Chpater 5 大規模MIMO信道估計與導頻設計

文章目錄

• • 5.1 大規模MIMO信道估計與導頻設計基本原理
  • • 5.1.1 信道估計原理
    • 5.1.2 導頻設計基本原理
  • 5.2 傳統信道估計方法
  • • 5.2.1 LS信道估計
    • 5.2.2 LMMSE信道估計
  • 5.3 低複雜度的大規模MIMO信道估計
  • 參考文獻

本文内容摘錄自《大規模MIMO傳輸理論與關鍵技術》與《MIMO-OFDM無線通信技術及MATLAB實作》

5.1 大規模MIMO信道估計與導頻設計基本原理

信道狀态資訊(CSI) 是一種籠統的概念，它包括信道矩陣。隻要是反應Channel的都叫信道狀态資訊。信道矩陣隻是MIMO系統中百的一種信道狀态資訊。其他的比如Channel profile，多徑時延，多普勒頻偏，MIMO信道的秩，波束形成向量等等，都屬于信道狀态資訊。目前的信道矩陣H隻能算是一種信道狀态資訊，但是是最常用的。

在大規模MIMO中，接收端的信道均衡和符号檢測都需要精确的CSI。并且，隻有在準确知道傳播環境的情況下才可以實作空間的高分辨率。是以，準确的信道估計成為限制大規模MIMO系統性能的一個主要因素。信道估計是指接收端根據一定的準則，從接收資料中将某個信道模型的模型參數估計出來的過程。傳統的基于導頻的信道估計方法有最小二乘法（Least Square，LS）、MMSE、線性最小均方誤差（Linear Minimum Mean Square Error，LMMSE）法和極小方差無偏（Minimum Variance Unbiased，MVU）估計等，這些方法一般都包括矩陣求逆的過程。在大規模MIMO中，由于信号的次元較大，傳統的信道估計方法計算複雜度過高，是以需要采用複雜度較低的信道估計方法。

5.1.1 信道估計原理

在TDD模式下，上行通信和下行通信采用相同的頻段，并假設上行信道和下行信道具有互易性。以一個小區為例，小區内的各個使用者采用同步方式通過上行鍊路發送導頻序列，小區内的基站接收這些導頻序列并進行相應的處理得到上行信道的信道估計，然後再由下行鍊路傳輸信道資訊與資料資訊 [ 1 ] ^{[1]} [1]。

FDD模式下上行通信和下行通信分别采用不同的頻段，是以上行信道與下行信道不具有互易性。由于FDD模式是3G通信系統和4G通信系統中的主流模式，如果在FDD模式下運用大規模MIMO，将有利于大規模MIMO在5G通信系統中的推廣。

5.1.2 導頻設計基本原理

理論研究發現，當基站（Base Station，BS）的天線數無限增加時，熱噪聲和小區内其他使用者幹擾對信道估計和符号檢測的影響均會消失，限制性能的唯一因素是在其他小區複用了期望小區的導頻序列而引起的同頻幹擾，這一現象稱為導頻污染（Pilot Contamination，PC） [ 2 ] ^{[2]} [2]。

目前用于大規模MIMO技術中的導頻設計為 [ 3 , 4 ] ^{[3,4]} [3,4]：小區内采用正交導頻，相鄰小區采用非正交導頻（即導頻複用）。該導頻設計方法使得同一小區内各個使用者的導頻序列正交，消除了多使用者幹擾；而同一組導頻序列可被不同小區采用，進而提高頻譜效率。

由于FDD模式下進行信道估計需要占用較多的頻譜資源，目前針對大規模MIMO的信道估計研究主要集中在TDD模式下。當天線數量無限增大時，導頻污染問題成為制約系統性能的唯一因素。如何解決導頻污染問題亦成為導頻設計與信道估計的關鍵。

5.2 傳統信道估計方法

訓練符号可以用于信道估計，通常能夠提供較好的性能。然而，除了發射資料符号外， 還需要發射前導或導頻信号，由此産生的負荷會降低傳輸效率.當可以獲得訓練符号時，最小二乘( LS )和線性最小均方誤差(LMMSE) 技術被廣泛應用于信道估計。

5.2.1 LS信道估計

假設所有子載波是正交的，即沒有ICl，那麼可以将N 個子載波的訓練符号表示成矩陣形式：

X = [ X [ 0 ] 0 ⋯ 0 0 X [ 1 ] ⋮ ⋮ ⋱ 0 0 ⋯ 0 X [ N − 1 ] ] \mathbf{X}=\left[\begin{array}{cccc} X[0] & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & X[1] & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & X[N-1] \end{array}\right] X=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​X[0]0⋮0​0X[1]⋯​⋯⋱0​0⋮0X[N−1]​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​

