轉載于：https://blog.csdn.net/reborn_lee/article/details/81139195
序言
這裡講的離散時間傅裡葉變換（DTFT）是針對離散非周期信号的DTFT，事實上，DTFT本身也就是為了表示非周期信号而出現的。
推導的過程采用與連續時間傅裡葉變換完全并行的思路，連續時間傅裡葉變換的推導參看博文：連續時間信号的傅裡葉變換
對連續時間傅裡葉變換的一點回顧：
在連續時間傅裡葉變換這篇博文中，我們看到，一個連續時間周期方波的傅裡葉級數可以看成一個包絡函數的采樣值，并且随着這個方波周期的增大，這些樣本越來越密。這一性質就讓人想到一個非周期信号 x ( t ) x(t) x(t)可以這樣來表示，即首先産生一個周期信号 x ( t ) ~ \tilde{x(t)} x(t)~，使 x ( t ) ~ \tilde{x(t)} x(t)~在一個周期内等于 x ( t ) x(t) x(t)，然後随着這個周期無限大， x ( t ) ~ \tilde{x(t)} x(t)~就會在一個越來越大的時間間隔上等于 x ( t ) x(t) x(t)，這樣對 x ( t ) ~ \tilde{x(t)} x(t)~的傅裡葉級數表示也就收斂于 x ( t ) x(t) x(t)的傅裡葉變換表示。
采用與連續時間傅裡葉變換完全并行的思路推理
綜合公式：
分析公式：
在推導這些公式的過程中，可以看出一個非周期序列是怎樣被看成複指數信号的線性組合的。事實上，綜合公式：
本身就是把序列 x [ n ] x[n] x[n]作為一種複指數序列的線性組合來表示的，這些複指數序列在頻率上是無限靠近的，其幅度為 X ( e j w ) X(e^{jw}) X(ejw)往往稱為 x [ n ] x[n] x[n]的頻譜，因為它給出這樣的資訊： x [ n ] x[n] x[n]是怎樣由這些不同頻率的複指數序列組成的。
值得提及的是，與連續時間情況一樣，上述離散時間傅裡葉變換的推導過程給我們在離散時間傅裡葉級數和離散時間傅裡葉變換之間提供了一種重要的關系。特别是一個周期序列 x [ n ] ~ \tilde{x[n]} x[n]~的傅裡葉系數 a k a_{k} ak可以用一個有限長序列 x [ n ] x[n] x[n]的傅裡葉變換的等間隔樣本來表示，這個 x [ n ] x[n] x[n]就等于一個周期上的 x [ n ] ~ \tilde{x[n]} x[n]~，而在其餘地方為0。
一句重要的廢話（了解）：
下面這句話，在看完這個系列的博文後就能懂得。
正如推導過程中表明的，離散時間傅裡葉變換和連續時間傅裡葉變換相比有很多相似之處。兩者的主要差别在于①離散時間傅裡葉變換 X ( e j w ) X(e^{jw}) X(ejw)的周期性和②在綜合公式中的有限積分區間。
這兩者來自這樣的一個事實：在頻率上相差 2 π 2\pi 2π的離散時間複指數信号是完全一樣的。（參考博文：離散時間複指數序列的周期性質）。
由離散時間周期信号的傅裡葉級數這篇博文，可知，對周期離散時間序列而言，這就意味着傅裡葉級數系數也是周期的，并且傅裡葉級數表示是一個有限項的和式。
對非周期信号而言，這就意味着 X ( e j w ) X(e^{jw}) X(ejw)也是周期的，周期為 2 π 2\pi 2π，并且綜合公式隻涉及一個頻率區間内的積分，這個頻率區間就是産生不同複指數信号的那個間隔，即任何 2 π 2\pi 2π長度的間隔。
最後再次來一個重磅的結論：
e j w n e^{jwn} ejwn作為 w w w的函數的周期性的進一步的結果是：
w = 0 w=0 w=0和 w = 2 π w=2 \pi w=2π都得到同一個信号。是以，位于這些頻率值或者任何 π \pi π偶數倍的 w w w附近都是慢變化的，進而都對應低頻率的信号；而靠近 π \pi π的奇數倍的 w w w，在離散情況下都相應于高的頻率。
如下圖：
注：下面的這些結論不看也罷，我隻是覺得有意思才貼出來的。