一、小孔相機的缺點
它能使得真實物體透過小孔在螢幕上成一個倒像。而且我們知道，理想中的小孔具有無限小的尺寸。
然而真實的小孔總是具有一定的尺寸，由于光的波動性，如果小孔太小，那麼會産生光的散射，導緻成像的模糊，而且信噪比很低，導緻圖像的噪聲較大。而相反，如果小孔太大，同一個像點的光會來自于多個物點，也會導緻圖像的模糊。是以隻有在兩者之間某個平衡的尺寸，才能讓成像既比較清晰，又具有較低的噪聲。
我們可以比較下不同尺寸小孔成像的結果，實際感受一下：
但是是上圖中最清晰的).35mm小孔所成的像，也還是有較多噪聲，不夠清晰。有什麼方法可以獲得更好的成像呢? 答案就是我今天給你介紹的：使用鏡頭。通過使用鏡頭，能夠将更多的光能集中到像平面上，提高信噪比，得到更清晰的像：
這是如何做到的呢？讓我們先看看薄透鏡模型。
二、薄透鏡模型
薄透鏡模型是一種簡化的鏡頭模型，它是現實中設計非常良好的鏡頭組的模拟。它有兩個關鍵的假設：
- 穿過光心的光線不受鏡頭影響，會直線傳輸
- 平行光穿過鏡頭後，會彙聚到焦平面上的一點上：
那麼，如果一個物點發出了一束光，它們穿過薄透鏡後的運動軌迹如何呢？
首先，穿過光心的光線會直線傳播：
其他光線呢？有一種簡易的方法來跟蹤任意一條這樣的光線：我們可以觀察平行于它且過光心的光線的走向，它過光心，是以會直線傳播，并在焦平面上成像，如下圖所示：
接着我們就可以連接配接原來的光線和虛拟光線的像點，這樣就知道原來那條光線的走向了：
來看看動圖：
根據這種模型，當對焦完成後，從一個物點發出的光線通過透鏡後會彙聚到焦平面的一點上，而從一個平行于鏡頭的平面上發出的所有點則會彙聚在同一個平面上：
如果已知物體的高度，怎麼求像的高度呢？
可以很容易的利用相似三角形來求得：
根據上圖，有
這樣就可以得出
這裡m是放大率
現在我們來看看一些特殊的情況，首先如果D' = f， 那麼是什麼情況？這意味着成像在焦點處，根據上式，m會是無窮大，D是無窮大。這意味着物體位于無窮遠處，即無窮遠處的物體通過透鏡後會在焦點處成像。
另外一種情況是D'=D=2f，這時候m = 1。這意味着物體所成的像的尺寸和物體的尺寸一緻：
三、景深
有了鏡頭，是不是對任何物體一定就可以得到比小孔相機更加清晰信噪比更高的像了呢？很可惜，并非如此。我們看看如下的例子：
這個樹的位于同一個物距上的點确實可以成像在同一個像平面。但對于其他物距上的點，則不能對焦到同樣的像平面上：
事實上，從物體上一點發出的光線通過透鏡後，最終在像平面上會變成一個二維投影，如果鏡頭是圓形的，那麼這個投影就是圓形的。我們通常稱這個投影為模糊環（Circle of Confusion)。當恰好對焦時，模糊環的直徑為0，那麼我們看到的就是一個點。而當像平面不動，物點逐漸偏離可以恰好對焦的平面時，我們就會觀察到像點逐漸變成了一個圓（或者其他鏡頭形狀的投影）。注意這裡由于人眼視力和感覺的因素，當模糊環直徑還沒有超過某個門檻值時，我們還認為投影是一個點，即成像還是清晰的，隻有超過這個門檻值時，成像才會變得模糊。這個門檻值，我們稱之為允許的最大模糊環，即Permissible Circle of Confusion，
允許的Coc尺寸受很多因素的影響，包括了觀察者離像的距離，圖像列印的材質，傳感器的像元尺寸，人眼視力等等。有一個很好的網頁列出了很多數位相機（包括數位單反）的資料：
Circles of Confusion for Digital Cameraswww.dofmaster.com
事實上，Wikipedia有關于CoC的計算公式：
總之，在一定的像距情況下，要想讓一個物體清晰成像，它必須位于一定的範圍内，這個範圍我們就稱之為景深。
景深的大緻計算公式如下，其中N是F-number即光圈值，是焦距除以鏡頭的直徑的結果，C是Permissible CoC, U是物距，f是焦距。
如果物體沒有位于景深範圍内，那麼成像就會變得模糊，我們可以看一些典型的例子。
我們可以觀察到，景深範圍小時畫面會顯得模糊，而在景深範圍内的物體則會顯得更加突出。
