【線性代數（8）】矩陣行列式、伴随矩陣、逆矩陣

逆矩陣

• ​​1 矩陣行列式​​
• ​​2 伴随矩陣​​
• ​​3 逆矩陣​​

• ​​3.1 逆矩陣概念​​
• ​​3.2 逆矩陣的性質​​

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1 矩陣行列式

方陣的行列式：将矩陣中的元素拿出來，用行列式的形式表示

如何了解這個裡的矩陣行列式？ 可以把矩陣當做一個類，那麼就可以把行列式了解其中的一個屬性，矩陣還有特征值、特征向量等等屬性

方陣行列式的性質：

例題，為5階矩陣，

(1)

(2)

(3)

(4)

2 伴随矩陣

隻有方陣才有伴随矩陣。矩陣的伴随矩陣：求所有元素的代數餘子式，按行求的代數餘子式按列放構成的矩陣，比如

求解出的伴随矩陣為

任意方陣,伴随矩陣的性質：

• （1）按行求，按列放
• （2），證明過程直接将式子展開，元素之間相乘後化簡就是了
• （3），恒成立
• （4）

3 逆矩陣

3.1 逆矩陣概念

假使為n階方陣，如果存在n階方陣，滿足，則稱的逆矩陣就為，記作

逆矩陣性質：

• （1）未必所有的方陣都可逆，比如零矩陣
• （2）若方陣可逆，那麼逆矩陣唯一
• （3），說明方陣為非奇異、非退化、滿秩矩陣，可逆
• （4）可逆的充要條件為
• 推論（條件比定義的要求要弱一點）：為n階方陣，如果存在n階方陣,滿足滿足，則可逆，

逆矩陣求解：

（1）按照定義，可以使用伴随矩陣求解，但是過程太麻煩了

（2）初等變換法，一般使用的方式

例題，，其中,求解

解：按照定義求解，上面已經得到了的伴随矩陣，這裡直接就進行計算出,即可

例題，,證明可逆，

解：這種隻給了式子證明可逆的行為，就是要求努力拼湊出定義的式子，将湊在右邊時，就出來了

例題，，已知，求解

解：先将給出的等式進行化簡，如下(要特别注意矩陣相乘的時候的位置，“左乘”和“右乘”是有很大差別的)

特别注意：

1）矩陣相乘時候的方向位置很重要，和不一樣

2）沒有矩陣和數值的加減法，是以要自覺補充，

3）在分母上不要出現矩陣，不應該出現

4）先判斷可逆，再寫逆矩陣。在使用之前，一定要先判斷是可逆的，也就是行列式的值不為0.（容易掉進坑裡面去）

5）伴随矩陣求解

6）初等變換求解（之後梳理）

3.2 逆矩陣的性質

• （5）可逆，可逆，則，對比轉置的性質
• （6）均可逆，可逆，，對比轉置的性質
• （7）可逆，可逆，則
• （8）可逆，
• （9）可逆，也可逆，則

最後結合這伴随矩陣和逆矩陣的性質，求解和