一、簡介
我們知道，在一幅圖像中，其低頻成分對應者圖像變化緩慢的部分，對應着圖像大緻的相貌和輪廓。而其高頻成分則對應着圖像變化劇烈的部分，對應着圖像的細節（圖像的噪聲也屬于高頻成分）。
低頻濾波器，顧名思義，就是過濾掉或者大幅度衰減圖像的高頻成分，讓圖像的低頻成分通過。低頻濾波器可以平滑圖像，慮去圖像的噪聲。而與此相反的高頻濾波器，則是過濾低頻成分，通過高頻成分，可以達到銳化圖像的目的。
理想低通濾波器的濾波非常尖銳，而高斯低通濾波器的濾波則非常平滑。Butterworth低通濾波器則介于兩者之間，當Butterworth低通濾波器的階數較高時，接近于理想低通濾波器，階數較低時，則接近于高斯低通濾波器。
下面我們所說的都是對應于二維圖像處理的情況。
二、這三種濾波器的相關介紹
在這三種低通濾波器的表達式中，我們都用D0來表示其截止頻率。D(u, v)表示距離頻率矩形中心的距離。
我并沒有說明振鈴現象産生的原因，隻是說明了什麼情況下振鈴現象較為明顯。
1. 理想低通濾波器（ILPF）
理想低通濾波器在以原點為圓心、D0為半徑的園内，通過所有的頻率，而在圓外截斷所有的頻率。（圓心的頻率最低，為變換的直流(dc)分量）。函數如下：
可以看出，理想低通濾波器的過渡非常急劇，會産生振鈴現象。
2. Butterworth低通濾波器
函數表達式如下（在有些書中，Butterworth的函數的平方才等于右邊的表達式，在這裡我們按照課本的寫法，計算較為友善），其中n稱為Butterworth低通濾波器的階數：
從濾波器的函數圖中，我們可以看出其過渡沒有理想低通濾波器那麼劇烈，從圖(c)中可以看出，階數越高，濾波器的過度越劇烈，振鈴現象将越明顯。
3. 高斯低通濾波器(GLPF)
函數表達式如下：
高斯濾波器的過度特性非常平坦，是以不會産生振鈴現象。
三、頻域濾波步驟
1. 基本步驟
1. 給定一幅大小為m*n的圖像f(x,y)。選擇适當的填充參數P和Q，一般令P = 2m，Q = 2n。
2. 對圖像f(x, y)填充0，填充後得到圖像大小為P*Q的圖像fp(x, y)。
3. 用(-1)^(x+y)乘以fp(x,y)将其移到變換中心（中心化）。
4. 計算fp(x, y)的DFT，得到F(u,v)。
5. 生成一個實的，對稱的濾波函數H(u, v)，大小為P*Q，中心在(P/2, Q/2)處。然後相乘（矩陣點乘）得到G(u,v) = H(u,v)F(u,v)。
6. 對G(u, v)反傅裡葉變換，然後取實部，再乘以(-1)^(x+y)進行反中心變換最後得到gp(x,y)。
7. 提取gp(x,y)左上角的m*n區域，對提取的部分進行标準化處理，得到最終的結果圖像g(x,y)。
2. 相關步驟說明
1. 對圖像進行0填充，得到大小為P*Q的圖像，主要是為了避免在循環卷積中出現的纏繞錯誤。當兩個矩陣大小相同時，P≥2m-1，Q≥2n-1時可以避免環繞錯誤。由于對于偶數尺寸的矩陣計算其傅裡葉變換較快，是以P取2m，Q取2n。
2. 圖像乘以(-1)^(x+y)，再對圖像進行傅裡葉變換可以得到将原點移到中心的傅裡葉變換。這樣，對于F(u,v)來說，中心的頻率最低，四周的頻率較高。每一點的值表示該頻率對于的幅度。在matlab中，也可以不乘以(-1)^(x+y)，直接對填充後的圖像進行傅裡葉變換，之後使用fftshift函數對其傅裡葉變換進行中心化。得到的結果是一樣的。
3. 由于圖像是一個實函數，是以其傅裡葉變換是一個旋轉對稱的傅裡葉變換。
4. 關于對稱中心。課本中指出，對于一個長度為M的一維序列，當M為偶數時，位置0和M/2呈現零的特性，當M為奇數時，隻有位置0呈現零的特性。是以，在matlab中，由于矩陣下标是從1開始的，我們的P = 2m，Q = 2n。是以中心點的位置為(P/2+1, Q/2+1)，即(m+1, n+1)。
5. 标準化處理。對最終得到的圖像每一點的值進行處理。使其範圍變為[0, 255]的uint8。或者[0, 1.0]的double值。
四、matlab代碼實作Butterworth低通濾波器
