一進制三次方程的求解公式的解法隻能用歸納思維得到,即根據一進制一次方程、一進制二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式歸納出一進制三次方程的求根公式的形式.歸納出來的形如 x^3+px+q=0的一進制三次方程的求根公式的形式應該為x=A^(1/3)+B^(1/3)型,即為兩個開立方之和.歸納出了一進制三次方程求根公式的形式,下一步的工作就是求出開立方裡面的内容,也就是用p和q表示A和B.方法如下：\x0d(1)将x=A^(1/3)+B^(1/3)兩邊同時立方可以得到\x0d(2)x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))\x0d(3)由于x=A^(1/3)+B^(1/3),是以(2)可化為\x0dx^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x,移項可得\x0d(4)x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0,和一進制三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比較,可知\x0d(5)－3(AB)^(1/3)＝p,－(A+B)=q,化簡得\x0d(6)A+B＝－q,AB＝-(p/3)^3\x0d(7)這樣其實就将一進制三次方程的求根公式化為了一進制二次方程的求根公式問題,因為A和B可以看作是一進制二次方程的兩個根,而(6)則是關于形如ay^2+by+c=0的一進制二次方程兩個根的韋達定理,即\x0d(8)y1＋y2＝－(b/a),y1*y2=c/a\x0d(9)對比(6)和(8),可令A＝y1,B＝y2,q＝b/a,-(p/3)^3＝c/a\x0d(10)由于型為ay^2+by+c=0的一進制二次方程求根公式為\x0dy1＝－(b＋(b^2－4ac)^(1/2))/(2a)\x0dy2＝－(b－(b^2－4ac)^(1/2))/(2a)可化為(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)\x0dy2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)\x0d将(9)中的A＝y1,B＝y2,q＝b/a,-(p/3)^3＝c/a代入(11)可得\x0d(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋(p/3)^3)^(1/2)\x0dB＝－(q/2)+((q/2)^2＋(p/3)^3)^(1/2)\x0d(13)将A,B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得\x0d(14)x=(－(q/2)-((q/2)^2＋(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)+(－(q/2)+((q/2)^2＋(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)\x0d式(14)隻是一進制三方程的一個實根解,按韋達定理一進制三次方程應該有三個根,不過按韋達定理一進制三次方程隻要求出了其中一個根,另兩個根就容易求出了
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