面試常問智力題

目錄

• ​​1. 賽馬次數​​
• ​​2. 用繩子計時 15 分鐘​​
• ​​3. 九球稱重​​
• ​​4. 藥丸稱重​​
• ​​5. 得到 4 升的水​​
• ​​6. 扔雞蛋​​
• ​​7. 砝碼秤鹽​​
• ​​8. 拿到最後一本書（騰訊）​​
• ​​9. 裁繩子 2 刀形成三角形的機率​​
• ​​10. 抛硬币，先抛到正面獲勝​​
• ​​11. 1-100的燈最後關的燈的編号​​
• ​​12. n個人中至少有兩個人生日相同的機率​​
• ​​13. 怎樣估算上海市理發師的數量？​​
• ​​14. 一個孩子是女孩的情況下，另一個孩子也是女孩的機率​​
• ​​參考：​​

1. 賽馬次數

有 25 匹馬和 5 條賽道，賽馬過程無法進行計時，隻能知道相對快慢。問最少需要幾場賽馬可以知道前 3 名。

1. 先把 25 匹馬分成 5 組，進行 5 場賽馬，得到每組的排名。
2. 再将每組的第 1 名選出，進行 1 場賽馬，按照這場的排名将 5 組先後标為 A、B、C、D、E。
3. 可以知道，A 組的第 1 名就是所有 25 匹馬的第 1 名。而第 2、3 名隻可能在 A 組的 2、3 名，B 組的第 1、2 名，和 C 組的第 1 名，總共 5 匹馬，讓這 5 匹馬再進行 1 場賽馬，前兩名就是第 2、3 名。
4. 是以總共是5+1+1=7場賽馬。

A 組：1，2，3，4，5

B 組：1，2，3，4，5

C 組：1，2，3，4，5

D 組：1，2，3，4，5

E 組：1，2，3，4，5

2. 用繩子計時 15 分鐘

給定兩條繩子，每條繩子燒完正好一個小時，并且繩子是不均勻的。問要怎麼準确測量 15 分鐘。

1. 點燃第一條繩子 R1 兩頭的同時，點燃第二條繩子 R2 的一頭；
2. 當 R1 燒完，正好過去 30 分鐘，而 R2 還可以再燒 30 分鐘；
3. 點燃 R2 的另一頭，15 分鐘後，R2 将全部燒完。

3. 九球稱重

有 9 個球，其中 8 個球品質相同，有 1 個球比較重。要求用 2 次天平，找出比較重的那個球。

1. 将這些球均分成 3 個一組，共 3 組，選出 2 組稱重，
2. 如果 1 組比較重，那麼重球在比較重的那 1 組；如果 1 組重量相等，那麼重球在另外 1 組。
3. 對比較重的那 1 組的 3 個球再分成 3 組，重複上面的步驟。

4. 藥丸稱重

有 20 瓶藥丸，其中 19 瓶藥丸品質相同為 1 克，剩下一瓶藥丸品質為 1.1 克。瓶子中有無數個藥丸。要求用一次天平找出藥丸品質 1.1 克的藥瓶。

可以從藥丸的數量上來制造差異：從第 i 瓶藥丸中取出 i 個藥丸，然後一起稱重。可以知道，如果第 i 瓶藥丸重 1.1 克/粒，那麼稱重結果就會比正常情況下重 0.1 * i 克。

5. 得到 4 升的水

有兩個杯子，容量分别為 5 升和 3 升，水的供應不斷。問怎麼用這兩個杯子得到 4 升的水。

可以了解為用若幹個 5 和 3 做減法得到 4。

• 不能從 3 做減法得到 4，那麼隻能從 5 做減法得到 4，即最後一個運算應該為 5 - 1 = 4，此時問題轉換為得到 1 升的水；
• 1 升的水可以由 3 做減法得到，3 - 2 = 1，此時問題轉換為得到 2 升的水；
• 5 - 3 = 2。

是以：

1. 将3升的裝滿倒入5升的；
2. 再一次将3升的轉滿，倒入5升的，把5升裝滿；
3. 3 升杯裡剩下的就是1升水；
4. 倒掉5升的，把1升水倒入5升杯；
5. 第三次加滿3升杯，倒入5升杯，得到4升水。

6. 扔雞蛋

一棟樓有 100 層，在第 N 層或者更高扔雞蛋會破，而第 N 層往下則不會。給 2 個雞蛋，求 N，要求最差的情況下扔雞蛋的次數最少。

• 可以将樓層劃分成多個區間，第一個雞蛋 E1 用來确定 N 屬于哪個區間，第二個雞蛋 E2 按順序周遊該區間找到 N。那麼問題就轉換為怎麼劃分區間滿足最壞情況下扔雞蛋次數最少。
• E1 需要從第一個區間開始周遊到最後一個區間。如果按等大小的方式劃分區間，即 E2 的周遊次數固定。那麼最壞的情況是 N 在最後一個區間，此時 E1 周遊的次數最多。為了使最壞情況下 E1 和 E2 總共周遊的次數比較少，那麼後面的區間大小要比前面的區間更小。
• 具體來說，E1 每多周遊一次，E2 要少周遊一次，才使得 N 無論在哪個區間，總共周遊的次數一樣。設第一個區間大小為 X，那麼第二個區間的大小為 X-1，以此類推。那麼 X + (X-1) + (X-2) + … + 1 = 100，得到 X (X + 1) / 2 = 100 ，即X = 14。

7. 砝碼秤鹽

140g 鹽,一天平,7g 、2g 砝碼各一個,如何隻利用這些東西 3 次把鹽分成 50g 和 90g ?