在使用matlab代碼的實作過程中，對于這三種低通濾波器，隻是在實驗低通濾波器函數H(u,v)的代碼中有部分不同，其他部分一緻。是以，在下面中，隻給出實作Butterworth低通濾波器的代碼，不給出其他兩種濾波器的代碼。
1. Butterworth濾波器的代碼如下：
該函數為Bfilter，輸入為需要進行Butterworth濾波的灰階圖像，Butterworth濾波器的截止頻率D0以及Butterworth濾波器的階數n。輸出為進行濾波之後的圖像（圖像的值已經歸一化到[[0, 255]）。
function [image_out] = Bfilter(image_in, D0, N)
% Butterworth濾波器，在頻率域進行濾波
% 輸入為需要進行濾波的灰階圖像，Butterworth濾波器的截止頻率D0，階數N
% 輸出為濾波之後的灰階圖像
[m, n] = size(image_in);
P = 2 * m;
Q = 2 * n;
fp = zeros(P, Q);
%對圖像填充0,并且乘以(-1)^(x+y) 以移到變換中心
for i = 1 : m
for j = 1 : n
fp(i, j) = double(image_in(i, j)) * (-1)^(i+j);
end
end
% 對填充後的圖像進行傅裡葉變換
F1 = fft2(fp);
% 生成Butterworth濾波函數，中心在(m+1,n+1)
Bw = zeros(P, Q);
a = D0^(2 * N);
for u = 1 : P
for v = 1 : Q
temp = (u-(m+1.0))^2 + (v-(n+1.0))^2;
Bw(u, v) = 1 / (1 + (temp^N) / a);
end
end
%進行濾波
G = F1 .* Bw;
% 反傅裡葉變換
gp = ifft2(G);
% 處理得到的圖像
image_out = zeros(m, n, 'uint8');
gp = real(gp);
g = zeros(m, n);
for i = 1 : m
for j = 1 : n
g(i, j) = gp(i, j) * (-1)^(i+j);
end
end
mmax = max(g(:));
mmin = min(g(:));
range = mmax-mmin;
for i = 1 : m
for j = 1 : n
image_out(i,j) = uint8(255 * (g(i, j)-mmin) / range);
end
end
end
2. 測試代碼如下
測試時Butterworth濾波器的階數為2。截止頻率分别為10,30,60,160,460。
clear all;
close all;
clc;
image1 = imread('3.bmp');
image2 = Bfilter(image1, 10, 2);
image3 = Bfilter(image1, 30, 2);
image4 = Bfilter(image1, 60, 2);
image5 = Bfilter(image1, 160, 2);
image6 = Bfilter(image1, 460, 2);
% 顯示圖像
subplot(2,3,1), imshow(image1), title('原圖像');
subplot(2,3,2), imshow(image2), title('D0 = 10, n = 2');
subplot(2,3,3), imshow(image3), title('D0 = 30, n = 2');
subplot(2,3,4), imshow(image4), title('D0 = 60, n = 2');
subplot(2,3,5), imshow(image5), title('D0 = 160, n = 2');
subplot(2,3,6), imshow(image6), title('D0 = 460, n = 2');
3. 運作結果如下，可以看出，與課本給出的結果一緻。