1、複數
1.1 複數的定義
圖 1 - 1
從解方程來看，方程在笛卡爾坐标系上應該都有解.
但是象這樣的方程（x² + 1 = 0）還是無解，因為沒有一個實數的平方等于-1。
在十六世紀，由于解方程的需要，人們開始引進一個新數，叫做虛數機關要解決這個方程 x² = -1 ,但是于任何實數的平方都是非負數沖突，是以引入一個新的概念——複數。
虛數的定義如下 i² = -1 ①
i ^ 0 = 1
i ^ 1 = i
i ^ 2 = −1
i ^ 3 = i * i ^ 2 = −i
i ^ 4 = i ^ 2 * i ^ 2 = 1
i ^ 5 = i * i ^ 4 = i
複數的集合是一個實數和一個虛數的和，形式如下：
z = a + bi (a,b∈R, i ^ 2 = −1) ②
1.1.2 虛數的意義
圖 1 - 2
假設現在點A（1， 0） 點B（-1， 0）
那麼A點經過 逆時針旋轉90度兩次 可以到達B點
可得 1 * (逆時針旋轉90度) * (逆時針旋轉90度) = -1
設i = (逆時針旋轉90度) 則i * i = -1 也就是說i是旋轉量
實際上i ^ 1——i ^ 4 就是旋轉360度 即虛數的周期
1.2 複數的運算
圖 1 - 3
1.2.1 共轭複數
如圖（1-3）所示， 根據②可得複數可以由x軸（實數軸）與 y軸（虛數軸）确定唯一的一點，而實數相同，虛數向反的複數被稱為共轭複數。
如 z = a + bi 與 z’= a - bi ⑦
1.2.2 複數的加、減、乘法運算
根據定義② 複數 = 實數 + 虛數 則
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (bi + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) - (c + di) = (a + c) - (bi + di) = (a + c) - (b + d)i
(a + bi) * (c + di) = ac + bci + adi + bdi * i
根據定義① = (ac - bd) + (ad + bc)i
1.2.3 複數的向量與輻角
圖 1 - 4
向量： 既有絕對值大小又有方向的量
線段的長度就是這個向量的絕對值（叫做這個向量的模）
線段的方向（用箭頭表示）就是這個向量的方向。
求絕對值 |a| = (a * - a)^ 1/2
a 與 -a 是數軸x上對稱的兩點
而複數對稱的兩點分别為 a + bi 與 a - bi
則 |a + bi| = [(a + bi)(a - bi)] ^ 1/2
|a + bi| = ( a ^ 2 + b ^ 2) ^ 1/2 根據定義①
這個向量與x軸構成的夾角就是複數輻角# tan(b/a)
1.2.4 複數的旋轉
圖 1 - 5
在數軸上任何取一點 a + bi 連續與i 相乘4次 根據定義① 可得，則幾個數分别為：
1、 a + bi
2、 -b + ai
3、 -a - bi
4、 b - ai
b - ai 乘以 i 又回到了 a + bi 實際上乘以 i 是複數 a + bi (a = 0, b = 1)的特殊情況那麼一般情況的複數相乘又代表什麼呢？定義以下複數(n為複數向量的模)
p = n1(cosA + i * sinA)
q = n2(cosB + i * sinB)
則 pq = n1 * n2(cosA + i * sinA)(cosB + i * sinB)
= n1 * n2[(cosAcosB - sinAsinB) + i(sinAcosB + cosAsinB)]
= n1 * n2[cos(A + B) + isin(A + B)]
可得複數相乘 1、積的模 = 兩複數模的積 (n1 * n2 = n1 * n2)
2、積的輻角 = 兩複數輻角的和 ( A + B = A + B)
複數的相乘會使複數向量的模增加或減小，并且旋轉改變該向量的方向
而旋轉後的角度為原複數輻角的和 ④
根據④容易用複數求得方向
圖 1 - 6
如圖(1-6) 在海航上，船原來的坐标是(3 ^ 1/2, i)，經過45度的旋轉後
現在船的方向是多少
複數相乘方向不考慮模的大小，是以輻角45度可以設複數為1 + i
則 (3 ^ 1/2 + i)(1 + i) = (3 ^ 1/2 - 1) + (3 ^ 1/2 + 1)i
