[原創]炒冷飯 《從一道筆試題談算法優化》全文【作者: 戀花蝶】
關鍵詞： 算法優化 文章
聲明：本文最初發表于《電腦程式設計技巧與維護》2006年第5期，版本所有，如蒙轉載，敬請連此聲明一起轉載，否則追究侵權責任。網上發表于戀花蝶的部落格http://lanphaday.bokee.com
從一道筆試題談算法優化
引子
每年十一月各大IT公司都不約而同、争後恐後地到各大高校進行全國巡回招聘。與此同時，網上也開始出現大量筆試面試題；網上流傳的題目往往都很精巧，既能讓考查基礎知識，又在平淡中隐含了廣闊的天地供優秀學生馳騁。
這兩天在網上淘到一道筆試題目（注1），雖然真假未知，但的确是道好題，題目如下：
從10億個浮點數中找出最大的1萬個。
這是一道似易實難的題目，一般同學最容易中的陷阱就是沒有重視這個“億”字。因為有10億個單精度浮點數元素的數組在32位平台上已經達到3.7GB之巨，在常見計算機平台（如Win32）上聲明一個這樣的數組将導緻堆棧溢出。正确的解決方法是分治法，比如每次處理100萬個數，然後再綜合起來。不過這不是本文要讨論的主旨，是以本文把上題的10億改為1億，把浮點數改為整數，這樣可以直接地完成這個問題，有利于清晰地讨論相關算法的優化（注2）。
不假思索
拿到這道題，馬上就會想到的方法是建立一個數組把1億個數裝起來，然後用for循環周遊這個數組，找出最大的1萬個數來。原因很簡單，因為如果要找出最大的那個數，就是這樣解決的；而找最大的1萬個數，隻是重複1萬遍而已。
template< class T >
void solution_1( T BigArr[], T ResArr[] )
{
for( int i = 0; i < RES_ARR_SIZE; ++i )
{
int idx = i;
for( int j = i+1; j < BIG_ARR_SIZE; ++j )
{
if( BigArr[j] > BigArr[idx] )
idx = j;
}
ResArr[i] = BigArr[idx];
std::swap( BigArr[idx], BigArr[i] );
}
}
設BIG_ARR_SIZE ＝ 1億，RES_ARR_SIZE = 1萬，運作以上算法已經超過40分鐘（注3），遠遠超過我們的可接受範圍。
稍作思考
從上面的代碼可以看出跟SelectSort算法的核心代碼是一樣的。因為SelectSort是一個O(n^2)的算法（solution_1的時間複雜度為O(n*m)，因為solution_1沒有将整個大數組全部排序），而我們又知道排序算法可以優化到O(nlogn)，那們是否可以從這方面入手使用更快的排序算法如MergeSor、QuickSort呢？但這些算法都不具備從大至小選擇最大的N個數的功能，是以隻有将1億個數按從大到小用QuickSort排序，然後提取最前面的1萬個。
template< class T, class I >
void solution_2( T BigArr[], T ResArr[] )
{
std::sort( BigArr, BigArr + BIG_ARR_SIZE, std::greater_equal() );
memcpy( ResArr, BigArr, sizeof(T) * RES_ARR_SIZE );
}
因為STL裡的sort算法使用的是QuickSort，在這裡直接拿來用了，是因為不想寫一個寫一個衆人皆知的QuickSort代碼來占篇幅（而且STL的sort高度優化、速度快）。
對solution_2進行測試，運作時間是32秒，約為solution_1的1.5%的時間，已經取得了幾何數量級的進展。
深入思考
壓抑住興奮回頭再仔細看看solution_2，你将發現一個大問題，那就是在solution_2裡所有的元素都排序了！而事實上隻需找出最大的1萬個即可，我們不是做了很多無用功嗎？應該怎麼樣來消除這些無用功？
如果你一時沒有頭緒，那就讓我慢慢引導你。首先，發掘一個事實：如果這個大數組本身已經按從大到小有序，那麼數組的前1萬個元素就是結果；然後，可以假設這個大數組已經從大到小有序，并将前1萬個元素放到結果數組；再次，事實上這結果數組裡放的未必是最大的一萬個，是以需要将前1萬個數字後續的元素跟結果數組的最小的元素比較，如果所有後續的元素都比結果數組的最小元素還小，那結果數組就是想要的結果，如果某一後續的元素比結果數組的最小元素大，那就用它替換結果數組裡最小的數字；最後，周遊完大數組，得到的結果數組就是想要的結果了。
template< class T >
void solution_3( T BigArr[], T ResArr[] )
{
//取最前面的一萬個
memcpy( ResArr, BigArr, sizeof(T) * RES_ARR_SIZE );
//标記是否發生過交換
bool bExchanged = true;
//周遊後續的元素
for( int i = RES_ARR_SIZE; i < BIG_ARR_SIZE; ++i )