其中 X [ k ] X[k] X[k] 表示第 k k k 個子載波上的導頻信号，滿足 E { X [ k ] } = 0 , Var ⁡ { X [ k ] } = σ 2 , k = 0 , 1 , 2 , ⋯   , N − 1 , E\{X[k]\}=0,\operatorname{Var}\{X[k]\}=\sigma^{2},k=0,1,2, \cdots, N-1, E{X[k]}=0,Var{X[k]}=σ2,k=0,1,2,⋯,N−1, 因為假設所有的子載波都是正交的，是以 X \mathbf X X 是一個對角矩陣。給定策 k k k 個載波的信道增益 H [ k ] H[k] H[k]，接收到的訓練信号 Y [ k ] Y[k] Y[k]能的表示為

Y ≜ [ Y [ 0 ] Y [ 1 ] ⋮ Y [ N − 1 ] ] = [ X [ 0 ] 0 ⋯ 0 0 X [ 1 ] ⋮ ⋮ ⋱ 0 0 ⋯ 0 X [ N − 1 ] ] [ H [ 0 ] H [ 1 ] ⋮ H [ N − 1 ] ] + [ Z [ 0 ] Z [ 1 ] ⋮ Z [ N − 1 ] ] = X H + Z \begin{array}{rl} \mathbf{Y} & \triangleq \left[\begin{array}{c} Y[0] \\ Y[1] \\ \vdots \\ Y[N-1] \end{array}\right] \\ \end{array}= \left[\begin{array}{cccc} X[0] & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & X[1] & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & X[N-1] \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} H[0] \\ H[1] \\ \vdots \\ H[N-1] \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} Z[0] \\ Z[1] \\ \vdots \\ Z[N-1] \end{array}\right] =\mathbf{X} \mathbf{H}+\mathbf{Z} Y​≜⎣⎢⎢⎢⎡​Y[0]Y[1]⋮Y[N−1]​⎦⎥⎥⎥⎤​​=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​X[0]0⋮0​0X[1]⋯​⋯⋱0​0⋮0X[N−1]​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎢⎡​H[0]H[1]⋮H[N−1]​⎦⎥⎥⎥⎤​+⎣⎢⎢⎢⎡​Z[0]Z[1]⋮Z[N−1]​⎦⎥⎥⎥⎤​=XH+Z

其中，信道向量 H = [ H [ 0 ] , H [ 1 ] , ⋯   , H [ N − 1 ] ] T \mathbf{H}=[H[0], H[1], \cdots, H[N-1]]^{T} H=[H[0],H[1],⋯,H[N−1]]T；噪聲向量 Z = [ Z [ 0 ] , Z [ 1 ] , ⋯ Z [ N − 1 ] ] T , \mathbf{Z}=[{Z}[0], Z[1], \cdots Z[N-1]]^{T}, Z=[Z[0],Z[1],⋯Z[N−1]]T, 滿足 E { Z [ k ] } = 0 , Var ⁡ { Z [ k ] } = σ z 2 , k = 0 , 1 , 2 , ⋯   , N − 1 E\{Z[k]\}=0, \operatorname{Var}\{Z[k]\}=\sigma_{z}^{2},k=0,1,2, \cdots, N-1 E{Z[k]}=0,Var{Z[k]}=σz2​,k=0,1,2,⋯,N−1，在接下來的讨論中， 令 H ^ \hat{\mathbf H} H^表示對信道 H \mathbf {H} H 的估計。

假設所有子載波是正交的，即沒有ICI。

ICI：多載波通信系統對載波頻率偏移十分敏感，尤其對于多使用者并行傳輸的無線通信上行鍊路，不同使用者的發射信号具有不同的頻率偏移，這種由多個獨立頻偏導緻的子載波間幹擾（Inter-Carrier Interference，ICI）問題較為嚴重，必須設計出高效的信号處理方法加以抑制。此外，在高速移動的無線信道下，由于多普勒擴充很大，信道将在一個多載波符号内産生時變，由此引起的 ICI 問題也将十分嚴重。

