負數在計算機中如何表示？
舉例來說，+8在計算機中表示為二進制的1000，那麼-8怎麼表示呢？
很容易想到，可以将一個二進制位(bit)專門規定為符号位，它等于0時就表示正數，等于1時就表示負數。比如，在8位機中，規定每個位元組的最高位為符号位。那麼，+8就是00001000，而-8則是10001000。
但是，随便找一本《計算機原理》，都會告訴你，實際上，計算機内部采用2的補碼(Two's Complement)表示負數。
什麼是2的補碼？
它是一種數值的轉換方法，要分二步完成：
第一步，每一個二進制位都取相反值，0變成1，1變成0。比如，00001000的相反值就是11110111。
第二步，将上一步得到的值加1。11110111就變成11111000。
是以，00001000的2的補碼就是11111000。也就是說，-8在計算機(8位機)中就是用11111000表示。
不知道你怎麼看，反正我覺得很奇怪，為什麼要采用這麼麻煩的方式表示負數，更直覺的方式難道不好嗎？
昨天，我在一本書裡又看到了這個問題，然後就花了一點時間到網上找資料，現在總算徹底搞明白了。
2的補碼的好處
首先，要明确一點。計算機内部用什麼方式表示負數，其實是無所謂的。隻要能夠保持一一對應的關系，就可以用任意方式表示負數。是以，既然可以任意選擇，那麼理應選擇一種最友善的方式。
2的補碼就是最友善的方式。它的便利展現在，所有的加法運算可以使用同一種電路完成。
還是以-8作為例子。
假定有兩種表示方法。一種是直覺表示法，即10001000；另一種是2的補碼表示法，即11111000。請問哪一種表示法在加法運算中更友善？
随便寫一個計算式，16 + (-8) = ?
16的二進制表示是 00010000，是以用直覺表示法，加法就要寫成：
０００１００００
＋１０００１０００
－－－－－－－－－
１００１１０００
可以看到，如果按照正常的加法規則，就會得到10011000的結果，轉成十進制就是-24。顯然，這是錯誤的答案。也就是說，在這種情況下，正常的加法規則不适用于正數與負數的加法，是以必須制定兩套運算規則，一套用于正數加正數，還有一套用于正數加負數。從電路上說，就是必須為加法運算做兩種電路。
現在，再來看2的補碼表示法。
０００１００００
＋１１１１１０００
－－－－－－－－－
１００００１０００
可以看到，按照正常的加法規則，得到的結果是100001000。注意，這是一個9位的二進制數。我們已經假定這是一台8位機，是以最高的第9位是一個溢出位，會被自動舍去。是以，結果就變成了00001000，轉成十進制正好是8，也就是16 + (-8) 的正确答案。這說明了，2的補碼表示法可以将加法運算規則，擴充到整個整數集，進而用一套電路就可以實作全部整數的加法。
2的補碼的本質
在回答2的補碼為什麼能正确實作加法運算之前，我們先看看它的本質，也就是那兩個步驟的轉換方法是怎麼來的。
要将正數轉成對應的負數，其實隻要用0減去這個數就可以了。比如，-8其實就是0-8。
已知8的二進制是00001000，-8就可以用下面的式子求出：
００００００００
－００００１０００
－－－－－－－－－
因為00000000(被減數)小于0000100(減數)，是以不夠減。請回憶一下國小算術，如果被減數的某一位小于減數，我們怎麼辦？很簡單，問上一位借1就可以了。
是以，0000000也問上一位借了1，也就是說，被減數其實是100000000，算式也就改寫成：
１００００００００
－００００１０００
－－－－－－－－－
１１１１１０００
進一步觀察，可以發現100000000 = 11111111 + 1，是以上面的式子可以拆成兩個：
１１１１１１１１
－００００１０００
－－－－－－－－－
１１１１０１１１
＋０００００００１
－－－－－－－－－
１１１１１０００
2的補碼的兩個轉換步驟就是這麼來的。
為什麼正數加法适用于2的補碼？
實際上，我們要證明的是，X-Y或X+(-Y)可以用X加上Y的2的補碼完成。
Y的2的補碼等于(11111111-Y)+1。是以，X加上Y的2的補碼，就等于：
X + (11111111-Y) + 1
我們假定這個算式的結果等于Z，即 Z = X + (11111111-Y) + 1
接下來，分成兩種情況讨論。
第一種情況，如果X小于Y，那麼Z是一個負數。這時，我們就對Z采用2的補碼的逆運算，求出它對應的正數絕對值，再在前面加上負号就行了。是以，
Z = -[11111111-(Z-1)] = -[11111111-(X + (11111111-Y) + 1-1)] = X - Y
第二種情況，如果X大于Y，這意味着Z肯定大于11111111，但是我們規定了這是8位機，最高的第9位是溢出位，必須被舍去，這相當于減去100000000。是以，
Z = Z - 100000000 = X + (11111111-Y) + 1 - 100000000 = X - Y
這就證明了，在正常的加法規則下，可以利用2的補碼得到正數與負數相加的正确結果。換言之，計算機隻要部署加法電路和補碼電路，就可以完成所有整數的加法。
轉自
另記載下反碼的規律
~ (反碼)： 01001 ~ 後 10110，即1變0 ， 0變1
6反碼結果是-7， 整數a的反碼結果= -a -1
(~6) = -7
-6 = -7 + 1；
(~8) = -9：-8 = -9 + 1；
(~16) = -17：-16 = -17 + 1；
~(-6)= -(-6)-1=5 ；
(~a)先把a變為-a，-a - 1 = (~a);