量子測量

一般量子測量

定義：由一組測量算子 M m M_{m} Mm​描述，這些算子被作用在被測系統的狀态空間上，下标 m m m表示實驗中可能出現的結果。

測量過程如下：

• 假設測量前系統的最新狀态為 ∣ ψ ⟩ \vert \psi \rangle ∣ψ⟩，一組包含m個測量算子的集合： { M 1 , M 2 , . . . , M m } \{M_{1}, M_{2},...,M_{m}\} {M1​,M2​,...,Mm​}，且 ∑ i m M i † M i = I \sum_{i}^{m}M_{i}^{\dag}M_{i}=I ∑im​Mi†​Mi​=I

• 測量原理由如下數學式描述：

  P ( m ) = ⟨ ψ ∣ M m † M m ∣ ψ ⟩ P(m)=\langle \psi \vert M_{m}^{\dag}M_{m}\vert \psi \rangle P(m)=⟨ψ∣Mm†​Mm​∣ψ⟩

  即： P ( m ) P(m) P(m)的值表示測量結果為 m m m的機率

• 測量之後量子的狀态由如下式子描述：

  M m ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ M m † M m ∣ ψ ⟩ \cfrac{M_{m}\vert\psi\rangle}{\sqrt{\langle\psi\vert M_{m}^{\dag}M_{m}\vert\psi\rangle}} ⟨ψ∣Mm†​Mm​∣ψ⟩

  ​Mm​∣ψ⟩​

• 易知： 1 = ∑ m P ( m ) = ∑ i m ⟨ ψ ∣ M i † M i ∣ ψ ⟩ 1=\sum_{m}P(m)=\sum_{i}^{m}\langle\psi\vert M_{i}^{\dag}M_{i}\vert\psi\rangle 1=∑m​P(m)=∑im​⟨ψ∣Mi†​Mi​∣ψ⟩

POVM(positive operator-valued measure)測量

定義： E m ≡ M m † M m ⇒ ∑ m E m = I P ( m ) = ⟨ ψ ∣ E m ∣ ψ ⟩ E_{m}\equiv M_{m}^{\dag}M_{m}\Rightarrow \sum_{m}E_{m}=I \quad P(m)=\langle\psi\vert E_{m}\vert\psi\rangle Em​≡Mm†​Mm​⇒∑m​Em​=IP(m)=⟨ψ∣Em​∣ψ⟩且 E m E_{m} Em​為半正定算子

補充： E m E_{m} Em​我們稱之為與測量相聯系的POVM元