最大似然估計(極大似然估計)

最大似然估計

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機率與似然

對于最大似然估計我們使用最簡單的抛硬币問題來進行講解

機率

當我們抛一枚硬币的時候,就可以去猜測抛硬币的各種情況的可能性,這個可能性就稱為機率

一枚質地均勻的硬币,在不考慮其他情況下是符合二項分布的,即正面和翻面的機率都是0.5,那麼我們抛10次硬币5次正面在上面的機率為:

P ( 5 次 正 面 朝 上 ) = C 10 5 0. 5 5 ( 1 − 0.5 ) 5 = 0.24609375 ≈ 0.25 P(5次正面朝上)=C^5_{10}0.5^5(1-0.5)^5=0.24609375\approx0.25 P(5次正面朝上)=C105​0.55(1−0.5)5=0.24609375≈0.25

似然

但是現實生活中,我們并不知道硬币是否均勻,那麼我們就需要通過多次抛硬币來推測硬币是否均勻或者說推測硬币每一面朝上的機率,這就是似然

最大似然估計

那麼什麼是**最大似然估計(又稱極大似然估計)**呢?

所謂的最大似然估計其實就是假設硬币正面朝上的機率,然後計算實驗結果的機率是多少,機率越大,那麼這個假設的機率越可能是真的。

假設我們投了10次硬币,其中有6次正面朝上,那麼我們根據這個實驗結果對其進行假設

我們可以先假設正面朝上的機率為0.5,那麼達到實驗結果的機率為:

P = C 10 6 0. 5 6 ( 1 − 0.5 ) 4 = 0.205078125 ≈ 0.21 P = C^6_{10}0.5^6(1-0.5)^4=0.205078125\approx0.21 P=C106​0.56(1−0.5)4=0.205078125≈0.21

我們還可以假設正面朝上的機率為0.6,那麼達到實驗結果的機率為

P = C 10 6 0. 6 6 ( 1 − 0.6 ) 4 = 0.25082265600000003 ≈ 0.25 P=C^6_{10}0.6^6(1-0.6)^4=0.25082265600000003\approx0.25 P=C106​0.66(1−0.6)4=0.25082265600000003≈0.25

那麼我們就可以說,正面朝上的機率為0.6要比0.5的更有可能。

當然,我們僅僅比較這兩種情況是不夠的,我們需要将所有的情況都進行對比,然後求出最大的可能性。

接下來我們使用作圖的方法來看一下最有可能的取值

根據上圖我們可以看出，可能性最大的應該是正面機率為0.6的時候。

以上通過實驗結果，然後對相應的機率進行假設，進而得到最有可能造成測試結果的機率的過程，就稱為最大似然估計