而景深範圍大時，畫面會顯得更加清晰
當拍攝距離很近時，畫面背景的模糊感非常強，主體很突出。這種叫做微距拍攝。
有時候我們需要非常近距離的拍攝，例如拍攝昆蟲的複眼，此時就需要非常特别的鏡頭。
根據景深計算公式，景深是和光圈值大小成線性關系的，光圈值越小，景深越小，反之越大。
與物距成二次方關系，是以物距越遠，景深越大
和焦距的平方成反比，是以焦距越大，景深越淺。長焦鏡頭看到的圖像背景更加的模糊。
有時候，人們會特意追求淺景深的效果，因為這樣會使得畫面主體更加突出，而背景則呈現出一種朦胧的美感，有一個源自日本的詞Bokeh專門用于形容這種朦胧的美感。
現在很多手機用上了兩個攝像頭，甚至更多的攝像頭。其中一個很重要的用途，就是用于拍攝這種"Bokeh"的相片。事實上，我所帶的團隊這幾年所做的非常重要的功能就是手機上雙攝和多攝的淺景深虛化功能，現在已經部署到了覆寫高中低端的數十款機型上（王婆賣瓜一番，相關的知識留待以後專門撰文闡述吧????）。
DXO Mark， Iphone 11 Pro Max Bokeh評測圖檔
四、真實鏡頭的缺點
薄透鏡模型的兩個基礎假設可以推導出要求透鏡沒有厚度，但這事實上是不可能的。為了讓真實的透鏡像薄透鏡一樣，一般是需要把多個鏡頭組合到一起，互相補充，進而形成一個透鏡組。
不管是單反上的複雜的鏡頭，還是手機等便攜式裝置上的鏡頭，都是透鏡組。
我們來看看真實鏡頭相比理想的薄透鏡的一些典型的不一緻的地方：
- 色差（chromatic aberration）
這是由于鏡頭對不同波長的光線具有不同的折射率, 是以會産生色差。色差主要有兩種，一種叫做縱向色差( longitudinal (axial) chromatic aberration)，這是由于光線穿過透鏡後無法對焦到同一平面上。
将兩片不同材質的鏡頭組合到一起，能一定程度減弱這種現象（一般來說無法完全消除）
還有一種是橫向色差(lateral (transverse) chromatic aberration)，産生的原因是藍色光和紅色光在同一像平面上位置不同，它們之間會有彩虹一樣的色差：
這裡可以看到對比效果：
2. 球差 (spherical aberration)
薄透鏡模型中，假設平行與光軸的所有光穿過鏡頭後會對焦到一點。這其實是要求鏡頭的剖面是一個雙曲線。但是實際上鏡頭并非雙曲面，大多數是球面的，是以光線穿過後并非對焦到同一點，這就會導緻畫面的模糊。
當年哈勃望遠鏡就是因為鏡頭打磨誤差2.2微米，導緻了球差，使得拍出的畫面很模糊。虧得後來NASA對它進行了一次外科手術，才使得它能夠拍攝清晰的圖像。你可以看看下面矯正前和校正後的對比圖像：
事實上，實際鏡頭還有很多和理想的薄透鏡不一緻的地方，包括慧差(Coma）, 散光(Astigmatism)，場曲率( Field curvature), 畸變(distortion)， 眩光(glare)， 鬼影(Flare and Ghost)，暈影(Vignetting)等等。考慮到本文篇幅有限，我準備之後單獨寫文章來闡述，這裡就先跳過啦。
五、總結
這篇文章是"鏡頭，曝光于對焦"的第一部分。我向你展示了采用鏡頭而非小孔成像的必要性，也展示了理想的薄透鏡模型的一些特點，包括薄透鏡模型的幾何關系，景深以及影響景深大小的典型因素，真實鏡頭和薄透鏡模型不同的地方。在下一篇文章中，我會繼續介紹鏡頭的FOV，各種相機鏡頭類型，曝光控制的三個限制要素，遠心相機等。敬請期待，希望你喜歡這篇文章，别忘了給我點贊哦！
六、參考資料
今天的文章主要參考兩份資料：
- CMU 2017 Fall Computational Photography Course 15-463, Lecture 15
- Stanford 2010 Winter Computational photography CS 448A, Limitations of lenses
中間使用了兩幅其他連結的圖檔：
- 小孔尺寸對成像效果的影響
- DXO Mark，Iphone 11 Pro Max Bokeh評測圖檔