• 第一次： 7g、2g砝碼稱出 9g 鹽，結果鹽分成 9g 與 131g
• 第二次：将 9g 鹽與 7g、2g 都作為砝碼，結果将鹽分為 18g 與 113g （注意：這時鹽已經分為三份：9g、18g、113g，還有兩個砝碼）

• 第三次：将 18g 鹽與 7g 砝碼發在左托盤，将2g砝碼放在右托盤，然後在 113g 鹽中取鹽添置右托盤中，可擷取 23g 鹽。

  這時鹽分為9g，18g，23g與90g。

即三次，可以得到90g與（9+18+23）50g。

8. 拿到最後一本書（騰訊）

100本書，兩個人輪流拿，每次拿1~5本，你先拿，有沒有啥政策可以保證你可以拿到最後一本？

1. 要想拿到最後的書，則最後要剩下6本，則前面要拿94本書，這樣無論對方怎麼拿，我都能拿到最後的書
2. 對方每次拿1-5 之前的N本書，是以我可以每次拿6-N本，保證我倆每次拿的書之和相加 = 6
3. 94/6 取餘 = 4，是以要先拿

9. 裁繩子 2 刀形成三角形的機率

一段繩子，裁兩刀，變成3段，可以拼成一個三角形的機率有多大

設線段長度為a，任意分成三段長分别為x，y和 a-x-y ，顯然有 x>0，y>0，a-x-y>0，将這三個限制條件畫到(x,y)二維平面坐标系上，這三條直線圍成了一個直角三角形即為可行域（圖1），其面積為 。

而這三段長能構成三角形的條件是：任意兩邊之和大于第三邊，也就是下面三個不等式得同時成立：

我們把上面三個不等式也畫在平面直角坐标系中，可以看到可行域為圖 2 中綠色的小三角形，其面積為:

故此三段能構成三角形的機率為 1/4。

10. 抛硬币，先抛到正面獲勝

兩個人玩抛硬币的遊戲，誰先抛到正面就獲勝。那麼先抛的人獲勝機率為

第一次：正

第三次：反反正

第五次：反反反反正

…第N次：反反。。。。正

當公比不為1時，等比數列的求和公式為：

對于一個無窮遞降數列，數列的公比小于1,當上式得n趨向于正無窮大時，分子括号中的值趨近于1，取極限即得無窮遞減數列求和公式

是以:

11. 1-100的燈最後關的燈的編号

對一批編号為1-100，全部開關開着的燈進行以下操作：凡是1的倍數反方向撥一次開關；2的倍數 方向又撥一次開關；3的倍數反方向又撥一次開關……問：最後為關狀态的燈的編号是哪些

def setSwitch(temp, i):
    if (temp[i] == 0):
        temp[i] = 1
    elif (temp[i] == 1):
        temp[i] = 0

def light_list():
    light = [0] * 100
    for i in range(100):
        for n in range(1, 101):
            if ((i + 1) % n == 0):
                setSwitch(light, i)

    sum = 0
    print("亮着的燈：")
    for i in range(100):
        if (light[i] == 1):
            sum += 1
            print(i, end=" ")
    print("")
    print("亮着的燈總共：", sum)

if __name__ == '__main__':
    light_list()      

輸出：

亮着的燈：
0 3 8 15 24 35 48 63 80 99 
亮着的燈總共： 10      

那麼關着的燈就容易得到了

12. n個人中至少有兩個人生日相同的機率

把問題轉換成 “計算完全沒有相同生日的機率A(n)”，再用 減去這個機率即可求出至少兩個人生日相同的機率 。

分析：

第1個人的生日是随意的，有365種可能，機率是365/365＝1；

第2個人的生日不能與第1個人相同，隻有365－1＝364種可能，機率是364/365；

第3個人的生日不能與前面2人相同，隻有365－2＝363種可能，機率是363/365；……；

……

第n個人的生日不能與前面n-1人相同，隻有365－(n-1)＝365-n+1種可能，機率是(365-n+1)/365.

完全沒有相同生日的機率：

是以至少兩人生日相同的機率： P(n)=1-A(n)

如果用n表示人數，p(n)表示n人中至少2人生日相同的機率，計算得到：

p(5)＝0.03

p(10)＝0.12

p(15)＝0.25 　

p(20)＝0.41

p(25)＝0.57

p(30)＝0.71

p(35)＝0.81 　

p(40)＝0.89

p(45)＝0.94

p(50)＝0.97

p(55)＝0.99

可以看出，當人數超過55人時，至少2人生日相同的機率就會超過99%。是以，如果一個班的學生超過55人，幾乎可以肯定地說，一定有2人的生日相同。

13. 怎樣估算上海市理發師的數量？

參考：

​​​【面試官手記】數量估算類面試題應該如何應對？​​

14. 一個孩子是女孩的情況下，另一個孩子也是女孩的機率

其實題目應該是，在至少一個為女孩的情況下，兩個都為女孩的機率是多少。這樣描述比較容易想清楚

答案： 1 / 3

夫妻有兩個小孩，則樣本空間為 女女，男女，女男，男男，則

參考：

1. ​​面試常問智力題​​
2. ​​(牛客熱帖) 機率論面經彙總(持續更新) ​​