為了得到信道估計 H ^ \hat {\mathbf H} H^，LS 信道估計法需要最小化下面的代價的數：

J ( H ^ ) = ∥ Y − X H ^ ∥ 2 = t r { ( Y − X H ^ ) H ( Y − X H ^ ) } = t r { Y H Y − Y H X H ^ − H ^ H X H Y + H ^ H X H X H ^ } \begin{aligned} J(\hat{\mathbf{H}}) &=\|\mathbf{Y}-\mathbf{X} \hat{\mathbf{H}}\|^{2} \\ &=tr\{(\mathbf{Y}-\mathbf{X} \hat{\mathbf{H}})^{{H}}(\mathbf{Y}-\mathbf{X} \hat{\mathbf{H}}) \}\\ &=tr\{\mathbf{Y}^{{H}} \mathbf{Y}-\mathbf{Y}^{{H}} \mathbf{X} \hat{\mathbf{H}}-\hat{\mathbf{H}}^{{H}} \mathbf{X}^{{H}} \mathbf{Y}+\hat{\mathbf{H}}^{{H}} \mathbf{X}^{{H}} \mathbf{X} \hat{\mathbf{H}}\} \end{aligned} J(H^)​=∥Y−XH^∥2=tr{(Y−XH^)H(Y−XH^)}=tr{YHY−YHXH^−H^HXHY+H^HXHXH^}​

令上面的代價函數關于 H ^ \hat{\mathbf H} H^的偏導數等于 0，即

∂ J ( H ^ ) ∂ H ^ = − 2 ( X H Y ) + 2 ( X H X H ^ ) = 0 \frac{\partial J(\hat{\mathbf{H}})}{\partial \hat{\mathbf{H}}}=-2\left(\mathbf{X}^{{H}} \mathbf{Y}\right)+2\left(\mathbf{X}^{{H}} \mathbf{X} \hat{\mathbf{H}}\right)=0 ∂H^∂J(H^)​=−2(XHY)+2(XHXH^)=0

然後可以得到 X H X H ^ = X H Y \mathbf X^H\mathbf X\hat{\mathbf H}=\mathbf{X}^{{H}} \mathbf{Y} XHXH^=XHY，由此得到 LS 信道估計的解為

H ^ L S = ( X H X ) − 1 X H Y = X − 1 Y \hat{\mathbf{H}}_{{LS}}=\left(\mathbf{X}^{{H}} \mathbf{X}\right)^{-1} \mathbf{X}^{{H}} \mathbf{Y}=\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Y} H^LS​=(XHX)−1XHY=X−1Y

注意上式中， X − 1 \mathbf{X}^{-1} X−1表示導頻信号矩陣 X \mathbf{X} X的逆或僞逆。

令 H ^ L S [ k ] \hat{H}_{{LS}}[k] H^LS​[k] 表示 H ^ L S \hat{\mathbf{H}}_{{LS}} H^LS​ 中的元素， k = 0 , 1 , 2 , ⋯   , N − 1 k=0,1,2, \cdots, N-1 k=0,1,2,⋯,N−1，由無ICI 的假設條件可知 X \mathbf X X為對角矩陣，是以每個子載波上的 LS信道估計可以表示為

H ^ L S [ k ] = Y [ k ] X [ k ] , k = 0 , 1 , 2 , ⋯   , N − 1 \hat{H}_{{LS}}[k]=\frac{Y[k]}{X[k]}, \quad k=0,1,2, \cdots, N-1 H^LS​[k]=X[k]Y[k]​,k=0,1,2,⋯,N−1

LS 信道估計的均方誤差(MSE) 為

MSE ⁡ L S = E { t r { ( H − H ^ L S ) H ( H − H L S ) } } = E { t r { ( H − X − 1 Y ) H ( H − X − 1 Y ) } } = E { t r { ( X − 1 Z ) H ( X − 1 Z ) } } = E { t r { Z H ( X X H ) − 1 Z } } = σ z 2 σ x 2 \begin{aligned} \operatorname{MSE}_{{LS}} &=E\left\{tr\left\{ \left(\mathbf{H}-\hat{\mathbf{H}}_{{LS}}\right)^{{H}}\left(\mathbf{H}-\mathbf{H}_{{LS}}\right)\right\} \right\}\\ &=E\left\{tr\left\{ \left(\mathbf{H}-\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Y}\right)^{{H}}\left(\mathbf{H}-\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Y}\right)\right\} \right\} \\ &=E\left\{tr\left\{\left(\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Z}\right)^{H}\left(\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Z}\right)\right\} \right\}\\ &=E\left\{tr\left\{\mathbf{Z}^{{H}}\left(\mathbf{X X}^{{H}}\right)^{-1} \mathbf{Z}\right\} \right\} \\ &=\frac{\sigma_{z}^{2}}{\sigma_{x}^{2}} \end{aligned} MSELS​​=E{tr{(H−H^LS​)H(H−HLS​)}}=E{tr{(H−X−1Y)H(H−X−1Y)}}=E{tr{(X−1Z)H(X−1Z)}}=E{tr{ZH(XXH)−1Z}}=σx2​σz2​​​

