摘要：本文意在通過COMSOL Multiphysics 5.2 軟體的Coefficient Form PDE子產品來實作給定邊界的最小曲面尋找。
最近學習了《COMSOL Multiphysics 基本操作指南和常見問題解答》中的尋找最小曲面部分，個人覺得此案例非常适合學習PDE子產品。但是操作指南這本書是針對COMSOL3.5的，而現在COMSOL5.2a都已經出了，是以軟體的變動比較大。我參考指南摸索了好一會兒才摸出來的，具體是用COMSOL5.2實作的，寫出來跟大家分享一下。
問題描述：給定一條空間曲線，求以此空間曲線為邊界的面積最小的曲面。
具體案例：如上式，即在機關圓區域内，以u=u(x,y)=x*x,為邊界，求其張成的最小面積的曲面。采用Euler-Lagrange方程，可将此問題化為求解
（1）
具體問題化簡，如何運用Euler-lagrange方程，我們在此不做贅述，我希望讀者能注重于軟體的求解部分，且假設就為利用PDE子產品求解上述方程，這也正是我寫這篇博文的目的所在。
首先打開COMSOL Multiphysics5.2，選擇model wizard（模型向導）--2D來到實體場的選擇界面，選擇Mathematics--PDE interfaces--Coefficient Form PDE(c),然後選擇add添加系數型PDE場如下：
特别要注意的是上圖右邊的Review Physics Interface部分的内容，标示了因變量的資訊，在這個子產品中預設單個因變量名稱是u,當存在多個因變量時則為u1,u2,....當然你也可以在Dependent variable欄輸入自己習慣的因變量名字，這個是後面在方程輸入中要注意的，變量名稱此處就已定義。
接着選擇study，由于在這個案例中，邊界不随着時間變化，是以我們選擇stationary,然後選擇down如圖。
下面點選Model builder下的根目錄（root），來到setting視窗，找到unit system，下拉視窗選擇none。做這一步是為了防止後面變量使用時因為機關問題而報錯。（事實上，雖然會報錯但依然可以進行計算，個人隻是覺得warning看着不順眼而已。。。。）
下面開始定義幾何，選擇菜單欄的Geometry--Primitives--Primitives--ellipse, 由于它的預設設定是中心在（0，0），半徑為1的圓，與此例暗合，因而不需改值，直接選擇Build Selected建構, 得到下圖。
然後進行邊界的設定，選擇菜單欄的Physics--Boundaries--Dirichlet Boundary Condition，來到狄利克雷邊界條件的settings視窗，找到Boundary section，下拉section選擇All boundaries，在r處輸入x*x，如下圖。
然後點選Model Builder下的Coefficient Form PDE（c)下的Coefficient Form PDE1，在Diffusion Coefficient部分輸入各系數：c=1/sqrt(1+ux*ux+uy*uy),a=0,f=0.至于為什麼這麼輸入，大家可以點選Equation節點，檢視方程的原型，結合我們此例的問題，對照（1）的方程便十厘清楚了。（這裡說明一下，在COMSOL中預設ux是因變量u對x的偏導數，uy同理。）
接下來是對其網格化，COMSOL在求解問題時采用的有限元方法。點選Model Builder下的Mesh，在setting視窗下的element size的下拉中選擇fine細化網格，再點選Builder all對其網格化。
接着進行求解的設定，選擇菜單欄中的study--solver--show default solver，然後展開Solver configuration，展開Solution1,點選Stationary Solver,在Settings視窗下的General中的Linearity選擇Nonlinear.
下面就可以點選Compute求解了，計算得到下圖。
為了更好的顯示結果，我們需要對計算結果做一些後處理，找到Model Builder下的Result下的2D Plot Group 1展開，右鍵surface1選擇Height Expression，即可得到下圖：
可以看到限制在機關圓區域，以x的平方為邊界的面積最小的曲面是馬鞍面。這個例子比較清晰簡單，适合用來初步了解怎麼使用COMSOL的PDE子產品。