【高等數學基礎進階】定積分應用

幾何應用

平面圖形的面積

若平面域$D$由曲線$y=f(x),y=g(x)(f(x)\geq g(x)),x=a,x=b(a<b)$所圍成，則

$$

S=\int^{b}_{a}[f(x)-g(x)]dx

$$

化成二重積分

$$

S=\iint\limits_{D}1d \sigma =\int^{a}{b}dx \int^{f(x)}{g(x)}dy

$$

若平面域$D$由曲線$\rho =\rho (\theta ),\theta =\alpha,\theta =\beta(\alpha<\beta)$所圍成，則

$$

S= \frac{1}{2}\int^{\beta}_{\alpha}\rho ^{2}(\theta )d \theta

$$

化成二重積分

$$

S=\iint\limits_{D}1d \sigma =\int^{\beta}{\alpha}d \theta \int^{\rho (\theta )}{0}\rho d \rho

$$

旋轉體體積

若平面域$D$由曲線$y=f(x),(f(x)\geq0),x=a,x=b(a<b)$所圍成，則

區域$D$繞$x$軸旋轉一周所得到的旋轉體積為

$$

V_{x}=\pi \int^{b}_{a}f^{2}(x)dx

$$

取一小段$dx,(a<x<b)$，則這一小段繞$x$軸旋轉的得到圓柱的高為$dx$，半徑為$f(x)$，是以體積為

$$

dV=\pi f^{2}(x)dx

$$

然後積分得到$V_{x}$

區域$D$繞$y$軸旋轉一周所得到的旋轉體積為

$$

V_{y}=2 \pi \int^{b}_{a}xf(x)dx

$$

取一小段$dx,(a<x<b)$，則這一小段繞$y$軸旋轉出來一個圓筒，将該圓筒在任意一處豎直截開，得到一個長方體，該長方體的寬為$dx$，高為$f(x)$，長為$2\pi x$，是以體積為

$$

dV=2\pi xf(x)dx

$$

然後積分得到$V_{y}$

對于任意的區域$D$繞$ax+by=c$旋轉，得到的旋轉體體積，可以考慮二重積分，即在$D$取$d \sigma$，該面積微元繞直線旋轉得到一個環狀體，該環狀體的面積為$d \sigma$，長度為$2\pi r(x,y)$，其中$r(x,y)$表示該面積微元到直線的距離一般為$\begin{aligned} r(x,y)=\frac{|ax+by-c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\end{aligned}$，是以該環狀體體積為

$$

V=2 \pi r(x,y)d \sigma

$$

對面積微元做二重積分即可得到整體體積，即

$$

V=2\pi \iint\limits_{D}r(x,y)d \sigma

$$

用該結論推繞$x,y$軸旋轉的結論

區域$D$繞$x$軸旋轉一周所得到的旋轉體積為

$$

V=2\pi\iint\limits_{D}yd \sigma=2\pi \int^{b}{a}dx \int^{f(x)}{0}ydy=\pi \int^{b}_{a}f^{2}(x)dx

$$

區域$D$繞$y$軸旋轉一周所得到的旋轉體積為

$$

V=2\pi \iint\limits_{D}x d \sigma=2\pi \int^{b}{a}dx \int^{f(x)}{0}xdy=2\pi \int^{b}_{a}xf(x)dx

$$

曲線弧長

如果由直角坐标方程給出$C:y=y(x),a\leq x\leq b$

$$

s=\int^{b}_{a}\sqrt{1+y'^{2}}dx

$$

如果由參數方程給出$C:\left{\begin{aligned}&x=x(t)\&y=y(t)\end{aligned}\right.,\alpha\leq t \leq \beta$

$$

s=\int^{\beta}_{\alpha}\sqrt{x'^{2}+y'^{2}}dt

$$

如果由極坐标方程給出$C:\rho =\rho (\theta ),\alpha\leq \theta \beta$

$$

s=\int^{\beta}_{\alpha}\sqrt{\rho ^{2}+\rho '^{2}}d \theta

$$

直接帶公式即可，沒什麼技巧

旋轉體側面積

$$

S=2\pi \int^{b}_{a}f(x)\sqrt{1+f'^{2}(x)}dx

$$

這裡去任意一小段$dx$，對應弧$dS$，則根據勾股定理，有

$$

dS=\sqrt{(dx)^{2}+(f'(x)dx)^{2}}=\sqrt{1+f'^{2}(x)}dx

$$

即

$$S=2\pi \int^{b}{a}f(x)\sqrt{1+f'^{2}(x)}dx=2\pi \int^{b}{a}f(x)dS$$

此處在曲線弧長的直角坐标方程就已經有提到

實體應用

壓力，變力做功，引力

常考題型與典型例題

平面域面積和旋轉體體積的計算

例1：設$D$是由曲線$xy+1=0$與直線$y+x=0$及$y=2$圍成的有界區域，則$D$的面積為（）

![[附件/Pasted image 20220901084351.png]]

$$

\begin{aligned}

S=\iint\limits_{D}1d \sigma&=\int^{2}{1}dy \int^{- \frac{1}{y}}{-y}dx\&=\int^{2}_{1}(y- \frac{1}{y})dy\

&=(\frac{1}{2}y^{2}-\ln y)\Big|^{2}_{1}\

&= \frac{3}{2}-\ln 2

\end{aligned}

$$

例2：設封閉曲線$L$的極坐标方程為$r=\cos3\theta (-\frac{\pi}{6}\leq \theta \leq \frac{\pi}{6})$，則$L$所圍平面圖形的面積為（）

