該形式為 MPS 的 鍵中心正交形式。

3. 矩陣乘積态的規範自由度與正交形式

       上面我們了解了 MPS 的斯密特分解，計算方法就是在不改變所表示的量子态的前提下，将 MPS 變換成上述的 SVD 形式，改變 MPS 中的張量，但是不改變所表示的量子态的過程稱為 規範變換 ，也就是用不同的數學形式表示相同的實體量。

       我們定義 MPS 的 規範自由度 為，對于同一個量子态，可由多組不同的張量組成的 MPS 态來表示其系數。

       一般而言，MPS 規範變換如下圖所示，我們可以在兩個張量之間插入一對可逆矩陣的乘積，經過消解，我們可以保證整個狀态不發生改變，但是将每對可逆矩陣分别收縮到兩個張量中，就改變了張量，但是整體的狀态不發生改變，這就是一種簡單的規範變換。

       上圖的紅藍方塊代表任意的一對可逆矩陣，我們通過這種變換，将量子态中的張量由 A A A 變換成了 B B B ，即

φ s 1 s 2 ⋯ s N = A s 1 : : ( 1 ) ⋯ A s n : : ( n ) A s n + 1 : : ( n + 1 ) ⋯ A s N : ( N ) T = B s 1 : ( 1 ) ⋯ B s n : : ( n ) B s n + 1 : : ( n + 1 ) ⋯ B s N : ( N ) T \varphi_{s_{1} s_{2} \cdots s_{N}}=A_{s_{1}::}^{(1)} \cdots A_{s_{n}::}^{(n)} A_{s_{n+1}::}^{(n+1)} \cdots A_{s_{N}:}^{(N) \mathrm{T}}=B_{s_{1}:}^{(1)} \cdots B_{s_{n}::}^{(n)} B_{s_{n+1}::}^{(n+1)} \cdots B_{s_{N}:}^{(N) \mathrm{T}} φs1​s2​⋯sN​​=As1​::(1)​⋯Asn​::(n)​Asn+1​::(n+1)​⋯AsN​:(N)T​=Bs1​:(1)​⋯Bsn​::(n)​Bsn+1​::(n+1)​⋯BsN​:(N)T​

       因為可逆矩陣有無數個，是以 MPS 的狀态也有很多種表示，這時我們可以引入新的 限制條件，來固定 MPS 的規範自由度，使得給定量子态具備唯一的 MPS 表示，我們通過将不同的 MPS 轉換為滿足該限制條件的表示方式，可以比較兩個不同的 MPS 表示是否是同一個量子态。常用的限制條件為構成 MPS 張量的正交條件。

       我們定義 MPS 的 中心正交形式 為：當張量 { A ( n ) ( n < K ) } \{A^{(n)} (n<K)\} {A(n)(n<K)} 滿足左正交條件， { A ( n ) ( n > K ) } \{A^{(n)} (n>K)\} {A(n)(n>K)} 滿足右正交條件時，MPS 被稱為具有 K - 中心正交形式 。我們可以用圖表示如下

通過圖我們可以發現，該形式以第 K 個張量為界限，分解為三組張量的縮并。我們可以通過多次的 SVD 或 QR 分解進行規範變換，讓 K - 中心正交形式變換成 K’ - 中心正交形式，也就是滿足左右正交條件的界限變為 K‘ 。

       我們也可以通過中心正交形式計算 MPS 糾纏譜。對于 MPS 的 SVD 形式可得，在以 ( s 1 , … , s K ) ∪ ( s K + 1 , … , s N ) \left(s_{1}, \ldots, s_{K}\right) \cup\left(s_{K+1}, \ldots, s_{N}\right) (s1​,…,sK​)∪(sK+1​,…,sN​) 形式将量子分成兩組時，其糾纏譜 Λ ( K ) \Lambda^{(K)} Λ(K) ，就是中心處張量 A s K a K − 1 a K ( K ) A_{s_{K} a_{K-1} a_{K}}^{(K)} AsK​aK−1​aK​(K)​ 的奇異譜，我們對該張量進行奇異值分解即可得到奇異譜，即 A s K a K − 1 a K ( K ) = ∑ β U s K a K − 1 β Λ β ( K ) V a K β A_{s_{K} a_{K-1} a_{K}}^{(K)}=\sum_{\beta} U_{s_{K} a_{K-1} \beta} \Lambda_{\beta}^{(K)} V_{a_{K}} \beta AsK​aK−1​aK​(K)​=∑β​UsK​aK−1​β​Λβ(K)​VaK​​β 。

