樹狀數組（入門，慢慢補）

樹狀數組

• 初步了解
• • lowbit
• ==單點更新/構造樹狀數組==
• ==區間查詢（區間求和）==

初步了解

樹狀數組：從名稱上來看就是用數組來模拟樹形結構

下面我給出一棵樹狀數組來了解了解：

通過觀察我們可以發現每一列的頂端結點為樹狀數組的元素（列上滿足一一對應）；

如下：

在儲存資料方面：

c[1]=a[1];

c[2]=a[1]+a[2];

c[3]=a[3];

c[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4];

c[5]=a[5];

c[6]=a[5]+a[6];

c[7]=a[7];

c[8]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8];

（仔細觀察哦下面無數次提到觀察這組資料）

我們找到了什麼規律呢？

把1~8轉化為二進制時通過觀察可以發現：

從右到左（從小到大）找第一次出現的‘1’所代表的的整數剛好和c中儲存的個數相同

那麼儲存的資料怎麼确定呢？我們再觀察一下上面的規律，可以發現儲存a[ ]中的資料的最後一個剛好和c[i]中的i值相等

是以第一步，我們先來介紹

如何确定c[ ]中儲存資料的個數~

lowbit

int lowbit(int x){
	return x & -x;
}
           

函數裡隻有簡單的一行代碼

這個記住可以這樣操作就好啦，具體推呢要考慮數字邏輯裡原碼補碼什麼什麼的有點麻煩就不在這裡推啦。（如果真的想知道原理就去查查叭）

它是基礎噢

有了lowbit的基礎後接下來我們正式學習如何構造樹狀數組：

我們再一次觀察上面的資料可以發現實際上構造它就是在不停的更新它

單點更新/構造樹狀數組

void update(int x,int val){//單點更新 
	while(x<=n){
		c[x]+=val;
		x+=lowbit(x);
	}
}//從小到大 
           

若不了解我們可以通過舉例來模拟輔助我們更好的弄清楚它

舉例：假設數組裡有8個數，均為1，那麼它的更新操作為

區間查詢（區間求和）

前置知識：字首和（cz大佬所講内容）

我們再次觀察上面的資料找找規律：

求區間[1,x]的和：

int sum(int x){//求字首和  區間[1,x] 
	int sum=0;
	while(x>0){
		sum+=c[x];
		x-=lowbit(x);
	}
	return sum;
}//從大到小 
           

然後看例題~

傳送門

輸入輸出樣例

輸入

5 5

1 5 4 2 3

1 1 3

2 2 5

1 3 -1

1 4 2

2 1 4

輸出

14

16

下面是代碼：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define inf 0x3f3f3f3f
#define eps 1e-6

const int ma=5e5+10;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull; 
int a[ma],b[ma*2];
int n,m;
int lowbit(int x){
	return x & -x;
}
void update(int x,int val){//單點更新 
	while(x<=n){
		b[x]+=val;
		x+=lowbit(x);
	}
}//從小到大 
int sum(int x){//求字首和  區間[1,x] 
	int sum=0;
	while(x>0){
		sum+=b[x];
		x-=lowbit(x);
	}
	return sum;
}//從大到小 
int main()
{
	int x,y,z;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",a+i);
		update(i,a[i]);
	}
	while(m--){
		scanf("%d%d%d",&z,&x,&y);
		if(z==1)
			update(x,y);
		if(z==2){
			int ans=sum(y)-sum(x-1);
			printf("%d\n",ans);
		}
	}
	return 0;
}
           

敵兵布陣

C國的死對頭A國這段時間正在進行軍事演習，是以C國間諜頭子Derek和他手下Tidy又開始忙乎了。A國在海岸線沿直線布置了N個工兵營地,Derek和Tidy的任務就是要監視這些工兵營地的活動情況。由于采取了某種先進的監測手段，是以每個工兵營地的人數C國都掌握的一清二楚,每個工兵營地的人數都有可能發生變動，可能增加或減少若幹人手,但這些都逃不過C國的監視。