{
int idx;
//如果上一輪發生過交換
if( bExchanged )
{
//找出ResArr中最小的元素
int j;
for( idx = 0, j = 1; j < RES_ARR_SIZE; ++j )
{
if( ResArr[idx] > ResArr[j] )
idx = j;
}
}
//這個後續元素比ResArr中最小的元素大，則替換。
if( BigArr[i] > ResArr[idx] )
{
bExchanged = true;
ResArr[idx] = BigArr[i];
}
else
bExchanged = false;
}
}
上面的代碼使用了一個布爾變量bExchanged标記是否發生過交換，這是一個前文沒有談到的優化手段——用以标記元素交換的狀态，可以大大減少查找ResArr中最小元素的次數。也對solution_3進行測試一下，結果用時2.0秒左右（不使用bExchanged則高達32分鐘），遠小于solution_2的用時。
深思熟慮
在進入下一步優化之前，分析一下solution_3的成功之處。第一、solution_3的算法隻周遊大數組一次，即它是一個O(n)的算法，而solution_1是O(n*m)的算法，solution_2是O(nlogn)的算法，可見它在本質上有着天然的優越性；第二、在solution_3中引入了bExchanged這一标志變量，從測試資料可見引入bExchanged減少了約99.99%的時間，這是一個非常大的成功。
上面這段話絕非僅僅說明了solution_3的優點，更重要的是把solution_3的主要沖突擺上了桌面——為什麼一個O(n)的算法效率會跟O(n*m)的算法差不多（不使用bExchanged）？為什麼使用了bExchanged能夠減少99.99%的時間？帶着這兩個問題再次審視solution_3的代碼，發現bExchanged的引入實際上減少了如下代碼段的執行次數：
for( idx = 0, j = 1; j < RES_ARR_SIZE; ++j )
{
if( ResArr[idx] > ResArr[j] )
idx = j;
}
上面的代碼段即是查找ResArr中最小元素的算法，分析它可知這是一個O(n)的算法，到此時就水落石出了！原來雖然solution_3是一個O(n)的算法，但因為内部使用的查找最小元素的算法也是O(n)的算法，是以就退化為O(n*m)的算法了。難怪不使用bExchanged使用的時間跟solution_1差不多；這也從反面證明了solution_3被上面的這一代碼段導緻性能退化。使用了bExchanged之後因為減少了很多查找最小元素的代碼段執行，是以能夠節省99.99%的時間！
至此可知元兇就是查找最小元素的代碼段，但查找最小元素是必不可少的操作，在這個兩難的情況下該怎麼去優化呢？答案就是保持結果數組（即ResArr）有序，那樣的話最小的元素總是最後一個，進而省去查找最小元素的時間，解決上面的問題。但這也引入了一個新的問題：保持數組有序的插入算法的時間複雜度是O(n)的，雖然在這個問題裡插入的數次比例較小，但因為基數太大（1億），這一開銷仍然會令本方案得不償失。
難道就沒有辦法了嗎？記得國小解應用題時老師教導過我們如果解題沒有思路，那就多讀幾遍題目。再次審題，注意到題目并沒有要求找到的最大的1萬個數要有序（注4），這意味着可以通過如下算法來解決：
1) 将BigArr的前1萬個元素複制到ResArr并用QuickSort使ResArr有序，并定義變量MinElemIdx儲存最小元素的索引，并定義變量ZoneBeginIdx儲存可能發生交換的區域的最小索引；
2) 周遊BigArr其它的元素，如果某一進制素比ResArr最小元素小，則将ResArr中MinElemIdx指向的元素替換，如果ZoneBeginIdx == MinElemIdx則擴充ZoneBeginIdx；
3) 重新在ZoneBeginIdx至RES_ARR_SIZE元素段中尋找最小元素，并用MinElemIdx儲存其它索引；
4) 重複2)直至周遊完所有BigArr的元素。
依上算法，寫代碼如下：
template< class T, class I >
void solution_4( T BigArr[], T ResArr[] )
{
//取最前面的一萬個
memcpy( ResArr, BigArr, sizeof(T) * RES_ARR_SIZE );
//排序
std::sort( ResArr, ResArr + RES_ARR_SIZE, std::greater_equal() );
//最小元素索引
unsigned int MinElemIdx = RES_ARR_SIZE - 1;
//可能産生交換的區域的最小索引
unsigned int ZoneBeginIdx = MinElemIdx;
//周遊後續的元素
for( unsigned int i = RES_ARR_SIZE; i < BIG_ARR_SIZE; ++i )
