Euler Clustering, Jian-Sheng Wu, Wei-Shi Zheng, Jian-Huang Lai, IJCAI2013
1 簡介（Introduction）
Euler Clustering 作為一種特殊的 Kernel k-means 聚類算法，明式地映射實數空間的資料到相同維數的複數空間，使得它可以有效地處理大規模問題。
2 預備知識（Preliminary）
2.1 基于 Kernel 的 k-means（Kernel k-means）
Kernel k-means 首先使用一個核函數隐式的把資料點從原空間映射到 RKHS 空間（無限維空間資料線性可分），然後在 RKHS 空間 對資料進行聚類。
具體來說，
為資料集，
為映射函數，C 為聚類個數。kernel k-means 使用 通過最小化 distortion error 來聚類：
其中 mc 為 聚類中心（representative prototype）：
獲得最優的 mc 後，剩餘的資料點配置設定給離它最近的 prototypes ：
但是由于資料點在 RKHS 空間的隐式表示，是以 cluster prototypes 不能被明式表示，是以隻能使用 kenel trick 來計算 mc
明顯它要求較大的記憶體來存儲 full kernel matrix 。每次疊代要求 O(Cn2)
2.2 歐拉 Kernel（Euler Kernel）
不同于一般的 Mercer 核， Euler Kernel 矩陣 定義在複數空間（complex space）。Euler Kernel 矩陣的 第 (j, q) 個元為
此外我們有 KH=K ，因為 Kqj=K−jq，− 表示複共轭操作（complex conjugate operator）。
Euler kernel 映射資料從 d 維實數空間（real space ） 到 d 維複數 RKHS 空間（complex RKHS space ）
其中 i 為虛數機關 （ imaginary unit）。
是以， RKHS 中 兩個映射點的平方Euclidean距離函數 d( ; )
這裡 d 為一個實數。是以盡管 kernel matrix 定義在複數空間，d 仍然可以用來度量兩個點之間的相似度。
3 歐拉聚類（Euler Clustering）
Euler kernel 明式地映射資料從實數空間到複數空間，它在複數空間的映射可以明式地表示。是以， cluster representative prototype mc
根據 kernel k-means，有最優的 mc 為
由（6）有
由此我們推導出 Euler clustering 的準則：
全部的算法如下：
時間複雜性：