FIR濾波器

FIR(Finite Impulse Response)濾波器：有限長機關沖激響應濾波器，又稱為非遞歸型濾波器，是數字信号處理系統中最基本的元件，它可以在保證任意幅頻特性的同時具有嚴格的線性相頻特性，同時其機關抽樣響應是有限長的，因而濾波器是穩定的系統。是以，FIR濾波器在通信、圖像處理、模式識别等領域都有着廣泛的應用。

IIR數字濾波器與FIR數字濾波器的差別 1、機關響應 IIR數字濾波器機關響應為無限脈沖序列，而FIR數字濾波器機關響應為有限的； FIR濾波器，也就是“非遞歸濾波器”，沒有引入回報。這種濾波器的 脈沖響應是有限的。 2、幅頻特性 IIR數字濾波器 幅頻特性精度很高，不是 線性相位的，可以應用于對相位資訊不敏感的 音頻信号上；FIR數字濾波器的幅頻特性精度較之于IIR數字濾波器低，但是線性相位，就是不同頻率分量的信号經過 fir濾波器後他們的 時間差不變，這是很好的性質。 3、實時信号處理 FIR數字濾波器是有限的機關響應也有利于對數字信号的處理，便于程式設計，用于計算的時延也小，這對實時的信号處理很重要。

有限長機關沖激響應（FIR）濾波器有以下特點： (1) 系統的機關沖激響應h (n)在有限個n值處不為零 (2)  系統函數H(z)在|z|>0處收斂，極點全部在z = 0處（ 因果系統） (3) 結構上主要是非遞歸結構，沒有輸出到輸入的回報，但有些結構中（例如頻率抽樣結構）也包含有回報的遞歸部分。 設FIR濾波器的機關沖激響應h (n)為一個N點序列，0 ≤ n ≤N —1，則濾波器的 系統函數為 H(z)=∑h(n)*z^-n 就是說，它有（N—1）階極點在z = 0處，有（N—1）個零點位于有限z平面的任何位置。 FIR濾波器有以下幾種基本結構：

橫截型

（7.10）式的系統的差分方程 表達式為 y(n)=∑h(m)x(n-m)　( 7.11） 很明顯，這就是線性移不變系統的卷積和公式，也是x (n)的延時鍊的橫向結構，如圖4-11所示，稱為橫截型結構或卷積型結構，也可稱為直接型結構。将轉置定理用于圖4-11，可得到圖4-12的轉置直接型結構。 圖7.11 FIR濾波器的橫截型結構

級聯型

将H (z)分解成實系數二階因子的乘積形式 （7.12） 其中[N/2]表示取N/2的整數部分。若N為偶數，則N—1為奇數，故系數B2K中有一個為零，這是因為，這時有奇數個根，其中複數根成共轭對必為偶數，必然有奇數個實根。圖7-13畫出N為奇數時，FIR濾波器的級聯結構，其中每一個二階因子用圖4-11的橫型結構。 這種結構的每一節控制一對零點，因而再需要控制傳輸零點時，可以采用它。但是這種結構所需要的系數B2k（I = 0，1，2，k，= 1，2，．．．，[N/2]）比卷積型的系數h (n)要多，因而所需的乘法次數也比卷積型的要多。 圖9.13 FIR濾波器的級聯型結構

頻率抽樣

在第三章中已說過，把一個有限長序列（長度為N點）的z變換H (z)在機關圓上作N等分抽樣，就得到H (k)，其主值序列就等于h (n)的 離散傅裡葉變換H (k)。那裡也說到用H (k)表示的H (z)的内插公式為 （7.13） 這個公式就為FIR濾波器提供了另外一種結構，這種結構由兩部分級聯組成。 （7.14） 其中級聯的第一部分為 (7.15） 這是一個FIR子系統，是由N節延時單元構成的梳狀濾波器，令 則有 即Hc (z)在機關圓上有N個等間隔角度的零點，它的頻率響應為 （7.16） 因而幅度響應為 幅角為 其子網絡結構及頻率響應幅度見圖7.14。 級聯的第二部分為 它是由N個一階網絡并聯組成，而這每一個一階網絡都是一個諧振器 （7.17） 令H'k(z)的分母為零，即令 可得到此一階網絡在機關圓上有一個極點 圖7.14 梳狀濾波器結構及頻率響應幅度 圖7.15 FIR濾波器的頻率抽樣型結構 也就是說：此一階網絡在頻率為 處響應為無窮大，故等效于諧振頻率為2πk / N的無損耗諧振器。這個諧振器的極點正好與梳狀濾波器的一個零點（I = k）相抵消，進而使這個頻率（ω= 2πk / N）上的頻率響應等于H (k)。這樣，N個諧振器的N個極點就和梳狀濾波器的N個零點互相抵消，進而在N個頻率抽樣點上（ω= 2πk / N，k = 0，1，．．．，N —1）的頻率響應就分别等于N個H (k)值。 N個并聯諧振器與梳狀濾波器級聯後，就得到圖7.15的頻率抽樣結構。 頻率抽樣結構的特點是它的系數H (k)就是濾波器在ω= 2πk / N處的響應，是以控制濾波器的頻率響應很友善。但是結構中所乘的系數H (k)及WN都是複數，增加了乘法次數和 存儲量，而且所有極點都在機關圓上，由系數WN決定，這樣，當系數量化時，這些極點會移動，有些極點就不能被梳狀濾波器的零點所抵消（零點由延時單元決定，不受量化的影響）。系統就不穩定了。 為了克服系數量化後可能不穩定的缺點，可以将頻率抽樣結構做一點修正，即将所有零、極點都移到機關圓内某一靠近機關圓、半徑為r (r小于或近似等于1)的圓上（r為正實數）。

快速卷積

前一章談到，隻要将兩個有限長序列補上一定的零值點，就可以用圓周卷積來代替兩序列的線性卷積。由于時域的圓周卷積，等效到頻域則為離散傅立葉變換的乘積。因而，如果 即将輸入x (n)補上L—N1個零值點，将有限長機關沖激響應h (n)補上L—N2個零值點，隻要滿足L >= N1 + N2—1，則L點的圓周卷積就能代表線性卷積，即 用DFT表示，則有 Y(k) =X(k)H(k) 因而有 其中 Y(k) = DFT[y (n)]，L點 X(k) = DFT[x(n)]，L點 H(k) = DFT[h (n)]，L點 這樣，我們就可得到圖7.16的快速卷積結構，當N1，N2足夠長時，它比直接計算線性卷積要快得多。這裡計算DFY和IDFT都采用 快速傅立葉變換計算方法。