{
//這個後續元素比ResArr中最小的元素大，則替換。
if( BigArr[i] > ResArr[MinElemIdx] )
{
ResArr[MinElemIdx] = BigArr[i];
if( MinElemIdx == ZoneBeginIdx )
--ZoneBeginIdx;
//查找最小元素
unsigned int idx = ZoneBeginIdx;
unsigned int j = idx + 1;
for( ; j < RES_ARR_SIZE; ++j )
{
if( ResArr[idx] > ResArr[j] )
idx = j;
}
MinElemIdx = idx;
}
}
}
經過測試，同樣情況下solution_4用時約1.8秒，較solution_3效率略高，總算不負一番努力。
苦想冥思
這次優化從solution_4産生的輸出來入手。把solution_4的輸出寫到檔案，檢視後發現數組基本無序了。這說明在程式運作一定時間後，頻繁的替換幾乎将原本有序的結果數組全部換血。結果數組被替換的元素越多，查找最小元素要周遊的範圍就越大，當被替換的元素個數接近結果數組的大小時，solution_4就退化成solution_3。因為solution_4很快退化也就直接導緻它的效率沒有本質上的提高。
找出了原因，就應該找出一個解決的辦法。通過上面的分析，知道solution_3和solution_4最消耗時間的是查找最小元素這一操作，将它減少（或去除）才有可能從本質上提高效率。這樣思路又回到保持結果數組有序這一條老路上來。在上一節我們談到保持數組有序的插入算法将帶來大量的元素移動，頻繁的插入操作将使這一方法在效率上得不償失。有沒有辦法讓元素移動去掉呢？答案也是有的——那就是使用連結清單。這時新的問題又來了，連結清單因為是非随機存取資料結構，插入前尋找位置的算法又是O(n)的。解決新的問題的答案是使用AVL樹，但AVL樹雖然插入和查找都是O(logn)，可是需要在插入後進行調整保持平衡，這又是一個耗費大量時間的操作。分析到現在，發現我們像進了迷宮，左沖右突都找不到突破口。
現在請靜下來想一想，如果思考結果沒有跳出上面這個怪圈，那我不幸地告訴你：你被我誤導了。這個故意的誤導是要告誡大家：進行算法優化必須時刻保持自己頭腦清醒，否則時刻都有可能陷入這樣的迷宮當中。現在跳出這個怪圈重新思考，根據前文的分析，可知目标是減少（或去除）查找最小元素的操作次數（或查找時間），途徑是讓ResArr保持有序，難點在于給ResArr排序太費時。反過來想一想，是否需要時刻保持ResArr有序？答案為否，因為當查找最小元素需要周遊的範圍較小時，速度還是很快的，這樣就犯不着在每替換一個元素的時候都排序一次，而僅需要在無序元素較多的時候适時地排序即可（即保持查找最小元素要周遊的範圍較小）。這個思想有用嗎？寫代碼來測試一下：
template< class T, class I >
void solution_5( T BigArr[], T ResArr[] )
{
//同solution_4，略
//這個後續元素比ResArr中最小的元素大，則替換。
if( BigArr[i] > ResArr[MinElemIdx] )
{
ResArr[MinElemIdx] = BigArr[i];
if( MinElemIdx == ZoneBeginIdx )
--ZoneBeginIdx;
//太多雜亂元素的時候排序
if( ZoneBeginIdx < 9400 )
{
std::sort( ResArr, ResArr + RES_ARR_SIZE, std::greater() );
ZoneBeginIdx = MinElemIdx = RES_ARR_SIZE - 1;
continue;
}
//同solution_4，略
}
代碼中的9400是經過試驗得出的最好數值，即在有600個元素無序的時候進行一次排序。測試的結果令人驚喜，用時僅400毫秒左右，約為solution_4的五分之一，這也證明了上述思想是正确的。
殚思極慮
腳步永遠向前，在取得solution_5這樣的成果之後，仍然有必要分析和優化它。對這一看似已經完美的算法進行下一次優化要從哪裡着手？這時候要借助于性能剖分工具了，常用的有Intel的VTune以及Microsoft Visual C++自帶的profile等。使用MS profile對solution_5分析産生的報告如下（略去一些無關資料）：
Func Func+Child Hit
Time % Time % Count Function
---------------------------------------------------------
37.718 1.0 3835.317 99.5 1 _main (algo.obj)
111.900 2.9 3220.082 83.6 1 solution_5(int * ...