       基于 K - 中心正交形式，我們可以對 MPS 輔助名額的維數進行 最優裁剪，也就是尋找一個輔助名額的維數比較低的 MPS 态來近似表示一個輔助名額維數較高的 MPS 态，如果需要對第 K K K 個輔助名額進行 裁剪 ，我們可以按如下步驟進行：

1. 進行中心正交化，将正交中心放置于第 K 個張量。

2. 對中心張量進行奇異值分解，如下 A s K a K − 1 a K ( K ) = ∑ β = 0 χ − 1 U s K a K − 1 β Λ β ( K ) V a K β A_{s_{K} a_{K-1} a_{K}}^{(K)}=\sum_{\beta=0}^{\chi -1} U_{s_{K} a_{K-1} \beta} \Lambda_{\beta}^{(K)} V_{a_{K}} \beta AsK​aK−1​aK​(K)​=β=0∑χ−1​UsK​aK−1​β​Λβ(K)​VaK​​β

   然後僅保留前 χ \chi χ 個奇異值及其對應的奇異向量， χ \chi χ 被稱為截斷維數。

3. 将第 K K K 個張量更新為 U ，即将 U s K a K − 1 β U_{s_{K} a_{K-1} \beta} UsK​aK−1​β​ 替換 A s K a K − 1 a K ( K ) A_{s_{K} a_{K-1} a_{K}}^{(K)} AsK​aK−1​aK​(K)​

4. 将第 K + 1 K+1 K+1 個張量更新為

   ∑ a K Λ β ( K ) V a K β A s K + 1 a K a K + 1 ( K + 1 ) → A s K + 1 β a K + 1 ( K + 1 ) \sum_{a_K}\Lambda_{\beta}^{(K)} V_{a_{K} \beta} A_{s_{K+1} a_{K} a_{K+1}}^{(K+1)} \rightarrow A_{s_{K+1} \beta a_{K+1}}^{(K+1)} aK​∑​Λβ(K)​VaK​β​AsK+1​aK​aK+1​(K+1)​→AsK+1​βaK+1​(K+1)​

MPS 的正則形式

       MPS 的另一個重要正交形式就是 正則形式，其定義為系數滿足如下的量子态

φ s 1 s 2 ⋯ s N = A s 1 : ( 1 ) Λ ( 1 ) A s 2 : : ( 2 ) Λ ( 2 ) ⋯ Λ ( N − 2 ) A s N − 1 : : ( N − 1 ) Λ ( N − 1 ) A s N : ( N ) T \varphi_{s_{1} s_{2} \cdots s_{N}}=A_{s_{1}:}^{(1)} \Lambda^{(1)} A_{s_{2}::}^{(2)} \Lambda^{(2)} \cdots \Lambda^{(N-2)} A_{s_{N-1}::}^{(N-1)} \Lambda^{(N-1)} A_{s_{N}:}^{(N) \mathrm{T}} φs1​s2​⋯sN​​=As1​:(1)​Λ(1)As2​::(2)​Λ(2)⋯Λ(N−2)AsN−1​::(N−1)​Λ(N−1)AsN​:(N)T​

我們可以用圖表示為：

其意義為，當每個張量和左邊的對角陣的縮并是機關陣，即和左邊的對角陣滿足右正交條件；每個張量和右邊的對角陣的縮并是機關陣，即和右邊的對角陣滿足左正交條件。即滿足下列式子：

在正則形式中，每個位置的二分糾纏譜都顯式地定義在了 MPS 的定義中，也就是在該形式中對任意位置的二分糾纏譜就是該位置的對角陣 Λ ( n ) \Lambda^{(n)} Λ(n) 。

       文中我們首先提出我們可以直接使用 MPS 态表示一個多量子組成的整體狀态，這樣我們可以避免指數大的問題，為了刻畫 MPS 态表示量子狀态的有效性，我們引入了糾纏，可以用糾纏熵來判斷該 MPS 表示是否合理，糾纏熵越大，MPS 态所需要的幾何名額的維數越大。為了求解糾纏熵，我們可以使用糾纏譜來計算，糾纏譜可以通過将 MPS 态進行規範變換，将 MPS 态變換成為中心正交形式，通過中心正交形式我們就可以求出糾纏譜。