中央情報局要研究敵人究竟演習什麼戰術,是以Tidy要随時向Derek彙報某一段連續的工兵營地一共有多少人,例如Derek問:“Tidy,馬上彙報第3個營地到第10個營地共有多少人!”Tidy就要馬上開始計算這一段的總人數并彙報。但敵兵營地的人數經常變動，而Derek每次詢問的段都不一樣，是以Tidy不得不每次都一個一個營地的去數，很快就精疲力盡了，Derek對Tidy的計算速度越來越不滿:"你個死肥仔，算得這麼慢，我炒你鱿魚!”Tidy想：“你自己來算算看，這可真是一項累人的工作!我恨不得你炒我鱿魚呢!”無奈之下，Tidy隻好打電話向計算機專家Windbreaker求救,Windbreaker說：“死肥仔，叫你平時做多點acm題和看多點算法書，現在嘗到苦果了吧!”Tidy說："我知錯了。。。"但Windbreaker已經挂掉電話了。Tidy很苦惱，這麼算他真的會崩潰的，聰明的讀者，你能寫個程式幫他完成這項工作嗎？不過如果你的程式效率不夠高的話，Tidy還是會受到Derek的責罵的.

Input

第一行一個整數T，表示有T組資料。

每組資料第一行一個正整數N（N<=50000）,表示敵人有N個工兵營地，接下來有N個正整數,第i個正整數ai代表第i個工兵營地裡開始時有ai個人（1<=ai<=50）。

接下來每行有一條指令，指令有4種形式：

(1) Add i j,i和j為正整數,表示第i個營地增加j個人（j不超過30）

(2)Sub i j ,i和j為正整數,表示第i個營地減少j個人（j不超過30）;

(3)Query i j ,i和j為正整數,i<=j，表示詢問第i到第j個營地的總人數;

(4)End 表示結束，這條指令在每組資料最後出現;

每組資料最多有40000條指令

Output

對第i組資料,首先輸出“Case i:”和回車,

對于每個Query詢問，輸出一個整數并回車,表示詢問的段中的總人數,這個數保持在int以内。

Sample Input

1

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Query 1 3

Add 3 6

Query 2 7

Sub 10 2

Add 6 3

Query 3 10

End

Sample Output

Case 1:

6

33

59

注意：多組輸入時先輸入的是字元串，然後判斷字元串是否為End若不為才輸入ij資料！！！

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int nn=50050;
int lowbit(int x){
	return x & -x;
}
int n;int a[nn];char c[10];
void update(int x,int y){
	while(x<=n){
		a[x]+=y;
		x+=lowbit(x);
	}
}
int query(int s){
	int sum=0;
	while(s>0){
		sum+=a[s];
		s-=lowbit(s);
	}
	return sum;
}
int main() {
	int t,q,x,y;
	scanf("%d",&t);
	for(int z=1;z<=t;z++){
		memset(a,0,sizeof(a));
		scanf("%d",&n);
		for(int i=1;i<=n;i++){
			scanf("%d",&q);
			update(i,q);
		}
		printf("Case %d:\n",z);
		while(~scanf("%s",c)){
			if(c[0]=='E') break;
			scanf("%d%d",&x,&y);
			if(c[0]=='A'){
				update(x,y);
			}else if(c[0]=='S'){
				update(x,-y);
			}else if(c[0]=='Q'){
				int ans=query(y)-query(x-1);
				printf("%d\n",ans);
			}
		}
	}
	return 0;
}
           

例二：差分運用

傳送門

輸入輸出樣例

輸入

5 5

1 5 4 2 3

1 2 4 2

2 3

1 1 5 -1

1 3 5 7

2 4

輸出

6

10

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define inf 0x3f3f3f3f
#define eps 1e-6

const int ma=5e5+10;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull; 
ll a[ma];
ll n,m;
ll lowbit(ll x){
	return x & -x;
}
void update(ll x,ll val){//單點更新 
	while(x<=n){
		a[x]+=val;
		x+=lowbit(x);
	}
}//從小到大 
ll sum(int x){//求字首和  區間[1,x] 
	ll sum=0;
	while(x>0){
		sum+=a[x];
		x-=lowbit(x);
	}
	return sum;
}//從大到小 
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	ll b,bb=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lld",&b);
		update(i,b-bb);//更新差分數組 
		bb=b;
	}
	int x,y,k,num;
	while(m--){
		scanf("%d",&num);
		if(num==1){
			scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);
			//區間修改 ，運用單點更新的操作 
			update(x,k); //将a[x]加上k 
			update(y+1,-k);//a[y+1]減去k 
		}	
		else{
			scanf("%lld",&x);
			printf("%lld\n",sum(x));
		}
	}
	return 0;
}