0.000 0.0 3074.063 79.8 112 _STL::sort(int *,...
……
可以發現sort函數的調用用去了将近80%的時間，這表明sort函數是問題所在，優化應該從這裡着手。但正如前文所說，STL的sort已經高度優化速度很快了，再對他作優化是極難的；而且sort函數裡又調用了其它STL内部函數，如蛛絲般牽來繞去，讀得懂已經不是一般人可完成的了，優化從何談起？
我們不能左右天氣，但我們可以左右心情；我們不能修改sort函數，但我們可以控制sort的調用。再看看solution_5裡對sort的調用有沒有什麼蛛絲馬迹可尋：
std::sort( ResArr, ResArr + RES_ARR_SIZE, std::greater() );
這個調用是把結果數組ResArr重新排序一遍。需要把整個ResArr完全重新排序嗎？答案是需要的，但可以不使用這個方法。因為ResArr裡的元素絕大部分是有序的（結合上文可知前面94%的元素都有序），待排序的隻是6%。隻要把這600個資料重新排序然後将前後兩個有序數組歸并為一個有序數組即可（歸并算法的時間複雜度為O(n+m)），将因為排序的資料量較少而大大節約時間。寫代碼如下：
template< class T, class I >
void solution_6( T BigArr[], T ResArr[] )
{
//同solution_5，略
//太多雜亂元素的時候排序
if( ZoneBeginIdx < 9400 )
{
std::sort( ResArr + 9400, ResArr + RES_ARR_SIZE, std::greater() );
std::merge(ResArr, ResArr + 9400, ResArr + 9400, ResArr + RES_ARR_SIZE, BigArr, std::greater() );
memcpy( ResArr, BigArr, sizeof(T) * RES_ARR_SIZE );
//同solution_5，略
}
經測試，solutio_6的運作時間為250毫秒左右，比solution_5快了将近一半，通過profile分析報告計算sort函數和merge函數的占用時間總計約為執行時間的19.6%，遠小于solution_5的占用時間。
結束語
一番努力之後，終于将一個原來需要近一個小時才能解決的問題用250毫秒完成，文章到這裡要完結，不過上述算法仍有可優化的餘地，這就要讀者朋友自己去挖掘了。我希望看到這篇文章的人不僅僅是贊歎算法的奇妙，更希望能夠學會算法優化的方法和技巧。對于算法優化的方法，我總結如下（僅供參考及抛磚引玉之用）：
不斷地否定自己的方法[全文]
減少重複計算[solution_3]；
不要做沒要求你做的事[solution_3]；
深化對需求的了解[solution_4]；
溫故而知新，多重讀自己的算法代碼[solution_4]；
從程式的輸出（或者中間結果）裡找突破[solution_5]；
時刻保持頭腦清醒，常常跳出習慣的框框[solution_5]；
善于使用工具[solution_6]；
養成解決一個問題思考多個方案的習慣[全文]。
最後要講的一點就是STL裡提供了一個可以直接完成這一問題的算法——nth_element。經測試，nth_element在大數組比較小的時候速度比以上算法都要快，但在大數組尺寸為1億的時候所用的時間為1.3秒左右，是solution_6運作時間的5倍。原因在于nth_elenemt的實作方法跟本文介紹的算法大不相同，有興趣的朋友可以去閱讀其源碼。建議大家在一般情況下使用STL的nth_element，它在數量為十萬級的時候仍有極好的性能。
參考資料：
[1] 侯捷 《STL源碼剖析》 華中科技大學出版社 2002年6月
[2] Anany Levitin 潘彥[譯] 《算法設計與分析基礎》 清華大學出版社 2004年6月
[3] http://job.csdn.net/n/20051216/31105.html
注：
[1] 此題目版權歸出題人或者其機關所有
[2] 本文所有的優化都針對于平均情況，即大數組由随機數構成且無序
[3] 所有測試均設BIG_ARR_SIZE = 1億，RES_ARR_SIZE = 1萬，測試的機器配置為：CPU P4EE 3.0G + 512 M memory，HyperThreading Enabled，作業系統：Windows 2000 pro，編譯器： MS VC++ 6.0 + sp6，STL庫： STLport 4.6.2；可從我的部落格http://lanphaday.bokee.com下載下傳本文所有算法源碼和測試程式。
[4] 如果要求有序，可以通過先找出結果，再對結果排序完成要求。
![七牛雲-C#SDK-上傳-前期準備[圖]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)