![[附件/Pasted image 20220901090302.png]]

$$

\begin{aligned}

S= \frac{1}{2}\int^{\beta}{\alpha}\rho^{2}(\theta )d \theta &=2\cdot\frac{1}{2}\int^{\frac{\pi}{6}}{0}\cos ^{2}3\theta d \theta \

&=\frac{1}{2}\int^{\frac{\pi}{6}}_{0}(1+\cos 6\theta )d \theta \

&=\frac{1}{2}(\theta + \frac{1}{6}\sin 6\theta )\Big|^{\frac{\pi}{6}}_{0}\

&= \frac{\pi}{12}

\end{aligned}

$$

例3：過點$(0,1)$作曲線$L:y=\ln x$的切線，切點為$A$，又 $L$與$x$軸交于$B$點，區域$D$由$L$與直線$AB$圍成，求區域$D$的面積及$D$繞$x$軸旋轉一周所得旋轉體的體積

![[附件/Pasted image 20220901093720.png]]

$$

y-y_{0}=\frac{1}{x_{0}}(x-x_{0})\Rightarrow 1-\ln x_{0}=-1 \Rightarrow x_{0}=e^{2}

$$

或

$$

y-1=k(x-0)\Rightarrow y=kx+1\Rightarrow \left{\begin{aligned}&kx+1=\ln x\&k=\frac{1}{x}\end{aligned}\right.\Rightarrow x=e^{2}

$$

可知$C$點坐标為$(e^{2},2)$

$$

\begin{aligned}

S&=\int^{e^{2}}_{1}\ln xdx- \frac{1}{2}(e^{2}-1)2=2\

V&=\pi \int^{e^{2}}_{1}\ln ^{2}xdx- \frac{1}{3}\cdot \pi2^{2}\cdot (e^{2}-1)=\frac{2\pi}{3}(e^{2}-1)

\end{aligned}

$$

例4：曲線$y=\int^{x}_{0}\tan tdt(0\leq x\leq \frac{\pi}{4})$的弧$s=()$

$$

\begin{aligned}

s=\int^{b}{a}\sqrt{1+y'^{2}}dx&=\int^{\frac{\pi}{4}}{0}\sqrt{1+\tan ^{2}x}dx\

&=\int^{\frac{\pi}{4}}_{0}\sec xdx\

&=\ln (\sec x+\tan x)\Big|^{\frac{\pi}{4}}_{0}\

&=\ln (\sqrt{2}+1)

\end{aligned}

$$

實體應用

例5：一容器的内側是由圖中曲線繞$y$軸旋轉一周而成的曲面，該曲線由$x^{2}+y^{2}=2y(y\geq \frac{1}{2})$與$x^{2}+y^{2}=1(y\leq \frac{1}{2})$連接配接而成

• 求容器容積
• 若将容器内盛滿的水從容器頂部全部抽出，至少需要做多少功

（長度機關$m$，重力加速度$g m/s^{2}$，水的密度為$10^{3} kg/m^{3}$）

![[附件/Pasted image 20220901100107.png|250]]

在$x^{2}+y^{2}=1(y\leq \frac{1}{2},x\geq0)$取一個$dy$的小薄片，則該小薄片繞$y$軸旋轉的體積為

$$

\pi x^{2}dy

$$

其實用最基本的公式或二重積分都能做出來

$$

V=2\cdot \pi \int^{\frac{1}{2}}{-1}x^{2}dy=2 \cdot \pi \int^{\frac{1}{2}}{-1}(1-y^{2})dy=\frac{9\pi}{4}

$$

在$x^{2}+y^{2}=1(y\leq \frac{1}{2})$取一個$dy$的小薄片，則該小薄片到$y=2$的距離$S$為

$$

S=2-y

$$

對于$F$，有

$$F=mg=\rho Vg=10^{3}\cdot \pi x^{2}\cdot dy \cdot g$$

對于$x^{2}+y^{2}=2y(y\geq \frac{1}{2})$同理，換一個方程就行

$$

\begin{aligned}

W&=10^{3}g\int^{\frac{1}{2}}{-1}\pi(1-y^{2})(2-y)dy+10^{3}g \int^{2}{\frac{1}{2}}\pi(2y-y^{2})(2-y)dy\

&=\frac{27}{8}\cdot 10^{3}\pi g

\end{aligned}

$$

考慮一個薄層$dy$一般稱為元素法（微元法）

例6：某閘門的形狀與大小如圖所示，其中$y$為對稱軸，閘門的上部為矩形$ABCD$，$DC=2m$，下部由二次抛物線與線段$AB$所圍成，當水面與閘門的上端相平時，欲使閘門矩形承受的水壓力與閘門下部承受的水壓力之比為$5:4$，閘門矩形部分的高$h$應為多少

![[附件/Pasted image 20220901102043.png|150]]

$F=PS$

本題也是元素法，不做詳細講解

$$

\begin{aligned}

F_{1}&=2\int^{h+1}{1}\rho g(h+1-y)dy=2\rho g\left[(h+1)y- \frac{y^{2}}{2}\right]^{h+1}{1}\

&=\rho gh^{2}\

F_{2}&=2\int^{1}{0}\rho g(h+1-y)\sqrt{y}dy=2\rho g\left[\frac{2}{3}\left(h+1\right)y^{\frac{3}{2}}- \frac{2}{5}y^{\frac{5}{2}}\right]^{1}{0}\

&=4 \rho g\left(\frac{1}{3}h+ \frac{2}{15}\right)

\end{aligned}

$$

是以，由題意得

$$

\frac{h^{2}}{4\left(\frac{1}{3}h+ \frac{2}{15}\right)}= \frac{5}{4}\Rightarrow h=2,h=\frac{1}{3}