即為此時的方向，此時的輻角為(3 ^ 1/2 + 1) / (3 ^ 1/2 - 1) = tan75
2、 四元數的定義
2.1 四元數的記法
圖 2 - 1
歐拉證明了 一個旋轉序列等價于單個旋轉。想象一下，你有一根木棒，其中一端固定在一個地方，通過任意移動木棒，可以達到任意的角度(如圖 2 - 1)
是以， 3D空間中任意角位移都可以表示成繞單一軸的單一旋轉。
四元數的一般形式：
q = w + xi + yj + zk w,x,y,z∈R
四元數的簡寫形式：
q = [cosA, sinA * n] ⑥
= [cosA, (sinA * n_x, sinA * n_y, sinA * n_z)]
w == 木棒的長度 (i, j, k)相當于三維空間的坐标
2.1.2 複數與笛卡爾乘積
圖 2 - 2
設向量OA = A， 向量OB = B, 向量OC = C
向量叉乘公式 C = A × B = |A||B|sin# #代表向量A、B之間的夾角 ④
圖 2 - 3
如圖(2 - 3) 假設i代表x軸的正方向， j代表y軸正方向， k代表z軸正方向
根據定義④可得 i × j = k, j × k = i
k × i = j, j × i = -k
i × k = -j, i × k = -j ⑤
可由右手定理判斷正反符号，如計算i × j
第一步 将右手的4個指頭指向第一個數i
第二步 将右手向j的方向轉
第三步 此時拇指 指向k的正方向 則i × j = k
如計算j × i
第一步 将右手的4個指頭指向第一個數j
第二步 将右手向i的方向轉
第三步 此時拇指 指向k的負方向(正方向的反方向) 則j × i = -k
2.1.3 負四元數與機關四元數
設四元數q = [w, (x, y, z)], -q = [-w, (-x, -y, -z)]
設點A(x, y, z), B(-x, -y, -z), 向量_OA = (x, y, z), 向量_OB = (-x, -y, -z)
_OA = -_OB,則A,O,B三點共線，也就是說q與 -q旋轉軸相同，又因為對于旋轉軸，長度可以忽略不計，則對于四元數q = -q
在幾何上，機關四元數的定義為乘以任意四元數q，得到的結果為q。如圖2-1，将這條線段繞多少度可以變回原來的樣子，顯然是360度整數倍數，又根據 ⑥ 可得機關四元數為q = [cos(360n), sin(360n)n] = [1, 0] = [-1, 0]
2.1.4 四元數的模
||q|| = ||[w, (x, y, z)]|| = (w ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ 1/2
= ||[w, v]|| = (w ^ 2 + ||v|| ^ 2) ^ 1/2
根據⑥，代入A和n可得：
||q|| = ||[w, v]||
= (cosA ^ 2 + (sinA||n||) ^ 2) ^ 1/2
n為機關向量，則：
||q|| = (cosA ^ 2 + sinA ^ 2) ^ 1/2 = 1
可得機關四元數的模為1
2.1.5 四元數的叉乘
q = [w1, (x1, y1, z1)]
p = [w2, (x2, y2, z3)]
pq = (w1w2 − x1x2 − y1y2 − z1z2)
+(w1x2 + w2x1 + y1z2 − y2z1)i
+(w1y2 + w2y1 + z1x2 − z2x1)j
+(w1z2 + w2z1 + x1y2 − x2y1)k
= (w1w2 − x1x2 − y1y2 − z1z2)
+ w1(x2i + y2j + z2k) + w2(x1i + y1j + z1k)
+ (y1z2 - y2z1)i + (z1x2 - z2x1)j + (x1y2 - x2y1)k
設A = (x2i + y2j + z2k)，B = (x1i + y1j + z1k)
又根據:
1、向量的點積 A ▪ B = x1x2(i * i) + y1y2(j * j) + z1z2(k * k)
= x1x2 + y1y2 + z1z2 (向量的點積是标量 此處i = j = k = 1)
2、 向量的叉乘 A × B = x1y1(i * i) + x1y2(i * j) + x1z2(i * k)
+ y1x2(j * i) + y1y2(j * j) + y1z2(j * k)
