機器學習數學基礎

文章目錄

• 一、學習任務
• 二、學習内容
• • 1.梯度下降法的一般求解步驟
  • 2.梯度下降法手工求解極值
  • • 2.1.計算過程
  • 3. Excel中利用梯度下降求解近似根
  • 4.線性回歸問題求解
  • • 4.1.最小二乘法
    • 4.2.梯度下降法
• 三、參考資料

一、學習任務

1. 解釋微分、梯度的含義？ 什麼是梯度下降法？

   1）用梯度下降法手工求解

   

2）在Excel裡用牛頓法、或者梯度下降法求解 z=2(x-1)2+y2 的近似根。

2.線性回歸可以用最小二乘法求解，也可以用梯度下降法求解。調試、運作并詳細注解文中的梯度下降法求解回歸方程的python代碼，對獲得的結果與最小二乘法的結果進行對比。調試、運作并詳細注解文中的梯度下降法求解回歸方程的python代碼，對獲得的結果與最小二乘法的結果進行對比。

二、學習内容

1.梯度下降法的一般求解步驟

2.梯度下降法手工求解極值

2.1.計算過程

2.

3.

3. Excel中利用梯度下降求解近似根

1.設定表格内容

2.設定（x，y）的初始值為（2，1）

3.其他表格輸入計算公式

4.疊代結果

當學習率取0.1的時候，疊代2000多次仍舊沒有出現函數值為0的情況，是以更改學習率為0.15

4.線性回歸問題求解

4.1.最小二乘法

1.相關代碼

from sklearn import linear_model        
import seaborn as sns
m = 20
X0 = ones((m, 1))
X1 = arange(1, m+1).reshape(m, 1) 
X = hstack((X0, X1)) 
Y = np.array([
	    3, 4, 5, 5, 2, 4, 7, 8, 11, 8, 12,
	    11, 13, 13, 16, 17, 18, 17, 19, 21
	]).reshape(m, 1)
           

2.線性回歸

model = linear_model.LinearRegression()
model.fit(X1,Y) 
print("斜率=",model.coef_[0])
print("截距為=",model.intercept_)
           

3.結果繪制

def plot(X, Y, theta):
    ax = plt.subplot(111)  
    ax.scatter(X, Y, s=30, c="blue", marker="s")
    plt.xlabel("X")
    plt.ylabel("Y")
    x = arange(0, 21, 0.2) 
    y =  model.intercept_+ model.coef_[0]*x
    ax.plot(x, y)
    plt.show()
plot(X1, Y, model.coef_[0])
           

4.2.梯度下降法

1.代價函數

2.相關代碼

from numpy import *
m = 20
X0 = ones((m, 1)) 
X1 = arange(1, m+1).reshape(m, 1)  
X = hstack((X0, X1))  
Y = np.array([
    3, 4, 5, 5, 2, 4, 7, 8, 11, 8, 12,
    11, 13, 13, 16, 17, 18, 17, 19, 21
]).reshape(m, 1)
alpha = 0.01
import matplotlib.pyplot as plt
plt.scatter(X1,Y,color='red')
plt.show()
           

3.繪制結果

4.代價函數定義及代價函數的梯度函數

def cost_function(theta, X, Y):
    diff = dot(X, theta) - Y  # dot() 
    dot()
    return (1/(2*m)) * dot(diff.transpose(), diff)
    
def gradient_function(theta, X, Y):
    diff = dot(X, theta) - Y
    return (1/m) * dot(X.transpose(), diff)
           

梯度下降疊代

# 梯度下降疊代
def gradient_descent(X, Y, alpha):
    theta = array([1, 1]).reshape(2, 1)
    gradient = gradient_function(theta, X, Y)
    while not all(abs(gradient) <= 1e-5):
        theta = theta - alpha * gradient
        gradient = gradient_function(theta, X, Y)
    return theta
optimal = gradient_descent(X, Y, alpha)
print('optimal:', optimal)
print('cost function:', cost_function(optimal, X, Y)[0][0])
           

5.線性結果繪制

相關代碼

def plot(X, Y, theta):
    ax = plt.subplot(111) 
    ax.scatter(X, Y, s=30, c="red", marker="s")
    plt.xlabel("X")
    plt.ylabel("Y")
    x = arange(0, 21, 0.2) 
    y = theta[0] + theta[1]*x
    ax.plot(x, y)
    plt.show()
plot(X1, Y, optimal)
           

結果

三、參考資料

深入淺出–梯度下降法及其實作

梯度下降算法原理講解——機器學習