注意，上式中的MSE 與信噪比 σ x 2 / σ z 2 {\sigma_{x}^{2}}/{\sigma_{z}^{2}} σx2​/σz2​成反比， 這意味着LS 估計增強了噪聲，在信道處于深度衰落時更是如此。然而， LS 方法由于簡單而被廣泛應用于信道估計。

5.2.2 LMMSE信道估計

考慮5.2.1中的LS 解，即 H ^ L S = X − 1 Y ≜ H ~ \hat{\mathbf H}_{{LS}}=\mathbf X^{-1} \mathbf Y \triangleq \tilde{\mathbf H} H^LS​=X−1Y≜H~，利用權重矩陣 W \mathbf W W，定義LMMSE估計為 H ^ ≜ W H ~ \hat{\mathbf H} \triangleq \mathbf W \tilde{\mathbf H} H^≜WH~。根據圖6.4 ，LMMSE 信道估計 H ^ \hat{\mathbf H} H^的MSE可以表示為

J ( H ^ ) = E { ∥ e ∥ 2 } = E { ∥ H − H ^ ∥ 2 } J(\hat{\mathbf H})=E\left\{\|\mathbf e\|^{2}\right\}=E\left\{\|\mathbf H-\hat{\mathbf H}\|^{2}\right\} J(H^)=E{∥e∥2}=E{∥H−H^∥2}

在LMMSE信道估計中， 通過選擇 W \mathbf W W最小化上式中的MSE ，可以證明估計誤差向量 e = H − H ^ \mathbf e=\mathbf{H}-\hat{\mathbf{H}} e=H−H^ 與 H ~ \tilde{\mathbf {H}} H~ 正交，即滿足

E { e H ~ H } = E { ( H − H ^ ) H ~ H } = E { ( H − W H ~ ) H ~ H } = E { H H ~ H } − W E { H ~ H ~ H } = R H H ~ − W R H ~ H ~ = 0 \begin{aligned} E\left\{\mathbf e \tilde{\mathbf{H}}^{H}\right\} &=E\left\{(\mathbf{H}-\hat{\mathbf{H}}) \tilde{\mathbf{H}}^{\mathrm{H}}\right\} \\ &=E\left\{(\mathbf{H}-\mathbf{W} \tilde{\mathbf{H}}) \tilde{\mathbf{H}}^{\mathrm{H}}\right\} \\ &=E\left\{\mathbf{H} \tilde{\mathbf{H}}^{\mathrm{H}}\right\}-\mathbf{W} E\left\{\tilde{\mathbf{H}} \tilde{\mathbf{H}}^{\mathrm{H}}\right\} \\ &=\mathbf {R}_{\mathbf{H} \tilde{\mathbf{H}}}-\mathbf W \mathbf R_{\tilde{\mathbf{H}} \tilde{\mathbf H}}=\mathbf {0} \end{aligned} E{eH~H}​=E{(H−H^)H~H}=E{(H−WH~)H~H}=E{HH~H}−WE{H~H~H}=RHH~​−WRH~H~​=0​

其中， R A B \mathbf{R}_{A B} RAB​為矩陣 A \mathbf{A} A和 B \mathbf{B} B的互相關矩陣，即 R A B = E { A B H } \mathbf{R}_{\mathbf A \mathbf B}=E\left\{\mathbf A \mathbf{B}^{{H}}\right\} RAB​=E{ABH}， H ~ \tilde {\mathbf{H}} H~為LS信道估計：

H ~ = X − 1 Y = H + X − 1 Z \tilde{\mathbf{H}}=\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Y}=\mathbf{H}+\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Z} H~=X−1Y=H+X−1Z

于是可得，

W = R H H ~ R H ~ H ~ − 1 \mathbf{W}=\mathbf{R}_{\mathbf{H} \tilde{\mathbf{H}}} \mathbf{R}_{\tilde{\mathbf{H}} \tilde{\mathbf{H}}}^{-1} W=RHH~​RH~H~−1​

其中， R H ~ H ~ \mathbf{R}_{\tilde{\mathbf{H}} \tilde{\mathbf{H}}} RH~H~​為 H ~ \tilde{\mathbf {H}} H~的自相關矩陣，即

