集合與代數系統

集合代數

• ​​集合​​
• ​​（1）二進制關系​​
• ​​（2）關系的性質​​
• ​​（3）等價關系和等價類​​
• ​​（4）偏序關系​​
• ​​代數系統​​
• ​​（1）群​​
• ​​（2）環​​
• ​​（3）格​​

開篇廢話。首先，我不是從一個專業的數學研究者的角度來談論這個話題，隻是從一個學生的角度來寫下自己的看法，是以文中會有很多的不嚴謹的地方，多多包涵，也歡迎指出。

集合

集合的基本運算：交并補就不說了，提幾個不常見的：

集合的差：兩個集合的差是一個新的集合，這個集合中的元素是在A中出現，但是在B中不出現

對稱差集：對稱差集也是一個集合，用A和B的并集-A和B的交集。

是以也可以寫成：

.

集合的幂集：對于集合A，A的所有子集構成的集合，叫做集合的幂集.記作P(A).

廣義并：集合A元素的元素構成的集合叫做集合的廣義并。記作：這個有點抽象，舉個例子。

可以看出來，集合A是一個由集合構成的集合，那麼它每一個元素是一個集合，他元素的元素全部拿出來，構成一個新的集合:

這些是高中沒有學到的一些概念。需要知道一下，然後就是集合的計數，這個之前學到過了，文氏圖計數，還有一種比較進階的就是容斥原理計數。這個後邊專門說。

最後一個比較重要的就是集合恒等式：

集合恒等式有十多個，但是大部分都是很顯然的，這裡隻提兩個很重要的。

以上就是集合的基礎知識。集合代數和集合論都是建立在這些基本概念來說的。

（1）二進制關系

有序對：首先說一下有序對的概念。兩個元素x,y按照一定次數排列形成的二進制組叫做一個有序對。其中，x叫做第一要素，y叫做第二要素。記作<x,y>.這個排序的規則可以是多變的，某種意義上來說，這個排序的規則就是後邊要說的關系。

有序對的兩大性質：

（1）不滿足交換。在x!=y時，<x,y>!=<y,x>.

(2)<x,y>=<u,v>的充分必要條件：x=u,y=v.

笛卡兒積:定義一種新的集合的運算，叫做集合的笛卡兒積。A和B的笛卡兒積：

因為二進制組<x,y>是有序的，是以一般笛卡兒積不滿足交換律。也不滿足結合率，配置設定律倒是可以的。

二進制關系：如果一個集合滿足以下兩個條件的任意一個，可以稱這個集合是一個二進制關系。

（1）集合非空，并且它的所有元素都是有序對。

（2）集合是個空集。

對于一個二進制關系R，如果有序對<x,y>在集合内，可以記作xRy.

上邊我們定義了集合的笛卡爾積，那麼對于集合A,B.AB構成的任何子集，可以叫做A到B的二進制關系，當A=B時，可以簡稱A上二進制關系。

在二進制關系中有兩個很特殊的二進制關系，全域關系和恒等關系。給出定義：

除了這兩種特殊的關系，還有一些常用的二進制關系，比如小于等于關系，包含（這裡指的是當A集合是一個集合族，存在包含關系），整除關系等等。就不再一一列舉，用到再說。

關系的表示：關系可以有很多種表示方法，這裡主要說兩種。

（1）關系矩陣。有點類似與圖的鄰接矩陣。aij=1表示有序對<i,j>在關系中存在。比如對于一個關系R。

R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,3>}.那麼它的關系矩陣就是:

(2)關系圖，看這個矩陣，a[i][j]之間有邊存在的充要條件就是有序對<i,j>在R中存在。這個就不畫了。

關系的運算：

首先還是需要定義一下概念

（1）定義域：關系R的定義域為R中的所有有序對第一要素構成的集合。記作domR

（2）值域：與之類似，所有的第二要素構成值域。記作ranR

（3）域：定義域和值域的并叫做R的域。記作fldR。

有了這些基礎，定義兩個重要的關系的運算。

（1）逆關系。設R為二進制關系，R的逆關系，簡稱R的逆，記作:

（2）複合關系。F,G為二進制關系，那麼G對F的右複合，記作FG:

當然，也可以定義左複合。

個人了解，逆關系就是把原來的關系的有序對位置互換，複合關系就是有序對在F和G的連續作用會形成一個新的有序對。這裡舉一個右複合的簡單例子，比如在F中存在有序對<10,5>，在G中存在有序對<5,6>。那麼G右複合F就成了<10,6>.我相信聰明的你應該了解了這時啥玩意了吧。

（2）關系的性質

（3）等價關系和等價類

（4）偏序關系

代數系統

（1）群

（2）環

（3）格