機率統計Python計算：全機率公式

1. numpy數組的按元素計算

設完備事件組 A 1 , A 2 , ⋯   , A n A_1,A_2,\cdots,A_n A1​,A2​,⋯,An​作為引發事件 B B B的 n n n個因素。諸因素的先驗機率構成的序列為 P ( A 1 ) , P ( A 2 ) , ⋯   , P ( A n ) P(A_1),P(A_2),\cdots,P(A_n) P(A1​),P(A2​),⋯,P(An​)，在諸因素 A i A_i Ai​發生的條件下，事件 B B B的似然度構成序列 P ( B ∣ A 1 ) , P ( B ∣ A 2 ) , ⋯   , P ( B ∣ A n ) P(B|A_1),P(B|A_2),\cdots,P(B|A_n) P(B∣A1​),P(B∣A2​),⋯,P(B∣An​)，這兩個序列是等長（所含元素個數相同）的。序列對應元素積之和 ∑ i = 1 n P ( A i ) P ( B ∣ A i ) \sum\limits_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i) i=1∑n​P(Ai​)P(B∣Ai​)，即為用全機率公式計算的事件 B B B的機率 P ( B ) P(B) P(B)。Python的numpy包提供的數組array類的兩個等長（所含元素個數相同）對象之間就支援這樣的“按元素”運算：對應元素分别計算，得到一個新的數組（如圖所示）。

運算包括常見的加+、減-、乘*、除/、幂**以及各種函數計算。例如以下代碼示例了等長數組間的四則運算：

import numpy as np
x=np.array([2, 3, 4])
y=np.array([1, 2, 3])
print(x+y)
print(x-y)
print(x*y)
print(x/y)
           

運作程式，輸出

[3 5 7]
[1 1 1]
[ 2  6 12]
[2.         1.5        1.33333333]
           

2. 全機率公式計算

利用numpy的這一技術，将計算全機率公式的算法表示成如下的函數定義：

def totalProb(prioProbs, likelihood):   #參數類型為np.array
    return (prioProbs*likelihood).sum() #按元素乘法然後求和
           

上列程式定義了計算全機率公式的函數totalProb，該函數有兩個numpy數組類型的參數：表示完備組先驗機率序列的prioProb和表示似然度序列的likelihood。函數計算先驗機率序列prioProb和似然度序列likelihood按元素的積（prioProbs*likelihood），然後調用該數組的sum方法對所得序列求和（(prioProbs*likelihood).sum()），最後将所得值作為傳回值傳回（第2行）。

例1 設某倉庫有一批産品，已知其中甲、乙、丙三個工廠生産的産品依次占 50 % 50\% 50%， 30 % 30\% 30%和 20 % 20\% 20%，且甲、乙、丙廠的次品率分别為 1 / 10 1/10 1/10， 1 / 15 1/15 1/15和 1 / 20 1/20 1/20。現從這批産品中任取一件，求取得正品的機率。

解：設事件“從倉庫中任取一件産品是正品”為 B B B。 A 1 , A 2 , A 3 A_1, A_2, A_3 A1​,A2​,A3​分别表示事件：“産品是甲、乙、丙廠生産的”，則 A 1 , A 2 , A 3 A_1, A_2, A_3 A1​,A2​,A3​構成一個完備事件組，可視為事件 B B B發生的3個因素。按題設 P ( A 1 ) = 1 / 2 P(A_1)=1/2 P(A1​)=1/2， P ( A 2 ) = 3 / 10 P(A_2)=3/10 P(A2​)=3/10， P ( A 3 ) = 1 / 5 P(A_3)=1/5 P(A3​)=1/5（各因素的前驗機率），且由 P ( B ˉ ∣ A 1 ) = 1 / 10 P(\bar{B}|A_1)=1/10 P(Bˉ∣A1​)=1/10， P ( B ˉ ∣ A 2 ) = 1 / 15 P(\bar{B}|A_2)=1/15 P(Bˉ∣A2​)=1/15， P ( B ˉ ∣ A 3 ) = 1 / 20 P(\bar{B}|A_3)=1/20 P(Bˉ∣A3​)=1/20，得 P ( B ∣ A 1 ) = 9 / 10 P(B|A_1)=9/10 P(B∣A1​)=9/10， P ( B ∣ A 2 ) = 14 / 15 P(B|A_2)=14/15 P(B∣A2​)=14/15及 P ( B ∣ A 3 ) = 19 / 20 P(B|A_3)=19/20 P(B∣A3​)=19/20（B相對于各因素的似然率）。

運用全機率公式計算事件“從倉庫中任取一件産品是正品”的機率 P ( B ) P(B) P(B)，實際上就是将各因素的先驗機率序列 [ P ( A 1 ) , P ( A 2 ) , P ( A 3 ) ] [P(A_1), P(A_2), P(A_3)] [P(A1​),P(A2​),P(A3​)]與似然率序列 [ P ( B ∣ A 1 ) , P ( B ∣ A 2 ) , P ( B ∣ A 3 ) ] [P(B|A_1), P(B|A_2), P(B|A_3)] [P(B∣A1​),P(B∣A2​),P(B∣A3​)]逐元素相乘，然後求和而得：

P ( B ) = P ( A 1 ) P ( B ∣ A 1 ) + P ( A 2 ) P ( B ∣ A 2 ) + P ( A 3 ) P ( B ∣ A 3 ) = 1 2 ⋅ 9 10 + 3 10 ⋅ 14 15 + 1 5 ⋅ 19 20 = 23 / 25. P(B)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+P(A_3)P(B|A_3)\\=\frac{1}{2}\cdot\frac{9}{10}+\frac{3}{10}\cdot\frac{14}{15}+\frac{1}{5}\cdot\frac{19}{20}=23/25. P(B)=P(A1​)P(B∣A1​)+P(A2​)P(B∣A2​)+P(A3​)P(B∣A3​)=21​⋅109​+103​⋅1514​+51​⋅2019​=23/25.

下列程式驗算本例。

import numpy as np                          #導入numpy
from sympy import Rational as R             #導入Rational類
prioProb=np.array([R(1,2), R(3,10), R(1,5)])
likelihood=np.array([R(9,10), R(14,15), R(19,20)])
p=totalProb(prioProb, likelihood)
print('P(B)=%s'%p)
           

第3、4行分别将 A 1 , A 2 , A 3 A_1,A_2,A_3 A1​,A2​,A3​的先驗機率序列 { 1 / 2 , 3 / 10 , 1 / 5 } \{1/2,3/10,1/5\} {1/2,3/10,1/5}和對 B B B的似然度序列 { 9 / 10 , 14 / 15 , 19 / 20 } \{9/10,14/15,19/20\} {9/10,14/15,19/20}分别設定為numpy（第1行導入）的array類數組prioProbs和likelihood。第5行調用函數totalProb，傳遞參數prioProb和likelihood，傳回值賦予p。第7行輸出計算結果：

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