+ z1x2(k * j) + z1y2(k * j) + z1z2(k * k)
在根據⑤ 化簡可得 A × B = (y1z2 - y2z1)i + (z1x2 - z2x1)j + (x1y2 - x2y1)k
則pq = (w1w2 - A ▪ B) + (w1A + w2B + A × B)
= [w1w2 - A ▪ B, w1A + w2B + A × B] ⑧
結論：四元數乘積的模等于模的乘積 ⑨——> 兩個機關四元數相乘的結果還是機關四元數
假設p, q分别為機關四元數
則p = [1, 0], q = [1, 0]
||pq|| = ||1 + 0 + 0 + 0|| = ||1|| = 1
||p|| * ||q|| = ||1|| * ||1|| = 1
2.1.7 四元數共轭和逆
根據⑦可得
q’ = [w, v]’= [w, v’]
= [w, (-x, -y, -z)] ⑩
四元數的逆為 q ^ -1, 定義為四元數的共轭除以他的模
q ^ -1 = q’/ ||q||
結論：(ab) ^ -1 = (b^-1)(a^-1)
設 a = [w1, v1]
b = [w2, v2]
則 (ab)^-1 = (ab)’/ ||ab||
根據⑧ (ab) = [w1w2 - v1 ▪ v2, w1v1 + w2v2 + v1 × v2]
根據⑩ (ab)’ = [w1w2 - v1 ▪ v2, -(w1v1 + w2v2 + v1 × v2)]
b’ = [w2, -v2]
a’ = [w1, -v1]
根據⑤⑧可得
b’a’ = [w1w2 - v1 ▪ v2, -(w1v1 + w2v2 + v1 × v2)]
(b^-1)(a^-1) = b’a’/ ||b||||a||
根據⑨ ||ab|| = ||b||||a||
又因為 (ab)’ = b’a’
則(ab) ^ -1 = (b^-1)(a^-1)成立
可得 (q1q2q3...qn) ^ -1 = (qn)^-1...(q2^-1)(q1^-1)
即四元數的乘積的逆等于各個四元數的逆以相反順序相乘 ⑪
2.1.8 四元數的旋轉
根據④可得 複數的相乘可以表示2D上的旋轉
那麼四元數的相乘是否可以表示3D上的旋轉呢?
就如同三維上的點(x, y, z) 當z = 0時可以表示為二維上的點
同理将四維上的點[w, v] 當w = 0時可以表示三維上的點
設 p = [0, (ai, bj, ck)]
q = [w1, (x1i, y1j, z1k)] (表示旋轉軸)
q^-1 = [w1, -(x1, y1, z1)]
qp = [-(ax1 + by1 + cz1), (aw1 + cy1 - bz1)i,
(bw1 + az1 - cx1)j, (cw1 + ay1 - bx1)k]
pq^-1 = [(ax1 + bx1 + cz1), (aw1 - bz1 + cy1)i,
(bw1 - cx1 + az1)j, (cw1 - bx1 + ay1)k]
觀察可得qp 與 pq^-1的第四維互為相反數，而在三維坐标上的點相同
也就是說都是沿相同的方向轉過了相同的角度。又因為他們的模相同
則qp 與 pq^-1的幾何意義是兩個相同的旋轉
而qp 可以通過複數q與複數p相乘得到
pq^-1可以通過複數q^-1與複數p相乘得到
将向量q與q^-1平移到圓點，如圖(2-4)所示
圖 2 - 4
第一次旋轉為qp
第二次旋轉為(qp)q^-1
設旋轉的結果後為p’ 則p’ = qpq^-1 ⑫
因為是旋轉了兩次，是以需要用四元數計算旋轉的時候，角度是 (2 * #) / 2 = 2
即按照目标角度的一半來計算 (2 * #)的幾何意義為目标角度
3、 四元數的插值
3.1 普通線性插值
圖 3 - 1
如圖(3-1）,在一條直線AB上插入任意一個值，我們需要的是點D的坐标。如圖所示過A、B點分别做x軸的垂線。分别交予x軸與點E、F。過A點做與BF的垂線，交于點C，連接配接AC。
在AB上任意取一點D，過D點做與AC的垂線，交于點M。
設D（x0, y0)
則x0 - x1 = AM
顯然∠BAC = ∠DAM
tan∠BAC = BC / AC
tan∠DAM = DM / AM
則 BC / AC = DM / AM
AC = x2 - x1, BC = y2 - y1
DM = (y2 - y1 / x2 - x1 )(x0 - x1)