R H ~ H ~ = E { H ~ H ~ H } = E { X − 1 Y ( X − 1 Y ) H } = E { ( H + X − 1 Z ) ( H + X − 1 Z ) H } = E { H H H + X − 1 Z H H + H Z H ( X − 1 ) H + X − 1 Z Z H ( X − 1 ) H } = E { H H H } + E { X − 1 Z Z H ( X − 1 ) H } = E { H H H } + σ z 2 σ x 2 I \begin{aligned} \mathbf{R}_{\tilde{\mathbf H} \tilde{\mathbf H}} &=E\left\{\tilde{\mathbf{H}} \tilde{\mathbf{H}}^{\mathrm{H}}\right\} \\ &=E\left\{\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Y}\left(\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Y}\right)^{\mathrm{H}}\right\} \\ &=E\left\{\left(\mathbf{H}+\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Z}\right)\left(\mathbf{H}+\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Z}\right)^{\mathrm{H}}\right\} \\ &=E\left\{\mathbf{H H}^{\mathrm{H}}+\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Z} \mathbf{H}^{\mathrm{H}}+\mathbf{H} \mathbf{Z}^{\mathrm{H}}\left(\mathbf{X}^{-1}\right)^{\mathrm{H}}+\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Z} \mathbf{Z}^{\mathrm{H}}\left(\mathbf{X}^{-1}\right)^{\mathrm{H}}\right\} \\ &=E\left\{\mathbf{H H}^{\mathrm{H}}\right\}+E\left\{\mathbf{X}^{-1} \mathbf{Z Z}^{\mathrm{H}}\left(\mathbf{X}^{-1}\right)^{\mathrm{H}}\right\} \\ &=E\left\{\mathbf{H H}^{\mathrm{H}}\right\}+\frac{\sigma_{z}^{2}}{\sigma_{x}^{2}} \mathbf{I} \end{aligned} RH~H~​​=E{H~H~H}=E{X−1Y(X−1Y)H}=E{(H+X−1Z)(H+X−1Z)H}=E{HHH+X−1ZHH+HZH(X−1)H+X−1ZZH(X−1)H}=E{HHH}+E{X−1ZZH(X−1)H}=E{HHH}+σx2​σz2​​I​

R H H ~ \mathbf{R}_{\mathbf{H} \tilde{\mathbf{H}}} RHH~​是頻域上真實信道向量和臨時信道估計向量之間的互相關矩陣，根據上式，LMMSE信道估計可以表示為

H ^ L M M S E = W H ~ = R H H ~ R H ~ H ~ − 1 H ~ = R H H ~ ( R H H + σ z 2 σ x 2 I ) − 1 H ~ \begin{aligned} &\hat{\mathbf{H}}_{LMMSE}=\mathbf{W} \tilde{\mathbf{H}}=\mathbf{R}_{\mathbf{H} \tilde{\mathbf{H}}} \mathbf{R}_{\tilde{\mathbf{H}} \tilde{\mathbf H}}^{-1} \tilde{\mathbf{H}}\\ &=\mathbf{R}_{\mathbf{H} \tilde{\mathbf{H}}}\left(\mathbf{R}_{\mathbf{H} {\mathbf{H}}}+\frac{\sigma_{z}^{2}}{\sigma_{x}^{2}}\mathbf I\right)^{-1} \tilde{\mathbf H} \end{aligned} ​H^LMMSE​=WH~=RHH~​RH~H~−1​H~=RHH~​(RHH​+σx2​σz2​​I)−1H~​

5.3 低複雜度的大規模MIMO信道估計

基于導頻的信道估計算法如LS算法、MMSE算法、LMMSE算法和MVU算法等都包括矩陣求逆的過程。如果發射天線與接收天線均不存在相幹性，則信道的協方差矩陣為對角矩陣，矩陣求逆的複雜度較低。然而，由于大規模MIMO天線數量大，天線之間的間隔距離難以滿足半波長要求，加上複雜的電波傳播環境，使得天線之間具有明顯的相關性，是以信道的協方差矩陣不能近似為對角矩陣。基于以上原因，大規模MIMO的信道估計中，矩陣求逆的計算複雜度非常大，是以傳統的信道估計方法不能直接應用在大規模MIMO中，必須采用低複雜度的大規模MIMO信道估計方法。

參考文獻

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[3] H. Q. Ngo, M. Matthaiou, T. Q. Duong, E. G. Larsson. ‘‘Uplink performance analysis of multicellmu- mimo systems with zf receivers.” IEEE Trans. Veh. Technol., vol. 62, no. 9, Nov. 2013.

[4] H. Q. Ngo, E. G. Larsson, T. L. Marzetta. ‘‘The Multicell Multiuser MIMO Uplink with Very Large Antenna Arrays and a Finite-Dimensional Channel.” Communications, IEEE Trans. Commun., vol. 61, no.6, pp.2350-2361, June 2013.

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