HDU1568-大數的Fibonacci(取對數技巧，通項公式)

Fibonacci

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Problem Description 2007年到來了。經過2006年一年的修煉，數學神童zouyu終于把0到100000000的Fibonacci數列

(f[0]=0,f[1]=1;f[i] = f[i-1]+f[i-2](i>=2))的值全部給背了下來。

接下來，CodeStar決定要考考他，于是每問他一個數字，他就要把答案說出來，不過有的數字太長了。是以規定超過4位的隻要說出前4位就可以了，可是CodeStar自己又記不住。于是他決定編寫一個程式來測驗zouyu說的是否正确。  

Input 輸入若幹數字n(0 <= n <= 100000000)，每個數字一行。讀到檔案尾。  

Output 輸出f[n]的前4個數字（若不足4個數字，就全部輸出）。  

Sample Input

0
1
2
3
4
5
35
36
37
38
39
40
        

Sample Output

0
1
1
2
3
5
9227
1493
2415
3908
6324
1023
        

Author daringQQ  

Source Happy 2007  

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HDU 1568 Fibonacci

先看對數的性質,loga(b^c)=c*loga(b),loga(b*c)=loga(b)+loga(c);

假設給出一個數10234432,那麼log10(10234432)=log10(1.0234432*10^7)=log10(1.0234432)+7;

log10(1.0234432)就是log10(10234432)的小數部分.

log10(1.0234432)=0.010063744

10^0.010063744=1.023443198

那麼要取幾位就很明顯了吧~

先取對數(對10取),然後得到結果的小數部分bit,pow(10.0,bit)以後如果答案還是<1000那麼就一直乘10。

注意偶先處理了0~20項是為了友善處理~

這題要利用到數列的公式:an=(1/√5) * [((1+√5)/2)^n-((1-√5)/2)^n](n=1,2,3.....)

取完對數

log10(an)=-0.5*log10(5.0)+((double)n)*log(f)/log(10.0)+log10(1-((1-√5)/(1+√5))^n)其中f=(sqrt(5.0)+1.0)/2.0;

log10(1-((1-√5)/(1+√5))^n)->0( 其實我還是不明白這裡，是以幹脆加上也ac)

是以可以寫成log10(an)=-0.5*log10(5.0)+((double)n)*log(f)/log(10.0);

最後取其小數部分。 (遇到大數要取前幾位的，都可以用這個技巧！避免溢出.)

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int fib[40];
int main()
{
    fib[1]=1;
    fib[0]=0;
    int i;
    for(i=2;i<21;++i)
        fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];
    int n;
    double p,f;
    f=(1.0+sqrt(5.0))/2.0;
    while(scanf("%d",&n)==1)
    {
        if(n<21)
        {
            printf("%d\n",fib[n]);
            continue;
        }
        p=-0.5*log10(5.0)+n*1.0*log(f)/log(10.0)+log10(1.0-pow((1.0-sqrt(5.0)) / (1.0+sqrt(5.0)),n));
        p=p-floor(p);
        p=pow(10.0,p);
        while(p<1000)
            p*=10;
        printf("%d\n",(int)p);
    }
    return 0;
}