y0 = AE + DM = y1 + (y2 - y1 / x2 - x1 )(x0 - x1)
即 y0 = y1 + (y2 - y1 / x2 - x1 )(x0 - x1)
圖 3 - 2
在平面上任意取A點與B點，做向量_OA與向量_OB。連接配接AB，做向量_AB。在AB上任意取一點C，做向量_OC。
則1. _OA + _AB = _OB, _OA + _AC = _OC
因為點C在直線AB上，則_AC 與 _AB共線， 設_AC = t _AB
則2. _OC = _OA + t_AB
标準線性插值公式：lerp(a0, a1, t) = a0 + t△a △a = a1 - a0 ⑬
設a0 = _OA, a1 = _OB 根據1與2可得
_OC = a0 + t△a △a = a1 - a0
3.2 四元數插值——slerp
圖 3 - 3
在球形體中插值，顯然軌迹是弧形的，如圖(3-3)所示。
顯然點C在弧AB的運動過程中，線段OC的長度的不變的
而普通的線性插值_OC的長度是會改變的， 如圖(3-2)
圖 3 - 4
sleap的基本思想是 沿4D球面上連接配接的兩個四元數的弧插值(球面插值)
把這種思想表現在平面上
如圖(3-4)，設兩個2D向量_OA與_OB，我們需要計算_OC，設w是_OA到_OB弧所截的角
為了友善計算 設v0 = _OA, v1 = _OB, vt = _OC
将vt表示成v0與v1的線性組合： vt = kovo + k1v1
圖 3 - 5
過C點做OB的平行線，交OA與點M。分别過點B與點C做于OA的垂線，分别交線段OA于點E、M。
易得△BOE與△CMF是相似三角形
則 OB / BE = CM / CF
OB = |v1|, BE = OB * sinw = |v1|sinw
CM = k1|v1|, CF = OC*sintw = |vt|sintw = |v1|sintw (線段OC與OB長度相同，則|vt| = |v1|)
代入可得: k1 = sintw / sinw ⒂
圖 3 - 6
過C點做于OA的平行線，交OB于點E。過點E做OC的垂線，交OC于點F。
易得_OE = _MC = k1v1, _EC = _OM = k0v0
∠EOC = (1-t)w, ∠ECO = W
線段EF = OE sin∠EOC = EC sin∠ECO
則 k1|v1| sin((1-t)w) = k0|v0| sinw = k0|v1|sinw
根據⒂可得: k0 = sin(1 - t)w / sinw ⒃
将⒂⒃代入到 vt = kovo + k1v1
可得vt = (sin(1 - t)w / sinw )vo + ( sintw / sinw)v1
将同樣的思想擴充到四元數，重寫slerp可得：
slerp(q0, q1, t) = (sin(1 - t)w / sinw )q0 + ( sintw / sinw)q1
而w， 可以計算q1和q2的點積進而得出角度w：
cosw = q1▪q2 / |q1||q2|
這樣的作法會産生兩個問題：
圖 3 - 7
1. 可能會繞遠路，将點A旋轉到OB旋轉軸，可以順時針旋轉也可以逆時針旋轉。
設∠BOA = w， 顯然當w小于90度的時候，順時針旋轉所需要的路徑較短，而當w大于90度的時候，逆時針旋轉所需要的路徑較短。
首先我們需要确定w是否大于90度，可以使用：
cosw = q1▪q2 / |q1||q2| 0 < w < 180
因為 |q1||q2| > 0恒成立
是以實際上需要計算的是q1▪q2
當q1▪q2 > 0的時候, cosw > 0 w < 90
當q1▪q2 < 0的時候, cosw < 0 w > 90
确定了角度之後，我們需要的是按順時針還是逆時針旋轉
而四元數代表旋轉軸的時候q = -q
我們可以将其中一個四元數取反，總結：
q1▪q2 > 0時， 旋轉為q1q2
q1▪q2 <= 0時, 旋轉為(-q1)q2或(-q2)
2. 當w較小的時候，sinw ——> 0，sin(1 - t)w ——> 1
則(sin(1 - t)w / sinw )q0 ——> ∞
計算機沒有真正的∞，是以我們需要确定一個sinw的範圍，如當sinw < 0.0001的時候
sinw = 0.0001。
4、 個人說明
本文參考于《3D數學基礎：圖形與遊戲開發》，文中内容屬于個人(萌新)了解，可能會出現一些錯誤，歡迎大佬指正，本文僅供參考。